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文档简介

余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理「学习目标」1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,体会数学抽象及逻辑推理的核心素养.2.通过利用余弦定理及推论解三角形,发展逻辑推理及数学运算的核心素养.知识梳理自主探究「知识探究」1.余弦定理(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和

这两边与它们夹角的

的积的两倍.(2)符号语言:在△ABC中,a2=

,b2=

,c2=

.减去余弦b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC2.余弦定理的推论在△ABC中,cosA=

,cosB=

,cosC=

.3.解三角形一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的

.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做

.元素解三角形师生互动合作探究探究点一已知两边及一角解三角形604或5方法总结已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边.求出第三边后,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.√√探究点二已知三边解三角形A.90° B.120° C.135° D.150°√方法总结已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.√探究点三判断三角形的形状[例3]在△ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,试判断△ABC的形状.通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理得(a2-b2)2=c4.所以a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.方法总结利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断.(2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.[针对训练](1)在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法判断√(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+ccosA=b+ccosB,则△ABC为(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形√「当堂检测」1.在△ABC中,a=7,b=3,c=5,则A等于(

)A.30° B.60° C.90° D.120°√A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形√3.在△ABC中,若a2+b2-c2=ab,则C=

.

60°

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