平面向量的数量积及向量的应用教案

第4章第3节平面向量的数量积及向量的应用一、选择题1．(文)(2012·哈师大附中联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2[答案]A[解析]a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝－4.(理)(2012·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[答案]B[解析]由条件知，eq\f(a·b,|b|)＝2，eq\f(a·b,|a|)＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3).2．(文)(2012·山东东营质检)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角60°，则|a－3b|等于()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．4[答案]A[解析]由条件知，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝eq\f(1,2)，∴|a－3b|2＝|a|2＋9|b|2－6a·b＝7，∴|a－3b|＝eq\r(7).(理)若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12[答案]C[解析]∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.3．(文)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()A．9B．4C．0D．－4[答案]A[解析]a－b＝(1－x,4)，∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝(1,2)·(1－x,4)＝1－x＋8＝0，∴x＝9.(理)(2012·湖南考试院)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．6B．－6C[答案]D[解析]∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB为直角，∵O为△ABC外心，∴eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(CO,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)|eq\o(CA,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－8.4．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,4)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，点C在直线OA上的射影为点D，则|eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值为()A．10＋eq\r(10)B．10－eq\r(10)C.eq\r(10)＋1D.eq\r(10)－1[答案]C[解析]∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，∴C在以B为圆心，1为半径的圆上，设C(cosα＋2，sinα＋4)．又∵|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OC,\s\up6(→))·\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\f(|3(cosα＋2)＋sinα＋4|,\r(10))＝eq\f(|\r(10)sin(α＋φ)＋10|,\r(10))≤eq\f(\r(10)＋10,\r(10))＝eq\r(10)＋1.5．(文)(2012·甘肃省质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)[答案]B[解析]∵a·(b－a)＝2，∴a·b－|a|2＝2，∴1×6cos〈a，b〉－1＝2，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，∵〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3).(理)(2012·广东罗湖区调研)在边长为1的等边△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．－eq\f(3,2)B．0C.eq\f(3,2)D．3[答案]A[解析]|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝120°，∴a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(3,2).6．(文)(2012·安徽合肥市质检)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝()A．1B．2C[答案]B[解析]由条件知AB＝2，CD＝1，BC＝eq\r(2)，∴MB＝MC＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\o(MC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos45°＝eq\f(\r(2),2)×2×eq\f(\r(2),2)＝1，eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos135°＝eq\f(\r(2),2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－eq\f(1,2)，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·(eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＋2×1＝2，故选B.(理)如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝eq\r(7)，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C．2D．3[答案]B[解析]eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，因为OA＝OB.所以eq\o(AO,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影为eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，同理eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(9,2)，故eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).7．(文)(09·全国Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°[答案]B[解析]如图所示，∵|a|＝|b|＝|c|，∴△OAB是正三角形．∴〈a，b〉＝120°.(理)(2012·山东省实验中学模考)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA,1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是()A．锐角B．钝角C．直角D．不确定[答案]A[解析]p·q＝sinA－cosB，若p与q夹角为直角，则p·q＝0，∴sinA＝cosB，∵A、B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＝B＝eq\f(π,4)，则C＝eq\f(π,2)，与条件矛盾；若p与q夹角为钝角，则p·q<0，∴sinA<cosB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∵sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为增函数，∴A<eq\f(π,2)－B，∴A＋B<eq\f(π,2)，∴C>eq\f(π,2)这与条件矛盾，∴p与q的夹角为锐角．8．(文)(2012·广西南宁二中模考)在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)[答案]B[解析]m·n＝b(b－c)＋c2－a2＝c2＋b2－a2－bc＝0，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(理)(·山东)已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(eq\r(3)，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A、B的大小分别为()A.eq\f(π,6)，eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)，eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)，eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)，eq\f(π,3)[答案]C[解析]解法1：∵m⊥n，∴eq\r(3)cosA－sinA＝0，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝0，又∵0<A<π，∴A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\f(π,3).在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C又sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sinC＝1，∴C＝eq\f(π,2)，故B＝eq\f(π,6).解法2：接解法1中，A＝eq\f(π,3)，在△ABC中，由余弦定理得a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝csinC，∴eq\f(2c2,2c)＝c＝csinC，∴sinC＝1，∴C＝eq\f(π,2)，故B＝eq\f(π,6).9．(文)已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，a·b<0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()A．30°B．120°C．150°D．30°或150°[答案]C[解析]S△ABC＝eq\f(1,2)|a||b|sin∠BAC＝eq\f(15,4)，∴sin∠BAC＝eq\f(1,2).又a·b<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°，选C.(理)(2012·福建莆田一中)设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－2y＋1≥0,1≤x≤2,1≤y≤2))，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取得最小值时，点B的个数是()A．1B．2C[答案]B[解析]∵x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.∴可行域为图中阴影部分，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|为定值，∴当eq\o(OB,\s\up6(→))·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉取最小值时，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取最小值，∵y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为减函数，∴由图可知，当点B在E、F位置时，∠AOB最大，|eq\o(OB,\s\up6(→))|最小，从而eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取最小值，故选B.[点评]可用数量积的坐标表示求解，设B(x，y)，令eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x＋y＝t，则y＝－x＋t，当直线y＝－x＋t过B1、B2两点时，t最小，即tmin＝3.∴当eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取得最小值时，点B的个数为2.10．(文)设F1、F2为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值等于()A．0B．2C．4D．－2[答案]D[解析]由题意得c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)，又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2×eq\f(1,2)×F1F2·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|·cos120°＝2×2×(－eq\f(1,2))＝－2.(理)(2012·云南省统考)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)B．0C．－3D．－eq\f(3,4)[答案]B[解析]由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y,y＝kx＋4))消去y得，x2－4kx－16＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0.二、填空题11．(文)(2012·浙江文)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．[答案]eq\r(10)[解析]∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0∴2α·β＝α2∴|2α＋β|＝eq\r(4α2＋4α·β＋β2)＝eq\r(6α2＋β2)＝eq\r(6|α|2＋|β|2)＝eq\r(6＋4)＝eq\r(10).(理)(2012·江西文)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是____________．[答案]1[解析]向量b在a上的投影为l＝eq\f(b·a,|a|)＝|b|·cos60°＝1.12．(文)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．[答案]λ>－eq\f(5,3)且λ≠0[解析]∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－eq\f(5,3).当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋λ＝m,2＋λ＝2m))，得λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0.即λ>－eq\f(5,3)且λ≠0.(理)已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.[答案]m∈R且m≠eq\f(1,2)；eq\f(7,4)[解析](1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，∴m≠eq\f(1,2).即实数m≠eq\f(1,2)，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝eq\f(7,4).13．(文)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2eq\r(3)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.[答案]－2[解析]∵|AB|＝2eq\r(3)，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°.∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos120°＝－2.(理)(2012·安徽巢湖市质检)已知A1，A2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A1A2的直线l上的一点，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝________.[答案]－20[解析]由条件知A1(－5,0)，A2(5,0)，F(－3,0)，设P(－3，y0)，则eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝(10,0)，eq\o(PA1,\s\up6(→))＝(－2，－y0)，∴eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝－20.14．(2012·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则λ＝eq\f(1,2)时，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的值为________．[答案]0[解析]由已知得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，当λ＝eq\f(1,2)时，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·0＝0，故填0.三、解答题15．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．[解析](1)由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4)．所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).故所求的两条对角线长分别为4eq\r(2)，2eq\r(10).(2)由题设知eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t)．由(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－eq\f(11,5).(理)(09·江苏)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b[解析](1)由a与b－2c垂直．a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32，∴|b＋c|的最大值为4eq\r(2).(3)由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0∴a∥b.16．(文)(2012·河北正定中学模拟)已知向量a＝eq\f(1,sinx)，－eq\f(1,sinx)，b＝(2，cos2x)，其中x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)试判断向量a与b能否平行，并说明理由？(2)求函数f(x)＝a·b的最小值．[解析](1)若a∥b，则有eq\f(1,sinx)·cos2x＋eq\f(1,sinx)·2＝0.∵x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1矛盾，∴a与b不能平行．(2)∵f(x)＝a·b＝eq\f(2,sinx)－eq\f(cos2x,sinx)＝eq\f(2－cos2x,sinx)＝eq\f(1＋2sin2x,sinx)＝2sinx＋eq\f(1,sinx)，∵x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinx∈(0,1]，∴f(x)＝2sinx＋eq\f(1,sinx)≥2eq\r(2sinx·\f(1,sinx))＝2eq\r(2).当2sinx＝eq\f(1,sinx)，即sinx＝eq\f(\r(2),2)时取等号，故函数f(x)的最小值为2eq\r(2).(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.[分析]要证明AD⊥BC，则只需要证明eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，可设eq\o(AD,\s\up6(→))＝m，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，将eq\o(BC,\s\up6(→))用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝m，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝m－c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，∴m·(c－b)＝0，即eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴AD⊥BC.17．(文)(2012·潍坊市模拟)已知钝角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(eq\r(2)a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)设向量m＝(cos2A＋1，cosA)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(8,5)))，且m⊥n，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋A))的值．[解析](1)∵(eq\r(2)a－c)cosB＝bcosC，∴(eq\r(2)sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴eq\r(2)sinAcosB＝sin(B＋C)，∵sinA≠0，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝eq\f(\r(2),2)，∵B为三角内角，∴B＝eq\f(π,4).(2)∵m⊥n，∴m·n＝cos2A＋1－eq\f(8,5)cosA＝2cos2A－eq\f(8,5)cosA＝0，∵△ABC为钝角三角形，∴cosA≠0，∴cosA＝eq\f(4,5)，∴sinA＝eq\f(3,5)，∴tanA