2024-2025学年四川省成都市五城区高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省成都市五城区高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2−ii(i为虚数单位)的共轭复数是A.1−2i B.1+2i C.−1+2i D.−1−2i2.cos7π8cosA.−1 B.1 C.−223.函数y=1−2sin3x，x∈(0,π)的零点个数是(

)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4.如图，A，B是⊙C上的两点，|AB|=2，则AB⋅AC=(

)A.1

B.2

C.4

D.65.下列结论正确的是(

)A.AC+CD−BD=BA

B.若|AC|=|BD|,AB//CD，则四边形ABCD6.在平面四边形ABCD中，AB=7,BC=2,AC=3,AD=mBC(m∈R且m≠0).当A.34 B.34 C.37.如图，在棱长为3+3的正方体内恰好装入两个相外切的球O1，O2，球心O1，O2在正方体的对角线上，其中球O2的半径为2A.1

B.2

C.3

8.如图，G为△OAB的重心，过点G的直线分别与OA，OB交于点P，Q，且OP=mOA，OQ=nOB，其中m，n∈(0,1)，则A.73 B.3C.143 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+π3A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)的图象关于x=π2对称

C.函数f(x)在[0,π2]的最小值为32

D.函数f(x)10.关于平面向量，下列说法正确的是(

)A.若a=(1,0)，b=(0,1)，对任意的非零实数λ和μ，则λa⊥μb

B.若a=(1,−1)，b=(2,4)，则向量a，b的夹角为钝角

C.若|a|=2，|b|=1，且a和b的夹角为120°，则|a−2b|=2

D.若点P11.如图所示的圆台O1O2，圆台的高为3，上底面圆O2的半径为1，下底面圆O1的半径为A.该圆台轴截面面积为33

B.该圆台的表面积为6π

C.该圆台的体积为73π3

D.一只蚂蚁从C点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tan(α+π4)=−2，则13.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，且A14.如图，已知直线l1//l2，直线DE垂直于l1和l2，垂足分别为D，E.若点A是线段DE上的定点，B，C两点分别是直线l1，l2上的动点，且AD=1，AE=2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=2+4i,z2=a+i(a∈R)．

(1)若z=z−1⋅z2是纯虚数，求a的值；

(2)在复平面内，复数z116.(本小题15分)

在△ABC中，内角A、B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，b=3，cosB=−1010．

(1)求A；

(2)17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=EC，点F，G分别是DE，BC的中点，连接FG．

(1)试用AB和AC表示FG；

(2)若AB=6，AC=8，∠BAC=60°．

①求|FG|；18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，∠PAB=∠PAD．

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若cos∠PAB=13,PA=32AB．

①证明：PA=PC；19.(本小题17分)

若平面内的数轴Ox，Oy相交所成角为∠xOy=π4，则这两条数轴构成的坐标系叫做“半斜坐标系”.设e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=λe1+μe2，则有序数对(λ,μ)(用斜括号表示有序数对)叫做向量OP的“半斜坐标”已知在半斜坐标系内的△ABC，点D在AC所在的直线上，且OB=(0,−1),OD=(2,0)．

(1)求|BD|；

(2)若OC=(x,y)，且2x+y=1(答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】

解：∵复数z=2−ii=−i(2−i)−i⋅i=−1−2i的共轭复数为2.【答案】D

【解析】解：cos7π8cos5π8+sin7π83.【答案】C

【解析】解：根据题意，若1−2sin3x=0，则sin3x=12，则3x=2kπ+π6或3x=2kπ+5π6，k∈Z，

又由x∈(0,π)，则3x∈(0,3π)，

此时有3x=π6、5π6、13π6、17π6，

即x=π18、5π18、13π184.【答案】B

【解析】解：如图，过C作CO⊥AB于O，

则O为AB的中点，又|AB|=2，

所以AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cosA=|AB|×15.【答案】D

【解析】解：对于A：AC+CD−BD=AD+DB=AB，故A错误；

对于B：若AB=DC，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为矩形，故B错误；

对于C：若两个向量方向相同，模长相等，则这两个向量为相等向量，故C错误；

对于D：平面内两个非零向量a，b满足|a+b|=|a6.【答案】D

【解析】解：在△ABC中，AB=7，BC=2，AC=3，

由余弦定理可知AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos∠ACB，

即7=9+4−2×3×2cos∠ACB，解得cos∠ACB=12，

所以∠ACB=π3，

又因为AD=mBC，所以AD//BC，且m>0，作AE⊥BC于点E，

则7.【答案】A

【解析】解：设正方体为ABCD−A1B1C1D1，球O1，O2的半径分别为r1，r2，

作出对角线A1C及球心O1，O2所在的截面，如图所示：

因为正方体的棱长为3+3，所以A1C=3(3+3)2=3+33；

在直角△ACA1中，sin∠ACA1=AA1A1C8.【答案】B

【解析】解：G为△OAB的重心，且OP=mOA，OQ=nOB，

所以OG=23×12(OA+OB)=13(1mOP+1nOQ)，m，n∈(0,1)，9.【答案】AD

【解析】解：对于A，函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π，选项A正确；

对于B，f(π2)=sin(2×π2+π3)=−sinπ3=−32，所以x=π2不是f(x)图象的对称轴，选项B错误；

对于C，x∈[0,π2]时，2x+π310.【答案】ABD

【解析】解：对于A，因为a=(1,0)，b=(0,1)，

所以λa=(λ,0)，μb=(0,μ)，

所以λa⋅(μb)=0，即λa⊥μb，故A正确；

对于B，若a=(1,−1)，b=(2,4)，

则cos<a,b>=a⋅b|a||b|=−22×20<0≠−1，

所以向量a，b的夹角为钝角，故B正确；

对于C，若|a|=2，|b|=1，且a和b的夹角为120°，

则|a−2b|2=a2+4b2−4a⋅b=4+4−4×2×1×(−12)=12，

所以|11.【答案】ACD

【解析】解：对于A选项，圆台轴截面为等腰梯形ABCD，其中AB=2，CD=4，O1O2=3，

则其面积为：SABCD=12(2+4)×3=33，所以A选项正确；

对于B选项，由图知，圆台的母线长AD=(2−1)2+(3)2=2，

则圆台的表面积为：π+4π+(π+2π)×2=11π，所以B选项错误；

对于C选项，该圆台的体积为13×(π+4π+2π)×3=733π，所以C选项正确；

对于D选项，将圆台沿着母线BC展开，得到如图的扇环形，

由题意可知蚂蚁爬行的最短路程为CM的长，

因OC=2BC=4，劣弧CD的长为2π，

12.【答案】3

【解析】解：因为tan(α+π4)=−2，

则tanα+11−tanα=−2，解得tanα=3．13.【答案】10【解析】解：如图取BB1中点为F，连接EF，

易得EF/​/DC，EF=DC，则CF/​/DE，

则∠A1CF为异面直线CA1与DE所成角或其补角，

因AA1平面ABCD，几何体ABCD−A1B1C1D1为四棱柱，

AA1=AB=BC=4，则FB1⊥B1A1，

由FB1=2，B1A1=4，可得FA1=FB12+B1A12=214.【答案】2【解析】解：设∠ABD=α，

由∠BDA=π2，则∠BAD=π2−α，

所以∠CAE=π−∠BAC−∠BAD=π−π3−(π2−α)=π6+α，

在Rt△ABD中，tanα=ADBD，

所以BD=1tanα，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE，

所以CE=AEtan∠CAE=2tan(α+π6)，

所以△ABC的面积S=S梯形BDEC−S△ABD−S△ACE=12×(1tanα+2tan(α+π6))×(1+2)−12×1×115.【答案】a=−2；

z2=3+i或z【解析】(1)由题得，z1−=2−4i，

所以z=z1−⋅z2=(2−4i)(a+i)=(2a+4)+(2−4a)i，

因为z=z−1⋅z2是纯虚数，所以2a+4=0且2−4a≠0，即a=−2；

(2)由题意，OA=(2,4),OB=(a,1)，

因为∠AOB=π4，所以cos<OA,OB>=2a+425⋅a16.【答案】A=π4；

3【解析】(1)因为cosB=−1010，且B∈(0,π)，

所以sinB=1−cos2B=1−(−1010)2=31010，

根据正弦定理得asinA=bsinB，即5sinA=331010，

所以sinA=22，

又由题知B为钝角，故A∈(0,π2)，所以A=π417.【答案】FG=16AB+14AC【解析】(1)在四边形FDBG中，FG=FD+DB+BG，

在四边形FECG中，FG=FE+EC+CG，

又因为F，G分别是DE,BC的中点，

所以FD=−FE,BG=−CG，

所以2FG−=(FD−+DB−+BG−)+(FE−+EC−+CG−)=DB−+EC−，

即FG−=12DB−+12EC−，又因为AD18.【答案】证明见解答；

①证明见解答；②−18【解析】解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，

因为∠PAB=∠PAD，AB=AD，AP=AP，

所以△PAB≌△PAD．

所以PB=PD，

又在△PBD中，O是BD的中点，所以PO⊥BD，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又因为AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O，

所以BD⊥平面PAC；

(2)①证明：在△PAB中，cos∠PAB=13，PA=32AB，

不妨设AB=2a，则PA=3a，

由余弦定理得PB2=(2a)2+(3a)2−2×2a×3a×13=9a2，

所以PB=3a，

又在△POB中，PO⊥OB,OB=2a，

故由勾股定理，得PO=PB2−OB2=7a，

又在△POA中，OA=2a,PA=3a，

所以PO2+OA2=PA2，所以PO⊥OA，

故在△POC中，可得PC=(7a)2+(2a)2=3a，

所以PA=PC，

②由①知，△PAB≌△PCB，

过A作AE⊥PB交PB于E，

由△PAB≌△PCB得CE⊥PB，

所以∠AEC即为二面