2025年暑期新初二数学人教版尖子生专题复习《实数》

第19页（共19页）2025年暑期新初二数学人教版（2024）尖子生专题复习《实数》一．选择题（共10小题）1．（2025春•天河区校级期中）如图，数轴上的点P表示的数为x，则x为（）A．-2 B．2 C．3 D．2．（2025春•婺源县期中）已知a=A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．（2025春•界首市期中）若a＜(43+2)×22＜A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和74．（2024秋•竞秀区期末）下列各数中无理数为（）A．π2 B．3-8 C．0 5．（2025•临沧模拟）下列说法：①数轴上没有点表示π这个无理数；②-22＜-14；③13在两个连续整数a和b之间，那么a+b＝7；④若正实数m的平方根是2a+1和4﹣3a，则m＝121；⑤A．2 B．3 C．4 D．56．（2025春•太湖县期中）若x-2+(A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．87．（2025春•天山区校级期中）如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣2，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（）A．2-2 B．2-1 C．28．（2025春•定州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为16时，输出的数y为（）A．1 B．2 C．4 D．29．（2025春•永兴县校级期中）下列说法正确的是（）A．25的平方根是±5 B．41的值小于6 C．（﹣15）2的算术平方根是15 D．6410．（2025春•瑶海区期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入x＝4时，输出的y的值是（）A．2 B．±2 C．4 D．二．填空题（共4小题）11．（2025春•忻府区期中）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定a◎b=3a⋅b，则15◎3的运算结果为12．（2025春•番禺区校级期中）2-3的相反数是，﹣125的立方根是，14的平方根是13．（2024秋•沈河区期末）已知6+1的整数部分为a，小数部分为b，a+2b2a14．（2024秋•沅江市期末）已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，则a的值为．三．解答题（共6小题）15．（2025春•上饶期中）计算：（1）12（2）9x2﹣4＝0．16．（2025春•安康期中）在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”连接起来．﹣（﹣2），16，-12，17．（2025春•东莞市期中）如图，用两个面积为8cm2的小正方形剪拼成一个大的正方形．（1）则大正方形的边长是cm；（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．（参考数据：2≈1.414，18．（2025春•庄浪县期中）计算下列各式中x的值．（1）4x2＝121；（2）（x﹣1）3﹣4＝60．19．（2025春•安康期中）已知一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，a﹣2b的立方根是﹣2．（1）求a，b，m的值；（2）求a2﹣b﹣1的算术平方根．20．（2025春•玉林期中）已知4a﹣1的立方根是3，3a+b的算术平方根是5．（1）求a，b的值．（2）求2a﹣b+6的平方根．（3）求a+

2025年暑期新初二数学人教版（2024）尖子生专题复习《实数》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BACABBABCD一．选择题（共10小题）1．（2025春•天河区校级期中）如图，数轴上的点P表示的数为x，则x为（）A．-2 B．2 C．3 D．【考点】实数与数轴．【专题】数形结合；推理能力．【答案】B【分析】本题综合考查勾股定理与数轴的应用，勾股定理用于计算直角三角形斜边长度，数轴则用于确定数的位置，将几何图形（直角三角形）与数紧密联系，体现“数形结合”思想．【解答】解：观察数轴可知：点P表示的数1＜x＜2，A．∵-2∴此选项不符合题意；B．∵1＜∴此选项符合题意；C．∵1＜∴此选项可能符合题意，∵从图中可知，直角三角形的两直角边分别为1和1，根据勾股定理a2+b＝c2（其中a、b为直角边，c为斜边），则斜边长度为12∵因为该斜边的一端在数轴原点0处，另一端对应的点就是P，且点P在数轴正半轴上，∴所以点P表示的数x＝2，∴此选项不符合题意；D．∵π＞2，∴此选项不符合题意；故选：B．【点评】强化“数形结合”核心思想，让学生理解几何图形（直角三角形）可转化为数（数轴上的点），数也能通过几何图形直观呈现，助力构建数学知识关联．2．（2025春•婺源县期中）已知a=A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】实数大小比较．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】先求出1a【解答】解：1a1b1c∵2025＞2024＞2023＞2022，∴2025＞∴2025+∴1a∴a＞b＞c，故选：A．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法．3．（2025春•界首市期中）若a＜(43+2)×22＜A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；数感．【答案】C【分析】先根据二次根式的乘法运算可得(43+2【解答】解：根据二次根式的乘法运算可得(43∵4＜∴5＜24+1∴a，b的值分别为5和6．故选：C．【点评】本题主要考查了无理数的估算、二次根式的乘法运算等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键．4．（2024秋•竞秀区期末）下列各数中无理数为（）A．π2 B．3-8 C．0 【考点】无理数；立方根．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】根据无理数的定义逐项判断即可．【解答】解：根据无理数的定义逐项分析判断如下：A．π2B．3-C.0是有理数，故该选项不符合题意；D．236故选：A．【点评】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数是关键．5．（2025•临沧模拟）下列说法：①数轴上没有点表示π这个无理数；②-22＜-14；③13在两个连续整数a和b之间，那么a+b＝7；④若正实数m的平方根是2a+1和4﹣3a，则m＝121；⑤A．2 B．3 C．4 D．5【考点】估算无理数的大小；平方根；实数与数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应的关系即可判断①错误；根据算术平方根可得-14=-12，再根据实数的大小比较法则即可判断②正确；根据无理数的估算可得3＜13＜4，由此即可判断③正确；根据一个正数的两个平方根互为相反数可得2a+1+4﹣3a＝0，解方程求出a的值，从而可得2a+1的值，根据m＝（2a+1）2【解答】解：∵实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，∴数轴上有一个点表示π这个无理数，则说法①错误；∵-14=-∴-22＜∵9＜13＜16，∴9＜13＜由条件可得a+b＝3+4＝7，则说法③正确；由条件可得2a+1+4﹣3a＝0，解得a＝5，∴2a+1＝2×5+1＝11，∴m＝112＝121，则说法④正确；∵13＝1，∴1的立方根是1，则说法⑤错误；综上，正确的个数是3个，故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴、实数的大小比较、无理数的估算、平方根与立方根，熟练掌握实数的性质和立方根的性质是解题关键．6．（2025春•太湖县期中）若x-2+(A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8【考点】立方根；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】求一个数的立方根，先把x-2+(y+4)2=0【解答】解：∵x-∴x-则x＝2，y＝﹣4，∴xy＝2×（﹣4）＝﹣8，则3xy故选：B．【点评】本题考查了算术平方根，平方的非负性，熟练掌握平方根性质是关键．7．（2025春•天山区校级期中）如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣2，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（）A．2-2 B．2-1 C．2【考点】实数与数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】根据正方形的面积，求出AD的长，进而得到AE的长，进而求出点E所表示的数即可．【解答】解：由条件可知AD=∴AE=∴数轴上点E所表示的数为2-故选：A．【点评】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，熟练掌握以上知识点是关键．8．（2025春•定州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为16时，输出的数y为（）A．1 B．2 C．4 D．2【考点】算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】由算术平方根的定义，即可得到答案．【解答】解：当输入的数x为16时，取算术平方根是4为有理数，再输入4，取算术平方根是2为有理数，把2输入，输出的数y=2故选：B．【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．9．（2025春•永兴县校级期中）下列说法正确的是（）A．25的平方根是±5 B．41的值小于6 C．（﹣15）2的算术平方根是15 D．64【考点】算术平方根；平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】利用平方根，算术平方根的定义，无理数的估算计算即可．【解答】解：根据平方根，算术平方根的计算，无理数的估算逐项分析判断如下：A、25=5的平方根是±B、∵41＞36，∴41＞C、（﹣15）2＝225，225的算术平方根是15，故本选项符合题意；D、64=8故选：C．【点评】本题主要考查平方根，算术平方根的计算，无理数的估算．熟练掌握以上知识点是关键．10．（2025春•瑶海区期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入x＝4时，输出的y的值是（）A．2 B．±2 C．4 D．【考点】算术平方根；平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】D【分析】根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可．【解答】解：根据程序输入4，运算一次后得到的是2，再循环运算输出的y值是2．故选：D．【点评】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键．二．填空题（共4小题）11．（2025春•忻府区期中）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定a◎b=3a⋅b，则15◎3的运算结果为【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】315【分析】根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可．【解答】解：根据新运算的法则列式计算可得：15◎故答案为：315【点评】本题考查定义新运算，二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是关键．12．（2025春•番禺区校级期中）2-3的相反数是3-2，﹣125的立方根是﹣5，14的平方根是【考点】实数的性质；平方根；立方根．【专题】实数；运算能力．【答案】3-2；﹣5；【分析】根据立方根、平方根性质及相反数性质，将各个数化简即可．【解答】解：根据立方根、平方根性质及相反数性质可知：2-3的相反数是：﹣125的立方根是：3-14的平方根是：±故答案为：3-2；﹣5；【点评】本题考查立方根与平方根，解题的关键是根据相反数、立方根及平方根的意义．13．（2024秋•沈河区期末）已知6+1的整数部分为a，小数部分为b，a+2b2a【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；运算能力．【答案】26【分析】首先得出a，b的值，进而代入原式求出即可．【解答】解：∵2＜∴3＜∴6+1的整数部分为a＝3，小数部分为b∴a+2故答案为：26【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是找出a＝3，b=14．（2024秋•沅江市期末）已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，则a的值为4．【考点】平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】4．【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，∴a＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了平方根；熟练掌握该知识点是关键．三．解答题（共6小题）15．（2025春•上饶期中）计算：（1）12（2）9x2﹣4＝0．【考点】实数的运算；平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）2-（2）x=【分析】（1）先计算立方根，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可；（2）运用平方根进行求解即可．【解答】解：（1）原式==-=2-（2）9x2﹣4＝0，9x2＝4，x2x=【点评】本题考查求立方根，绝对值等实数的运算，运用平方根解方程，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．16．（2025春•安康期中）在数轴上表示下列各数，并把它们用“＜”连接起来．﹣（﹣2），16，-12，【考点】实数大小比较；算术平方根；立方根；实数与数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】数轴见解析，-3【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴的特点从左到右用“＜”把它们连接起来即可．【解答】解：在数轴上表示为：∴-3【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握该知识点是关键．17．（2025春•东莞市期中）如图，用两个面积为8cm2的小正方形剪拼成一个大的正方形．（1）则大正方形的边长是4cm；（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．（参考数据：2≈1.414，【考点】算术平方根．【专题】操作型．【答案】（1）4；（2）不能，理由见解答．【分析】（1）根据拼接前后图形的面积不变可知，大正方形面积是16，故可得其边长是4；（2）根据题意，可设长方形的边长为3a，2a，则有6a2＝12，a=2，则该长方形的长为32＞4，故不能剪出长宽之比为3：2且面积为12cm【解答】解：（1）由题意得，S大正方形＝2S小正方形＝16（cm2），∴大正方形的边长是4cm，故答案是：4；（2）不能，理由如下：设长方形纸片的长为3acm，宽为2acm，则2a•3a＝12，解得：a=2∵2≈1.414∴32≈4.242＞4所以沿此大正方形边的方向不能剪出长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片．【点评】本题考查了图形的剪拼及算术平方根，掌握剪拼前后图形的面积变化是解决问题的关键．18．（2025春•庄浪县期中）计算下列各式中x的值．（1）4x2＝121；（2）（x﹣1）3﹣4＝60．【考点】立方根；平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）x=（2）x＝5．【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；（2）根据立方根的意义求解即可．【解答】解：（1）∵4x2＝121，∴x2∴x=（2）∵（x﹣1）3﹣4＝60，∴（x﹣1）3＝64，∴x﹣1＝4，∴x＝5．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的意义，正确理解平方根和立方根的意义上解题的关键．19．（2025春•安康期中）已知一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，a﹣2b的立方根是﹣2．（1）求a，b，m的值；（2）求a2﹣b﹣1的算术平方根．【考点】立方根；平方根；算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）a＝4，b＝6，m＝4；（2）3．【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，根据平方根的性质，列出方程解出a，继而可求出m；再根据a﹣2b的立方根为﹣2，列出方程解出b；（2）把a＝4，b＝6代入a2﹣b﹣1计算出代数式的值，然后求它的算术平方根即可．【解答】解：（1）因为一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，所以3a﹣14+a﹣2＝0，解得：a＝4；∴a﹣2＝4﹣2＝2，∴m＝22＝4；因为a﹣2b的立方根是﹣2，所以a﹣2b＝﹣8，解得：b＝6．（2）由上一问结论可知a＝4，b＝6，则a2﹣b﹣1＝42﹣6﹣1＝9，∵9的算术平方根为3．∴a2﹣b﹣1的算术平方根为3．【点评】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．20．（2025春•玉林期中）已知4a﹣1的立方根是3，3a+b的算术平方根是5．（1）求a，b的值．（2）求2a﹣b+6的平方根．（3）求a+【考点】立方根；平方根；算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）a＝7，b＝4；（2）±4；（3）2．【分析】（1）根据立方根的定义可求出a，根据算术平方根的定义求出b即可；（2）根据平方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解；（3）根据立方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解．【解答】解：（1）由条件可知4a﹣1＝33，解得a＝7，因为3a+b的算术平方根是5，所以3a+b＝52，即21+b＝25，解得b＝4；（2）2a﹣b+6的平方根是±2（3）a+b4【点评】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟知三者的定义是解题的关键．

考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．4．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．5．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．6．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如2，（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．7．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝