2024-2025学年江苏省常州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省常州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足i2z=1−2i，其中i为虚数单位，则z对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.cos70°sin40°−sin70°cos40°=(

)A.−32 B.−12 3.某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是(

)A.3 B.5 C.6 D.104.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊂α，n//α，则m//n B.若m⊂α，m//n，则n//α

C.若m//α，α⊥β，则m⊥β D.若m//α，m⊥β，则α⊥β5.若将一个表面积为36πcm2的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥(熔铸过程中损耗忽略不计)，则该圆锥的底面半径为(

)A.2cm B.23cm C.3cm6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积.若2S=b(acosB+bcosA)，则A=(

)A.π6 B.π4 C.π37.已知正四棱锥P−ABCD的底面边长和侧棱长相等，记异面直线PA与CD所成角为α，侧棱PA与底面ABCD所成角为β，侧面PAB与底面ABCD所成的二面角为γ，则(

)A.α>β>γ B.α>γ>β C.β>α>γ D.γ>β>α8.已知平面向量a，b，c均为单位向量，若a与b的夹角为60°，则(c−a)A.2+3 B.4 C.2+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则(

)A.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件

B.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件

C.事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件

D.事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立10.在△ABC，若A>B，则(

)A.sinA>sinB B.cosA<cosB C.sin2A>sin2B D.cos2A<cos2B11.如图，圆台O1O2的上、下底面半径分别为1和2，高为22，点A为下底面圆周上一点，SA.该圆台的体积为142π3

B.该圆台的内切球的半径为2

C.直线SA与直线O1O2所成角的最大值为π3

D.直线AO1与平面12.若(1+i)z=4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为______．13.若cos(α+π3)=−114.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则以四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知四边形ABCD是平行四边形，且A(2,3)，B(−2,−1)，C(4,2)．

(1)求点D的坐标；

(2)求平行四边形ABCD的面积．16.(本小题15分)

在地平面上有一竖直的旗杆OP(O在地平面上)，为了测得它的高度，在地平面上取一基线AB，测得其长为20m.在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得∠AOB=30°．

(1)求旗杆的高度ℎ；

(2)求点A到平面POB的距离．17.(本小题15分)

某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)试估计本次测试的平均成绩(用各组区间中点的数值即“组中值”近似地表示每组的成绩)；

(3)立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率．18.(本小题17分)

在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=4，点P，Q均在线段AB上(不含端点)，且∠PCQ=45°．

(1)若CP=5，求AP的长；

(2)求△PCQ19.(本小题17分)

如图1，在直角梯形PBCD中，PB//CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中点.现沿AD把△PAD折起，使得PA⊥AB(如图2所示)，E，F分别为BC，AB的中点，G是线段PA上一点．

(1)求证：平面PAE⊥平面PDE；

(2)若G是线段PA的中点，求FG与平面PAE所成的角；

(3)若FG//平面PDE，求AGAP的值．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由题意，−z=1−2i，解得z=−1+2i，对应的点为(−1,2)，位于第二象限．

故选：B．

求出复数z，根据复数的几何意义确定正确选项．

本题考查复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】B

【解析】解：由题意得cos70°sin40°−sin70°cos40°

=−(sin70°cos40°−cos70°sin40°)=−sin(70°−30°)=−sin30°=−12．

故选：B．3.【答案】C

【解析】解：按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，

则女生应抽取的人数是16×80−5080=6．

故选：C．

4.【答案】D

【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

对于A，∵A1B1//平面ABCD，BC⊂平面ABCD，且A1B1与BC为异面直线，故A错误；

对于B，∵AB⊂平面ABCD，AB/​/CD，

CD⊂平面ABCD，不满足CD/​/平面ABCD，故B错误；

对于C，∵A1B1//平面ABCD，平面ABCD⊥平面CDD1C1，

A1B1/​/平面CDD1C5.【答案】B

【解析】解：设圆锥的底面半径为r，铁球的半径为R，

由已知4πR2=36π，解得R=3，

由球的体积与圆锥的体积相等，

可得43π×33=13πr26.【答案】D

【解析】解：因为2S=b(acosB+bcosA)，

所以b×(acosB+bcosA)=b×(a×a2+c2−b22ac+b×b2+c2−a22bc)=bc，7.【答案】B

【解析】解：取CD，BC中点E，F，连接BE，DF交于点O，连接AO，AE，AF，

∵四面体A−BCD为正四面体，∴O为△BCD的中心，且AO⊥平面BCD，

∵△ACD，△BCD均为等边三角形，∴CD⊥AE，CD⊥BE，

又AE∩BE=E，AE，BE⊂平面ABE，∴CD⊥平面ABE，

又AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB，即α=π2；

∵AO⊥平面BCD，∴β=∠ABO，

设正四面体A−BCD的边长为a，

∴BO=23BE=23×32a=33a，∴cosβ=33aa=33，

∵△ABC，△BCD均为等边三角形，∴AF⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AFD即为侧面ABC与底面BCD所成的锐二面角，即γ=∠AFD，

∵OF=13DF=13×32a=36a，AF=32a，

∴cosγ=36a8.【答案】C

【解析】解：因为a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，所以|a|=|b|=|c|=1，a⋅b=1×1×cos60°=12，

|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=1+4×12+4=7，

所以|a9.【答案】BD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；

对于B，因为“至少有一次点数为奇数”包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数，

所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生，

因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生，

所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确；

对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生，

所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误；

对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有6×6=36种不同的结果，

记“第一次点数为偶数”为事件A，则事件A包含3×6=18种结果，故P(A)=1836=12，

记“第二次点数为奇数”为事件B，则事件B包含6×3=18种结果，故P(A)=1836=12，

事件A，B同时发生包含3×3=9种不同的结果，故P(AB)=936=10.【答案】ABD

【解析】解：在三角形中大角对大边，

∵A>B，

∴a>b，由正弦定理知asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)，

从而a=2RsinA，b=2RsinB，

∴2RsinA>2RsinB，

∴sinA>sinB，故选项A正确；

y=cosx在(0,π)上是减函数，

∵0<A<π，0<B<π，且A>B，

∴cosA<cosB，故B正确；

取A=60°，B=45°，则sin2A=sin120°=32，sin2B=sin90°=1，有sin2A<sin2B，

故C不一定正确；

∵A+B+C=π，

∴sin(A+B)=sinC，

∵0<A−B<π，

∴sin(A−B)>0，

又sinC>0，

∴cos2A−cos2B=−2sin(A+B)sin(A−B)=−2sinCsin(A−B)<0，

∴cos2A<cos2B，故D正确．

故选：ABD．

由三角形中大角对大边知a>b，再由正弦定理知选项A正确；

由余弦函数在(0,π)11.【答案】ABD

【解析】解：对于A，因为圆台O1O2的上、下底面半径分别为1和2，高为22，

所以V=π3(12+1×2+22)⋅22=1423π，故A正确；

对于B，设上底面半径为R1，下底面半径为R2，若圆台存在内切球，

则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图(1)所示，

梯形的上底和下底分别为2，4，高为22，

易得等腰梯形的腰为12+(22)2=3，

假设等腰梯形有内切圆，则腰长S1B=3=R1+R2，

所以梯形S1SCB存在内切圆，

故圆台存在内切球，且内切球的半径为2，故B正确；

对于C，如图(2)，过S作SD垂直于下底面于点D，则O1O2//SD，

所以直线SA与直线O1O2所成角即为直线SA与直线SD所成角，即∠ASD为所求，

而tan∠ASD=ADSD=AD22，由圆的性质得，1≤AD≤3，

所以tan∠ASD∈[24,324]，

因为324<3,3=tanπ3，故C错误；

对于D，如图(3)，平面SO1O2即平面SO1O2C，

过点A做AH⊥BC交BC于点H，

因为SD12.【答案】2【解析】解：由题意，z=4i1+i=4i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i，

所以|z|=4+4=22．

13.【答案】78【解析】解：根据cos(α+π3)=−14，可得sin[π2−(α+π3)]=−14，即sin(π14.【答案】π6【解析】解：因为DD1⊥平面ABCD，

所以平面ABCD与球的截面是以D为圆心的圆，

且半径为(103)2−12=13，

所以球面与底面ABCD的交线为以D为圆心，13为半径的圆与正方形ABCD相交的一段弧，

该交线长为15.【答案】(8,6)；

12．

【解析】(1)由题意，AB=(−4,−4)，

设D的坐标为(x,y)，DC=(4−x,2−y)，

因为AB=DC，

所以4−x=−4，且2−y=−4，

解得x=8，y=6，即D(8,6)；

(2)由AB=(−4,−4)，AD=(6,3)，

则AB⋅AD=−24−12=−36，|AB|=16+16=42，|AD|=36+9=35，

则cos〈AB,AD〉=16.【答案】ℎ=20m；

103【解析】解：(1)由题意AO=3ℎ，BO=ℎ，AB=20m，∠AOB=30°，

由余弦定理，400=3ℎ2+ℎ2−2ℎ⋅3ℎ×32，解得ℎ=20m；

(2)过点A作AC⊥BO于点C，

由题意PO⊥平面ABO，又AC⊂平面ABO，所以AC⊥PO，

又因为AC⊥BO，BO∩PO=O，BO，PO⊂平面PBO，

所以AC⊥平面PBO，

故所求为线段AC的长度，

由(1)可知AO=3ℎ=203m，

17.【答案】a=0.020；

73；

0.96．

【解析】(1)根据频率分布直方图，则0.008×10+a×10+0.032×10+0.024×10+0.016×10=1，

解得a=0.020；

(2)设本次测试的平均成绩为x−，

则0.008×10×95+0.020×10×85+0.032×10×75+0.024×10×65+0.016×10×55=73，

故本次测试的平均成绩为73；

(3)设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为P，则P=0.8+0.2×0.8=0.96，

即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为0.96．

(1)根据频率分布直方图计算即可；

(2)由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解；

(3)小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可．

18.【答案】AP=3或AP=1；

42【解析】解：(1)在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=4，点P，Q均在线段AB上(不含端点)，

所以∠CAP=45°，在△ACP中，CP2=CA2+AP2−2CA×AP×cos45°，

所以5=8+AP2−4AP，

所以AP=3或AP=1；

(2)过C作CT⊥AB交AB于T，则CT=2，

设∠PCT=α，∠QCT=β，则α+β=45°，

所以12PT=tanα，12QT=tanβ，

△PCQ的面积为S=12(PT+QT)×2=2(tanα+tanβ)，

因为1=tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtan19.【答案】证明见解析；

FG与平面PAE所成的角为π6；

AGAP【解析】(1)证明：直角梯形PBCD中，PB//CD，CD⊥BC，PB=2CD，A是PB的中点，

所以CD=AB，四边形ABCD为矩形，所以PA⊥AD，

因为PA⊥AB，AB∩AD=A，

所以PA⊥平面ABCD，

又E为BC边的中点，所以AB=BE=CE=CD，

所以△A