2026版创新设计高考总复习数学人教A版学生用-第4节　空间直线、平面的平行

第4节空间直线、平面的平行课标要求1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.【知识梳理】1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的______平行，那么该直线与此平面平行a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线______于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面________，那么两条________平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[常用结论与微点提醒]1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.2.三种平行关系的转化(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假命题.【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()2.(人教A必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交3.(人教A必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.4.(人教B必修四P108T3改编)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，直线PA和PC分别与β相交于B和D，若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，则PD＝________cm.考点一直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD.角度2直线与平面平行的性质例2(2025·宜荆荆恩联考)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为线段PD，PC上的点，且eq\f(PE,ED)＝eq\f(3,2)，若直线BF∥平面AEC，则eq\f(PF,FC)＝________.思维建模1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，即证明线线平行，一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，而判定直线与平面平行，主要有三种方法：(1)线面平行的定义(无公共点)；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理.2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.训练1如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.考点二平面与平面平行的判定与性质例3(2024·潍坊质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点.(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.思维建模1.证明面面平行可以通过线面平行来证明，而判定面面平行主要有四种方法：(1)定义(常与反证法结合)；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.2.当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.训练2如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.考点三平行关系的综合应用例4如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值.思维建模解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.训练3(2025·双鸭山模拟)如图，在正四面体S－ABC中，AB＝4，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取