江苏省无锡市江阴市2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．2x2＝5x﹣1 C．3x﹣y＝5 D．x+1＝﹣52．（3分）已知点A在半径为2cm的圆内，则点AA．1cm B．2cm C．3cm 3．（3分）一元二次方程x2+3x＝12的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断4．（3分）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为x，则可得方程（）A．14400（1+x）2＝16900 B．14400（1+x2）＝16900 C．14400（1+2x）＝16900 D．14400x2＝169005．（3分）若关于x的方程2x2+mx+5＝0的一个根为1，则它的另一个根为（）A．25 B．﹣25 C． D．6．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cmA．4cm B．5cm C．6cm 7．（3分）下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．8．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（）A．42° B．44° C．46° D．48°9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（）A． B．2 C．3 D．410．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DA，过点D作BC的垂线交BC延长线于E．则下列结论：①DC平分∠ACE；②若点C是中点，则CD平行于△ABD的某条角平分线；③若AC+BC＝12，DE＝3，则DA＝7；④若AC﹣BC＝4，DE＝3，则，其中正确的有（）A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第2空2分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）一元二次方程x2＝1的根是．12．（3分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．13．（3分）等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为．14．（3分）已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥侧面积是cm15．（3分）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为．16．（3分）如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A′BC′，BC′交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为．17．（3分）现有三个代数式：x2+2x+2，y2﹣y，，它们的值互不相同，且分别与，0，﹣x中的某一个值对应相等，则x+y的值为．18．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为AB、BC上两个动点（E不与A重合），且EF＝4．将正方形分别沿过点E和点F的两条直线翻折，使点A的对应点A′和点C的对应点C′都落在线段EF上，两折痕所在直线交于点P，则∠EPF＝°；当A′C′＝1时，AE的长为．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）．20．（8分）已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？21．（8分）一个直角三角形的斜边长是2cm，两条直角边的和为6cm，求两条直角边的长．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0（1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根；（2）若原方程有一个根大于5，求m的取值范围．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DH⊥AC，垂足为点H．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）延长CA交⊙O于E，连接DE，交AB于点F，若AE＝FE，⊙O的半径为3，求的长度（结果保留π）．24．（10分）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图1，已知，在上作一点P，使．小亮同学很快就给出了下列思路：如图2，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点E，交AB于点F，再作FB的垂直平分线GH，交于P，交AB于点Q，则点P即为满足的点．结合图2回答下列问题：（1）与是否相等？请说明理由；（2）小亮的做法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P．25．（10分）在丝绸博览会期间，某公司展销一种工艺品，已知该工艺品每件成本是50元．经市场调研，售价为60元，每天可售出800件；售价每提高5元，销量将减少100件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，请问这种工艺品把销售单价定为多少元时，当日所获利润为10000元．26．（10分）在解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠b，abc≠0）B，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根．（1）求这两个方程相同的根．（2）求原方程两根之和．27．（10分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，E是AB延长线上一点，BE＝AB且F是EC中点．（1）求证：BD＝2BF；（2）连接AO并延长交⊙O于P，延长BF到G使FG＝BF，连接PG、PD，试说明PG＝PD；（3）在（2）的条件下，若为84°，则当∠ABD＝°时，四边形PDBG为菱形．28．（10分）如图，在▱ABCD中，，AB＝10，∠DAB＝45°，G为DC上一点（不与D、C重合），DG＝m（0＜m＜10）．动点E从点B出发，以个单位/秒的速度沿射线BC运动，设运动时间为t秒．（1）将△ABE沿着AE翻折得到△AEF，①当t＝秒时，点F的运动路径长为；②当点F到直线CD的距离等于1时，求t的值；（2）当0≤t≤6时，有且仅有一个时刻，能使△AGE为直角三角形，直接写出m的取值范围．

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．解析：解：A、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；B、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．C、该方程中含有两个未知数，则它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、该方程中未知数x的最高次数是1，则它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．2．解析：解：∵点A在半径为2cm∴点A到圆心的距离小于2cm故选：A．3．解析：解：方程化为一般式为x2+3x﹣12＝0，∵Δ＝32﹣4×（﹣12）＝57＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．解析：解：设平均每年增长的百分率为x，第一年是14400（1+x），第二年是14400（1+x）2，故14400（1+x）2＝16900．故选：A．5．解析：解：设方程的另一个根为t，则由根与系数的关系得：t×1＝，解得：t＝，即方程的另一个根为，故选：C．6．解析：解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故选：B．7．解析：解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故本小题命题是假命题；②边数是偶数的正多边形是中心对称图形，故本小题命题是假命题；③正六边形的半径与边长相等，是真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故本小题命题是假命题；故选：D．8．解析：解：如图，连接OA．∵，∠BOD＝84°，∴∠AOC＝∠BOD＝84°，∴∠ACO+∠CAO＝180°﹣∠AOC＝96°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝×96°＝48°．故选：D．9．解析：解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣4，0）、B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝4∴OP＝AB＝2，∴PQ＝．故选：A．10．解析：解：∵DB＝DA，∴∠DAB＝∠DBA，，∴∠DCA＝∠DBA，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCB+∠DAB＝180°，∵∠DCB+∠ECD＝180°，∴∠ECD＝∠DAB，∴∠ECD＝∠DCA，即DC平分∠ACE，故①正确；∵点C是中点，∴＝∴CD＝BC，∴，又∠DCB+∠DAB＝180°，∴∠DBA＝∠DAB＝180°﹣∠DCB，如图所示，作BF平分∠DBA，∴，∴CD∥BF；故②正确；如图所示，过点D作DG⊥AC于点G，∵DC平分∠ACE，∴∠DCG＝∠DCE，∵∠DGC＝∠E＝90°，DC＝DC，∴Rt△EDC≌Rt△GDC（AAS），∴CE＝CG，又∵DB＝DA，DE＝DG，∴Rt△EDB≌Rt△GDA（HL），∴AG＝EB，∴AC+BC＝AG+CG+BE﹣CE＝2BE＝12，∴BE＝AG＝6，在Rt△ADG中，，故③不正确，若AC﹣BC＝4，DE＝3，∴AC﹣BC＝AG+CG﹣（BE﹣CE）＝2CE＝4，∴CE＝2，在Rt△CDE中，，故④正确，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第2空2分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．解析：解：∵x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1，故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．12．解析：解：由题意可知方程为（x﹣3）（x+2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0．故答案为x2﹣x﹣6＝0．13．解析：解：∵x2﹣7x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，∴（x﹣2）＝0或（x﹣5）＝0，∴x1＝2，x2＝5，∵等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，且2+2＜5，∴该三角形的三边分别为2，2，2，或2，5，5，或5，5，5．∴此等腰三角形的周长为：2+2+2＝6，或2+5+5＝12，或5+5+5＝15．故答案为：6或12或15．14．解析：解：圆锥侧面积＝×2π×3×6＝18π（cm2），故答案为：18π．15．解析：解：如图，连接OC，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°，∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°，∵OB＝OC，∴，故答案为：20°．16．解析：解：连接OC，OD，过O作OE⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝2，∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，∴∠ABC＝∠CBC'＝30°，∴∠DOB＝60°，△BOD是等边三角形，∴∠BOC＝120°，OD⊥BC，∴Rt△OCF≌Rt△DBF（HL），∴阴影部分的面积为：S扇COD＝＝，故答案为：．17．解析：解：由题意可知x2+2x+2＝﹣x，＝﹣，y2﹣y＝0，解得或，∴x+y＝﹣2或0．故答案为：﹣2或0．18．解析：解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴∠B＝90°，BC＝AB＝4，∴∠BEF+∠BFE＝90°，BE＝AB﹣AE＝4﹣AE，∴∠AEF+∠CFE＝180°×2﹣（∠BEF+∠BFE）＝360°﹣90°＝270°，由折叠得A′E＝AE，C′F＝CF，∠PEF＝∠PEA＝∠AEF，∠PFE＝∠PFC＝∠CFE，∴∠PEF+∠PFE＝（∠AEF+∠CFE）＝×270°＝135°，∴∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣135°＝45°，∵EF＝4，A′C′＝1，∴C′F＝CF＝EF﹣A′E﹣A′C′＝4﹣AE﹣1＝3﹣AE，∴BF＝BC﹣CF＝4﹣（3﹣AE）＝1+AE，∵BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣AE）2+（1+AE）2＝42，∴AE＝或AE＝，故答案为：45，或．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解析：解：（1）∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）∵（x﹣3）2＝2x（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（﹣x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3．20．解析：解：由题意得4﹣4m+4＝﹣4，即3﹣m＝0解得m＝3；（2分）∴x2﹣6x+4＝﹣1，∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，得x1＝1，x2＝5．（4分）21．解析：解：设其中一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（6﹣x）cm，由题意，得．整理得x2﹣6x+8＝0．解得x1＝2，x2＝4．当x＝2时，6﹣x＝4；当x＝4时，6﹣x＝2．答：两条直角边的长分别为2和4．22．解析：（1）证明：∵Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m）＝m2+8m+16＝（m+4）∵（m+4）2是非负数，∴△≥0．∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）解：x2+（m﹣4）x﹣4m＝0左边因式分解，得：（x+m）（x﹣4）＝0，∴x1＝﹣m，x2＝4，∵原方程有一个根大于5，∴﹣m＞5，∴m＜﹣5．23．解析：（1）证明：如图1，连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DH⊥AC于点H，∴∠ODH＝∠DHC＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线．（2）解：如图2，连接OD，∵AE＝FE，∠E＝∠B＝∠C，∴∠EFA＝∠EAF＝∠B+∠C＝2∠B，∵∠E+∠EFA+∠EAF＝180°，∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠AOD＝2∠B＝72°，∵⊙O的半径为3，∴＝＝，∴的长是．24．解析：解：（1）．理由：如图2，连接AE，BE，∵直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴．（2）小亮的做法不正确．如图1，连接AB，作线段AB的垂直平分线CD交于点E，连接BF，作线段BF的垂直平分线GH，交于P，则点P即为所求．25．解析：解：设这种工艺品把销售单价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣50）元，每天可售出800﹣×100＝（2000﹣20x）件，根据题意得：（x﹣50）（2000﹣20x）﹣2000＝10000，整理得：x2﹣150x+5600＝0，解得：x1＝70，x2＝80．答：这种工艺品把销售单价定为70元或80元时，当日所获利润为10000元．26．解析：解：（1）∵原来的方程为ax2+bx+c＝0，则小马计算的方程为bx2+ax+c＝0，令ax2+bx+c＝bx2+ax+c，解得：x＝1或x＝0（不合题意，舍去），故两个方程相同的根为x＝1；（2）由（1）得，新方程的两个根为：1和3，∴1+3＝4＝﹣，设原来的方程为ax2+bx+c＝0得一个根为x1，另一个根为x2，则：x1+x2＝﹣＝．27．解析：（1）证明：连接AC，如图1所示，∵，∴，DB＝CA，∵BE＝AB且F是EC中点，则BF为△AEC的中位线，∴AC＝2BF，∴BD＝2BF．（2）证明：如图2所示，∵AP为直径，∴∠PBA＝90°＝∠PBE，连接AC，∵，∴∠CAB＝∠DBA，由（1）可得BF∥AC，∴∠CAB＝∠FBE，∴∠DBA＝∠FBE．又∵∠DBA+∠DBP＝∠FBE+∠GBP＝90°，∴∠DBP＝∠GBP，∵FG＝BF＝＝，∴AC＝BG＝DB．在△DBP和△GBP中，，∴△DBP≌△GBP（SAS）．∴PG＝PD．（3）解：如图3所示，连接OB，由（2）可知PD＝PG，BD＝BG．欲使四边形PDBG为菱形，则需DP＝DB即可，亦即∠DPB＝∠DBP时，四边形PDBG为菱形．当的度数为84°时，即∠AOB＝84°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝＝48°，∠APB＝＝42°，∵∠D与∠PAB所对的弧为，∴∠D＝∠PAB＝48°，当∠DPB＝∠DBP时，∠DPB＝＝66°．∴∠ABD＝∠DPA＝∠DPB﹣∠APB＝66°﹣42°＝24°，故答案为：24．28．解析：解：（1）①∵折叠，∴AF＝AB＝10，∠FAE＝∠BAE，∴点F的运动轨迹是以A为圆心，AB为半径的弧上运动，∴l＝＝π，∴n＝45°，∵∠DAB＝45°，∴此时点F运动到射线AD上，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝AB＝10，∵VE＝，∴t＝＝5s，故答案为：5；②当F在CD下方时，如图所示，作DH⊥AB于H，作FL⊥AB于L，交CD于点K，作EJ⊥AB于J，连接BF，∵AB∥CD，∴四边形DHLK是矩形，∴DH＝LK，∵，∠BAD＝45°，∴DH＝LK＝AD＝7，∵FK＝1，∴FL＝6，∵AF＝AB＝10，∴Rt△AFL中，，∴BL＝AB﹣AL＝2，∵AD∥BC，∴