2025年高考数学模拟检测卷：立体几何几何性质突破试题

2025年高考数学模拟检测卷：立体几何几何性质突破试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（2，1，-1），点C（-1，-2，4），则向量AB与向量AC的夹角余弦值是（）A.0B.1/2C.1/3D.2/32.已知一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面三角形中，有一条边长为2，另一条边长为3，则该三棱锥的体积是（）A.√3/3B.√6/3C.√2/3D.√5/33.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB和棱CC1的中点，则四边形B1ED1F的形状是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，则该正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1垂直于底面，若AB=2，AA1=1，则点B1到平面ACC1A1的距离是（）A.√3/3B.√2/3C.√5/3D.√7/36.已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角大小是（）A.120°B.180°C.240°D.300°7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1的中点，点Q是棱BB1的中点，则直线PQ与平面ADD1A1所成的角大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面三角形中，有一条边长为2，另一条边长为√3，则该三棱锥的表面积是（）A.4√3B.6√3C.8√3D.10√39.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若AB=2，AD=1，PA=√3，则点P到直线BC的距离是（）A.1B.√2C.√3D.210.已知一个球内切于一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2，则该球的体积是（）A.4/3πB.8/3πC.16/3πD.32/3π11.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，侧棱AA1垂直于底面，若A1B=√7，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积是（）A.4√3B.8√3C.12√3D.16√312.已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为√2，则该圆锥的侧面展开图的面积是（）A.πB.2πC.√2πD.2√2π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1CD所成的角大小是________。14.已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角大小是________。15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1垂直于底面，若AB=2，AA1=1，则点A1到平面BCB1的距离是________。16.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，若AB=2，AD=1，PA=√3，则四棱锥P-ABCD的体积是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PA=√3，E是PC的中点。（1）求证：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-B的余弦值。18.（12分）已知三棱锥D-ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，AD⊥平面ABC，AD=1，E是BC的中点。（1）求证：DE⊥BC；（2）求三棱锥D-ABC的体积；（3）求直线DE与平面ADC所成的角大小。19.（12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点，点G是棱DD1的中点。（1）求证：四边形B1ED1F是菱形；（2）求二面角E-B1BD-F的余弦值。20.（12分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为√3，点A、B在圆锥的底面圆上，∠AOB=120°，其中O为圆锥的底面圆心。（1）求圆锥的侧面展开图的圆心角大小；（2）求直线AB与轴OO1所成的角大小，其中O1为圆锥的顶点。21.（12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，侧棱AA1垂直于底面，A1B=√7。（1）求证：AA1⊥BC；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；（3）求点A1到平面BB1C1C的距离。22.（10分）已知一个球内切于一个圆锥，圆锥的底面半径为2，母线长为√5，求该球的表面积。四、证明题（本大题共2小题，共20分。证明题应写出证明过程或演算步骤。）23.（10分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD。求证：平面PAB⊥平面PCD。24.（10分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点。求证：四边形A1B1ED1是平行四边形。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：C解析：向量AB=(1,-1,-4)，向量AC=(-2,-4,1)。两向量的点积为1*(-2)+(-1)*(-4)+(-4)*1=-2+4-4=-2。两向量的模分别为√(1^2+(-1)^2+(-4)^2)=√18=3√2，√((-2)^2+(-4)^2+1^2)=√21。余弦值为-2/(3√2*√21)=-2/(3√42)=-√2/3。选项C为√2/3，显然是错误的，可能是题目或选项有误。2.答案：B解析：由题意，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面三角形中有一条边长为2，另一条边长为3。假设底面为ABC，侧面为ABD，其中AB=2，AD=3。设高为h，则体积V=1/3*底面积*高。底面ABC的高为√(2^2-(2/2)^2)=√3。体积V=1/3*√3*2*h。又因为AD⊥平面ABC，所以BD=√(AB^2+AD^2)=√(2^2+3^2)=√13。由勾股定理，h^2=BD^2-(AD/2)^2=13-(3/2)^2=13-9/4=52/4-9/4=43/4。h=√(43/4)=√43/2。V=1/3*√3*2*(√43/2)=√(129/12)=√(43/4)=√6/3。选项B正确。3.答案：A解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB和棱CC1的中点。四边形B1ED1F的四个顶点坐标分别为B1(2,0,1)，E(1,2,0)，D1(0,0,1)，F(1,0,1)。向量B1E=(-1,2,-1)，向量ED1=(-1,-2,1)，向量D1F=(1,0,0)。两两向量点积分别为-1*(-1)+2*(-2)+(-1)*1=-1-4-1=-6，-1*1+(-2)*0+1*0=-1，(-1)*0+(-2)*0+1*1=1。由于向量B1E与向量D1F的点积不为0，所以四边形B1ED1F不是平行四边形。选项A错误。4.答案：C解析：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3。设底面中心为O，顶点为P，则PO⊥底面。设PO=h，则由勾股定理，PO^2+1^2=(√3)^2，h^2+1=3，h^2=2，h=√2。侧面与底面所成的二面角即为∠POM，其中M为AB的中点。OM=1，PM=√2。tan∠POM=PM/OM=√2/1=√2。∠POM=60°。选项C正确。5.答案：A解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1垂直于底面。AB=2，AA1=1。点B1到平面ACC1A1的距离即为点B1到AC的距离。过B作BO⊥AC，垂足为O。BO=AB*√3/2=2*√3/2=√3。三棱柱的高为AA1=1。点B1到平面ACC1A1的距离为√(BO^2+AA1^2)=√(√3^2+1^2)=√(3+1)=√4=2。选项A错误。6.答案：B解析：圆锥的底面半径为2，母线长为3。侧面展开图的圆心角为θ，圆锥的侧面面积为πrl=π*2*3=6π。设展开图圆心角为θ，弧长为2π*2=4π。θ*2π*2=4π，θ=4π/(4π)=1。θ=360°。选项B正确。7.答案：B解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1的中点，点Q是棱BB1的中点。直线PQ与平面ADD1A1所成的角即为PQ与AD的夹角。PQ的坐标为(0,1,1/2)，AD的坐标为(0,0,1)。两向量的点积为0，模分别为√(1^2+(1/2)^2)=√(1+1/4)=√5/2，√1=1。余弦值为0/(√5/2*1)=0。夹角为90°。选项B错误。8.答案：C解析：三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面三角形中有一条边长为2，另一条边长为√3。假设底面为ABC，侧面为ABD，其中AB=2，AD=√3。设高为h，则体积V=1/3*底面积*高。底面ABC的高为√(2^2-(2/2)^2)=√3。体积V=1/3*√3*2*h。又因为AD⊥平面ABC，所以BD=√(AB^2+AD^2)=√(2^2+√3^2)=√(4+3)=√7。由勾股定理，h^2=BD^2-(AD/2)^2=7-(√3/2)^2=7-3/4=28/4-3/4=25/4。h=√(25/4)=5/2。V=1/3*√3*2*(5/2)=√3*5/3=5√3。表面积为5√3*3=15√3。选项C正确。9.答案：C解析：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，PA=√3。点P到直线BC的距离即为P到AB的垂线段长度。过P作PE⊥AB，垂足为E。PE=AD=1。选项C正确。10.答案：A解析：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2。设底面中心为O，顶点为P，则PO⊥底面。设PO=h，则由勾股定理，PO^2+(2/√2)^2=(√2)^2，h^2+2=2，h^2=0，h=0。球的半径为√2/3。球的体积为4/3π*(√2/3)^3=4/3π*2√2/27=8√2/81π。选项A正确。11.答案：B解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，侧棱AA1垂直于底面。A1B=√7。设高为h，则体积V=1/3*底面积*高。底面ABC的高为√(2^2-(2/2)^2)=√3。体积V=1/3*√3*2*h。又因为AA1⊥平面ABC，所以A1B=√(AB^2+AA1^2)=√(2^2+AA1^2)=√(4+AA1^2)=√7。AA1^2=7-4=3，AA1=√3。V=1/3*√3*2*√3=2。选项B正确。12.答案：A解析：圆锥的底面半径为1，母线长为√2。侧面展开图的面积为πrl=π*1*√2=√2π。选项A正确。二、填空题答案及解析13.答案：45°解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，点F是棱BB1的中点。设正方体棱长为1，则E(0,0,1/2)，F(1,0,1/2)。向量AE=(1,2,1/2)，平面B1C1CD由B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)确定。法向量为向量B1C1=(0,1,0)与向量B1D1=(-1,1,0)的叉积=(0,0,1)。向量AE与法向量的夹角余弦值为(1*0+2*0+1/2*1)/(√(1^2+2^2+(1/2)^2)*1)=1/(√(1+4+1/4))=1/(√21/2)=2/√21。夹角为arccos(2/√21)。选项45°错误。14.答案：120°解析：圆锥的底面半径为2，母线长为3。侧面展开图的圆心角为θ，圆锥的侧面面积为πrl=π*2*3=6π。设展开图圆心角为θ，弧长为2π*2=4π。θ*2π*2=4π，θ=4π/(4π)=1。θ=360°。选项120°错误。15.答案：√2/3解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=2√3，侧棱AA1垂直于底面。A1B=√7。设高为h，则体积V=1/3*底面积*高。底面ABC的高为√(2^2-(2/2)^2)=√3。体积V=1/3*√3*2*h。又因为AA1⊥平面ABC，所以A1B=√(AB^2+AA1^2)=√(2^2+AA1^2)=√(4+AA1^2)=√7。AA1^2=7-4=3，AA1=√3。V=1/3*√3*2*√3=2。点A1到平面BCB1的距离为A1到BC的距离。过A作AO⊥BC，垂足为O。AO=AB*√3/2=2*√3/2=√3。三棱柱的高为AA1=√3。点A1到平面BCB1的距离为√(AO^2+AA1^2)=√(√3^2+√3^2)=√(3+3)=√6。选项√2/3错误。16.答案：√2解析：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，PA=√3。四棱锥的体积V=1/3*底面积*高=1/3*AB*AD*PA=1/3*2*1*√3=2√3/3。选项√2错误。三、解答题答案及解析17.解析：（1）证明：PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以PA⊥AD。AD⊥平面PAB，AD⊥AB。AB⊥AC，AC⊥平面PAC。AE在平面PAC内，所以平面ABE⊥平面PAC。（2）解：过A作AO⊥PC，垂足为O。连接BO。由三垂线定理，BO⊥PC。∠ABO为二面角A-PC-B的平面角。设AO=x，BO=y，∠BAC=120°，AB=1，AC=√3。由余弦定理，BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos120°=1+3-2*1*√3*(-1/2)=4+√3。AO^2+BO^2=AB^2，x^2+y^2=1。PC^2=AO^2+OC^2，OC=PC*cos60°=x√3/2。PC^2=x^2+(x√3/2)^2=x^2+3x^2/4=7x^2/4。cos∠ABO=AO/AB=x/1=x。cos∠BAC=1/2。cos∠BOC=cos(∠BAC+∠ABO)=(cos∠BAC*cos∠ABO-sin∠BAC*sin∠ABO)/(cos∠BAC*cos∠ABO+sin∠BAC*sin∠ABO)=(1/2*x-√3/2*1)/(1/2*x+√3/2*1)=(x-√3)/(x+√3)。二面角A-PC-B的余弦值为(x-√3)/(x+√3)。18.解析：（1）证明：AB=AC，∠BAC=120°，所以∠ABC=∠ACB=30°。AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC。DE是三角形ABC的中线，所以DE⊥BC。（2）解：三棱锥D-ABC的体积V=1/3*底面积*高=1/3*AB*AC*sin∠BAC*AD=1/3*2*2*sin120°*1=2*√3/3=2√3/3。（3）解：过E作EO⊥平面ADC，垂足为O。连接DO。由三垂线定理，DO⊥AC。∠EDO为直线DE与平面ADC所成的角。设AO=x，EO=y，∠BAC=120°，AB=AC=2。由余弦定理，BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos120°=4+4-2*2*2*(-1/2)=8。AO=BC/2=√8/2=√2。EO=AD*sin∠ABC=1*sin30°=1/2。DO=√(EO^2+AO^2)=√((1/2)^2+(√2)^2)=√(1/4+2)=√(9/4)=3/2。cos∠EDO=EO/DE=1/2/√(1^2+(√2)^2)=1/(2*√3)=1/(2√3)。直线DE与平面ADC所成的角大小为arccos(1/(2√3))。19.解析：（1）证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱CC1、BB1、DD1的中点。设正方体棱长为1，则E(0,0,1/2)，F(1,0,1/2)，G(0,1,1/2)。向量B1E=(-1,0,-1/2)，向量ED1=(-1,1,1/2)，向量D1F=(1,-1,0)。向量B1E与向量ED1的点积为-1*(-1)+0*1+(-1/2)*(1/2)=1-1/4=3/4。向量ED1与向量D1F的点积为-1*1+1*(-1)+1*0=-1-1=-2。由于向量B1E与向量D1F的点积不为0，所以四边形B1ED1F不是平行四边形。（2）解：过E作EO⊥平面B1BD，垂足为O。连接B1O。由三垂线定理，B1O⊥BD。∠B1EO为二面角E-B1BD-F的平面角。设EO=x，B1O=y，∠B1BD=45°，B1B=1。由余弦定理，B1E^2=B1B^2+BE^2-2B1B*BE*cos45°=1+1/4-2*1*1/2*√2/2=3/4-√2/2。EO^2+y^2=1，x^2+y^2=1。B1O^2=EO^2+BO^2，BO=B1B*cos45°=1*√2/2=√2/2。B1O^2=x^2+(√2/2)^2=x^2+1/2。cos∠B1EO=EO/B1E=x/(3/4-√2/2)。二面角E-B1BD-F的余弦值为x/(3/4-√2/2)。20.解析：（1）解：圆锥的底面半径为1，母线长为√3。侧面展开图的圆心角为θ，圆锥的侧面面积为πrl=π*1*√3=√3π。设展开图圆心角为θ，弧长为2π*1=2π。θ*2π*1=2π，θ=2π/2π=1。θ=360°。（2）解：过A作AO⊥OO1，垂足为O。连接BO。由三垂线定理，BO⊥OO1。∠ABO为直线AB与轴OO1所成的角。设AO=x，BO=y，∠AOB=120°，