《高等数学 第2版》课件-第4章 不定积分

第四章不定积分学习目标：1、理解原函数与不定积分的概念；2、掌握计算不定积分的几种主要方法。内容提要：不定积分不定积分的概念直接积分法换元积分法分部积分法第一节不定积分的概念直接积分法重点：（1）原函数与不定积分的概念（2）基本积分公式（3）不定积分的性质（4）直接积分法难点：（1）原函数与不定积分的理解（2）不定积分的几何意义（3）直接积分的变形技巧

一、原函数的概念1、定义引例

已知曲线)(xFy=的任一点（x，y）处的切线斜率

为xK2=，并且已知这条曲线经过点（1，2），求这条曲线的

方程)(xfy=。

解：因为曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为x2，所以有xxFy2)(=¢=¢

我们知道

xCx2)(2=¢+（C为常数）所以

CxxF+=2)(由于曲线经过点（1，2），所以1=C，由此，得曲线方程为12+=xy

定义1设函数)(xF与)(xf在某个区间I上有定义，对于任意的IxÎ，都有：)()(xfxF=¢或dxxfxdF)()(¢=则称)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数。2.原函数的性质定理定理1（原函数存在定理）如果函数)(xf在某区间上有

原函数)(xF，则在该区间上它就有无穷多个原函数，并且

任一个原函数都可以表示为

CxF+)(（C为任意常数）

的形式。CxF+)(称为)(xf的原函数族）

（证明：由于)()(xfxF=¢于是)())((xfCxF=¢+（C为任意常数）所以无穷多个函数CxF+)(构成的函数族都是)(xf的原函数。设)(xG是)(xf的某个原函数，即)()(xfxG=¢，

则0)()()()(])()([=-=¢-¢=¢-xfxfxFxGxFxG所以)()(xFxG-为常数函数即CxFxG=-)()(所以CxFxG+=)()(

（1）（2）二、不定积分定义2如果)(xF是)(xf的一个原函数，则称)(xf的全体原函数CxF+)(（C为任意常数）为)(xf的不定积分

记为òdxxf)(

即ò+=CxFdxxf)()(其中“ò”称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量，任意常数C称为积分常数。由定义可知，求已知函数)(xf的不定积分，只需求出)(xf的一个原函数)(xF，然后再加上任意常数C即可。例1求下列不定积分：（1）òxdxcos（2）

òdxx23解：因为xxcos)(sin=¢，xsin是xcos的一个原函数，所以

Cxxdx+=òsincos

（2）

因为233)(xx=¢，3x是23x的一个原函数，所以Cxdxx+=ò323（1）注：不定积分结果中任意常数C的作用是把一个原函数转化成了原函数族，因此切记不能丢掉。例2验证Cxdxx+-=ò112是否正确。解：因为21)()1()1(xCxCx=¢+¢-=¢+-所以

Cxdxx+-=ò112是正确的。四、不定积分的几何意义由于)(xf的不定积分

CxF+)(是一个函数族，因此它们的

图象就是一个曲线族。每一条就称为)(xf

的一条积分曲线。它

们在横坐标相同的点0x处的切线斜率都是)(0xf，即它们在该

0x处对应的点处的切线都平行。这就是不定积分的几何意义。

oCxfy+=)(y)(xfy=x0x五、不定积分的性质性质1：)(])([xfdxxf=¢ò，或dxxfdxxfd)()(=ò性质2：ò+=¢CxFdxxF)()(，或ò+=CxFxdF)()(性质3：òò=dxxfkdxxkf)()(，即被积函数的常数因子可以

提到积分号的外面。证明：

因为)(])([])([xkfdxxfkdxxfk=¢=¢òò

即òdxxfk)(是)(xkf的原函数，并且其中含有任意常数C，所以

òò=dxxfkdxxkf)()(

性质4：òòò±=±dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([六、直接积分法直接用基本积分公式，或者对被积函数进行适当的恒等变形（代数的或三角的），再利用基本积分公式与运算性质求不定积分的方法，称为直接积分法。它是今后各种积分方法的基础，必须掌握好。例1

求ò-dxxx2)2(解：dxxdxxdx+-=òòò144dxxx+-=ò)44(dxxx-ò)2(2Cxxx++-=ln44212

dxxxx+-=ò442x例5求下列不定积分：(1)

ò-dxxx)53(2(2)dxxxò+124

(3)

dxxxxò++)1(12222(4)dxxxò

解：(1)

(2)

Cxxx++-=arctan313dxxx++-=ò)111(22dxxxx++-+=ò11)1)(1(222dxxx++-=ò11)1(24

dxxx+ò124（3）

+Cxx++-=arctan1dxxdxx++=òò11122dxxx+-=ò)111(22dxxxxx+++=ò)1()1(2222dxxxx+ò)1(12222

（4）

=dxxxò3dxx=ò43Cx+=4774Cx++=+141431dxxxò2121)(

例6：求下列不定积分：（1）dxxxò22cossin1（2）òxdx2tan（3）dxxxòcos2sin（4）dxxò2sin2解：（1）Cxx++=cottandxxxxx+=òcossincossin2222dxxxòcossin122dxxdxx+=òòsin1cos122

（2）Cxxdxxdxdxxxdx+-=-=-=òòòòtansec)1(sectan222

（3）

Cxxdxdxxxxdxxx+-===òòòcos2sin2coscossin2cos2sin

（4）

Cxxxdxdxdxxdxx+-=-=-=òòòòsin2121cos21212cos12sin2

例7

一个物体做直线运动，其速度12+=tv

（sm），

当st1=时，物体所经过的路程ms3=，求物体的运动

方程。解：

设物体的运动方程为)(tss=，根据题意得：

1)()(2+==¢ttvts

所以Cttdttts++=+=ò3231)1()(又当1=t时，3，=s代入上式得：

C++=1313，

解得35=C

因此所求的运动方程为

3531)(2++=ttts

第二节换元积分法重点：（1）第一换元积分法（2）第二换元积分法难点：（1）凑微分技巧（2）第二换元积分法的变量代换一、第一换元积分法

引例

求dxexò5

分析：在基本积分公式中有

ò+=Cedxexx

那么是否也有

ò+=Cedxexx55

呢？

因为xxxeeCe5555)(¹=¢+所以ò+=Cedxexx55是错误的。

我们尝试用用下面的方法：

dxexò5dueu=ò51xdex=ò5551dxex=ò5551

Cexux+=5515回代dueuxu=ò515令

验证：

xxeCe55)51(=¢+

1.定义：一般的，若)(uF是)(uf的原函数，即)()(ufuF=¢，则

ò+=CuFduuf)()(

当)(xuj=时，根据一阶微分形式的不变性，我们有：CXFxuCuFduufuxxdxfdxxxf+=+=¢òòò)]([)()()]([)]([)()]([jjjjjjj回代）（积分）（令凑微分

用这个方法计算不定积分，就称为第一换元积分法，又称为

凑微分法，其中关键的一步就是凑微分。

例1

求ò+dxx8)32(。解：

dxx+ò8)32(Cxxu+++=9)32(18132回代Cu+×99121积分duuux=+ò82132令xdx++ò8)32(3221）（凑微分

例2

求òdxxex2

解：

dxxexò2Cexux+=2212回代Cdueu+ò21积分dueuxu=ò212令dxexò2212凑微分

例3

求òdxxx)cos(ln

解：

dxxxò)cos(lnCxxu+=)sin(lnln回代uduux=òcos21ln令xdxòln)cos(ln21凑微分Cu+sin积分

例4求下列不定积分：

（1）

òxdxxsincos3

（2）

dxxxò-2ln11

（3）

dxxxò+)1sin(

（4）

òdxxex21

解：

（1）

ò-=xxd3coscosòxdxx3sincos+-=Cx4cos41

（2）

xdx-=òlnln112dxxx-òln112Cx+=)arcsin(ln

（3）

Cx++-=)1cos(2xdx++=ò)1()1sin(2xdx+=ò)()1sin(2dxxx+ò)1sin(

（4）

dxxexò21xdex-=ò1)1(Cex+-=1

例5

计算下列不定积分

（1）

)0(122>adxxaò-

（2）

dxxaò+221

（3）

òxdxtan

（4）

òxdxcot

（5）

òxdxsec

（6）

òxdxcsc

解：

（1）

Cax+=arcsinaxdax-=ò)(112dxaxa-=ò)(112adxxa>-ò)0(122

（2）

axdaxa+=ò)(1112adxxa+=ò))(1(122

dxxa+ò122Caxa+=arctan1

（3）

xdx-=òcoscos1dxxx=òcossinxdxòtanCx+-=cosln

同理（4）Cxxdx+=òsinlncot

（5）

Cxx++=tanseclnxxdxx++=ò)tan(sectansec1dxxxxxxxdx++=òòtansec)tan(secsecsecdxxxxxx++=òtansectansecsec2

类似地，有

（6）

Cxxxdx+-=òcotcsclncsc

例6求ò-dxax221

解：

我们知道)11(21122axaxaax+--=-所以Caxaxa++-=ln21Caxaxa++--=]ln[ln21axdaxaxdaxa++---=òò])(1)(1[21dxaxaxadxax+--=-òò)11(21122

例7

求下列不定积分

（1）

ò-+dxxx293

（2）

ò+dxex11

（3）

òxdx2cos

（4）

òxdxx3sin5cos

解：

（1）

Cxx+--=29arcsin3

xdxx---=ò22)9(91213arcsin3dxxxdxx-+-=òò22993x9dxx-+ò23

（2）

Cexedexdxeedxdxeeedxexxxxxxxxx++-=++-=+-=+-+=+òòòòò)1ln()1(11111)1(11

（3）

Cxxxxdxxdxdxdxxxdx++=+=+=+=òòòòò2sin412122cos41212cos212122cos1cos2

（4）

Cxxxdxxdxdxxxxdxx+--=+=-=òòòò2cos418cos1612sin418sin161)2sin8(sin213sin5cos

注：积分方法灵活多变，需要做大量的练习才能掌握好，另外，

一个不定积分若采取不同的方法，表面上可得不同的结果，计算中

要注意到这一点，看下面的例子。

例8求òxdxxcossin

解一：

Cxxxdxdxx+==òò2sin21sinsincossin

解二：

Cxxxdxdxx+-=-=òò2cos21coscoscossin

解三：

Cxxdxxdxxdxx+-===òòò2cos412sin412sin21cossin

可以验证，这三个结果都是正确的，三个原函数之间彼此只差

一个常数。

二、第二换元积分法

第一换元积分法是令)(xuj=，但对于有些不定积分来说，

则需要反用第一换元法，即令)(txj=，把t作为新的积分变量，此时，把第一换元积分法反过来就得到：

CxFxtCtFdtttfxxdxxf+=+¢=--òò)]([)()()()]([21)()(11jjjjj回代积分令

这个方法称为第二换元积分法。因为要求)(txj=有反函数，并且可微，所以要求)(txj=单调可导，并且0)(¹¢tj，为简便起

见，我们约定，本章所遇到的代换)(txj=都满足这个要求，不

再一一验证。

例9求ò+dxx11

解：这个积分困难就在于含有根式x，为了去掉根号，

我们令tx=，则2tx=)0(>t，于是tdtdx2=，

代入原式得：

dtt+-=ò)111(2dttt+-+=ò11)1(2dttt+=ò12dxx+ò11Ctt++-=)1ln(2

再把xt=代回得：

Cxxdxx++-=+ò)]1ln([211

例10

ò+dxxx31

解：

令6tx=，则3tx=，23tx=，dttdtdx566==，

代入原式得：

Ctttt++-+-=)1ln23(623dtttt+-+-=ò)111(62dttt+-+=ò11)1(63dttt+=ò163dtttt-=ò61523dxxx+ò13Cxxxxxt++-+-=)1ln(66326636回代

例11

求下列积分

（1）

ò-dxxa22

（0>a）

（2）

ò+dxax221

（0>a）

（3）

ò-dxax221

（0>a）

解：(1)此积分的困难就在于含有根式，22xa-

我们联想三角公式tt22cossin1=-，可用它来消除根号。

令taxsin=（22pp<<t-），则有：

tataaxacossin22222=-=-，

tdtatdadxcossin==

代入原式得

为了把变量t还原为x，必须求出t，tsin，tcos，

由taxsin=得，axt=sin

，

)2,2(pp-Ît

于是

axtarcsin=

为了求

tcos，可根据

axt=sin

作辅助三角形（如图）

，然后用勾股定理求出第三边，于是

aaxt22cos-=

Cttata++=cossin212122Cttadtta++=+=ò)2sin21(222cos122tdtatdtata=×=òòcoscoscos22dxxa-ò22将它们代入上述的积分结果中得：

Cxaxaxadxxa+-+=-ò2222221arcsin2

（2）

根据（1）的经验，可令taxtan=（22pp<<t-），

则tataaxsec)1(tan2222=+=+，tdtatdadx2sectan==

代入原式得：

Ctttdtdttatadxax++===+òòòtanseclnsecsecsec1222

根据axt=tan，做辅助三角形（如图）

于是

aaxt22sec+=，代入上述结果中得

Caxaaxdxax+++=+ò12222ln1CxaxCaxax+++=+-++=22122lnlnln

其中aCCln1-=

20p<<t（3）

令taxsin=

（），则

tataaxtan)1(sec2222=-=-，

tdttatdadxtansecsec==

txa22xa+代入原式得：

Ctttdtdttattadxax++===-òòòtanseclnsectantansec122

根据axt=sec作辅助三角形

由图知aaxt22tan-=

于是

Caaxax+-+=122lnax-dxò221CaxxCaaxx+-+=+--+=22122lnlnln

其中

aCCln1-=

txa22ax-小结：综上几个例子可以看出，第二换元法的主要目的就是

去根号，我们把第二换元法的几个常用类型归纳如下：

（1）

被积函数含nbax+时，可令tbaxn=+

（2）

被积函数含22xa-时，可令taxsin=（22pp<<t-）

（3）

被积函数含22xa+时，可令taxtan=（22pp<<t-）

（4）

被积函数含22ax-时，可令taxsec=（20p<<t）

第三节分部积分法重点：分部积分公式难点：u和v的选择定义：设函数)(xuu=及)(xvv=具有连续函数，根据函数

乘积的微分法则，有

udvvduuvd+=)(

移项得

vduuvdudv-=)(

两边积分得

òò-=vduuvudv

这个公式称为分部积分公式，它的作用就在于把òudv转化

成òvdu，如果òvdu比òudv容易计算，它就起到了化难

为易的作用。用这个公式计算不定积分，叫做分部积分法。

注：在应用分部积分法解题时，恰当地选择u和v是关键。一般地要注意以下两点：

（1）