2026版创新设计高考总复习物理(人教基础版)教师用-增分微点8　带电粒子在立体空间的运动

增分微点8带电粒子在立体空间的运动考点带电粒子在不同平面的直线(或类平抛)运动和圆周运动电场方向与磁场方向既不平行,也不垂直,两者成一定角度,带电粒子在电场中的运动轨迹与在磁场中的运动轨迹不在同一平面内,此类题目要注意转换视角,找到粒子运动轨迹所在平面。例1(多选)(2025·广东惠州模拟)如图所示,长方体OMPQ-O1M1P1Q1所在空间存在与MO1方向平行的匀强磁场,一粒子源无初速度释放一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的带电粒子,经电压U加速后,从O点沿OQ方向射入磁场区域,并从P1点离开长方体区域。已知长方体OM、OO1边的长度均为d,OQ的长度为3d,不计粒子的重力及其相互作用,下列说法正确的是()A.粒子进入磁场区域的初速度为2B.磁感应强度的大小为4C.若减小加速电压U,粒子可能从M1射出D.若增加加速电压U,粒子可能从M1P1中点射出答案ABC解析粒子在电场中被加速,则有qU=12mv2,解得v=2qUm,选项A正确;进入磁场后粒子在平面OM1P1Q内做匀速圆周运动,则r2=(3d)2+(r-2d)2,qvB=mv2r,解得B=45dmUq,选项B正确;若减小加速电压U,则粒子射入磁场时的速度减小,运动半径减小,则粒子可能从M1射出,选项C正确;若增加加速电压U,则粒子射入磁场时的速度变大,运动半径变大,则粒子从QP1连线上某点射出,不可能从M考点带电粒子的螺旋线运动和旋进运动关于此类问题,现在主要讨论两种情况:(1)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时,带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时,带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动,这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。例2(2025·江苏苏州模拟)图甲为洛伦兹力演示仪,调节玻璃泡角度使电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。图乙为电子运动轨迹示意图,空间存在平行x轴的匀强磁场,在xOy平面内由坐标原点以初速度v0将电子射入磁场,方向与x轴正方向成α角(α<90°),螺旋线的直径为D、螺距为Δx,则下列关系式正确的是()A.sinα=ΔxD B.sinαC.tanα=ΔxπD D.tan答案D解析电子在zOy平面做匀速圆周运动,周期为T=2πmqB,电子沿x方向做匀速直线运动,则有Δx=v0cosα·T=v0cosα·2πmqB,沿z方向有D=2r=2mv0sinαqB,联立可得tan例3(2024·湖南卷,14)如图,有一内半径为2r、长为L的圆筒,左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点,取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场,电场强度大小为E,方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度方向均在xOy平面内,且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电荷量为e,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的重力。(1)若所有电子均能经过O进入电场,求磁感应强度B的最小值;(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tanθ的绝对值;(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。答案(1)2πmv0eL(2)解析(1)将电子的初速度分解为沿x轴方向的速度v0和沿y轴方向的速度vy0,则电子做沿x轴正方向的匀速直线运动和投影到yOz平面内的匀速圆周运动,又电子做匀速圆周运动的周期为T=2πmeB,电子均能经过O进入电场Lv0=nT(n=1,2,3,联立解得B=2nπmv0eL(n=1,当n=1时,Bmin=2πm(2)由于电子始终未与筒壁碰撞,则电子投影到yOz平面内的圆周运动的最大半径为r,由洛伦兹力提供向心力有evy0maxBmin=mv则|tanθ|=vy0maxv(3)电子在电场中做类斜抛运动,当电子运动到O点时沿y轴正方向的分速度大小为vy0max时,电子在电场中运动的y轴正方向的位移最大,由牛顿第二定律有eE=ma由速度位移公式有2aym=v联立解得ym=2m针对训练如图所示,质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中,速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计,则下列说法正确的是()A.质子运动的轨迹为螺旋线,螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里B.质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为mvC.质子做螺旋线运动的周期为2πD.一个周期内,质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为2π答案D解析将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v1=vsinθ,沿磁场方向的速度v2=vcosθ,质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动,沿磁场方向做匀速直线运动,则质子运动的轨迹为螺旋线,螺旋线的中轴线方向平行磁场方向,选项A错误;质子做螺旋线运动的半径为r=mv1eB=mvsinθeB,选项B错误;质子做螺旋线运动的周期为T=2πrv1=2πmeB,选项C错误;一个周期内,质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为x1.(2022·重庆卷,5)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则()A.静电力的瞬时功率为qEvB.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1BC.v2与v1的比值不断变大D.该离子的加速度大小不变答案D解析根据功率的计算公式可知P=Fvcosθ,则静电力的瞬时功率为P=qEv1,A错误;由于v1与磁感应强度B平行,则根据洛伦兹力的计算公式知F洛=qv2B,B错误;根据运动的合成与分解可知,离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动,沿磁场方向做加速运动,则v1增大,v2不变,v2与v1的比值不断变小,C错误;离子受到的安培力不变,静电力不变,则该离子的加速度大小不变,D正确。2.亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的圆形线圈。如图所示,两线圈通入方向相同的恒定电流,线圈间形成平行于中心轴线O1O2的匀强磁场,沿O1O2建立x轴,一圆形探测屏垂直于x轴放置,其圆心位于x轴上的P点。在线圈间加上平行于x轴的匀强电场,粒子源从x轴上的Q点以垂直于x轴的方向持续发射初速度大小为v0的粒子。已知粒子质量为m,电荷量为q(q>0),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B,电场和磁场均沿x轴正方向,不计粒子重力和粒子间相互作用。若未加电场,粒子在线圈间做匀速圆周运动。(1)求未加电场时,粒子做圆周运动的半径r;(2)若要使粒子恰好打在探测屏的中心,求探测屏中心与粒子源间的距离d。答案(1)mv0qB(2)2n2π2mEq解析(1)粒子在磁场中,由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m解得轨道半径为r=mv(2)粒子在磁场中运动的周期T=2π粒子回到x轴时间为t=nT=n2πmqB(n=1,2,3,沿x轴方向有d=12at2,qE=联立解得d=2n2π2mEqB2(n=13.(2025·湖南岳阳模拟)在如图所示的O-xyz三维空间中,x≤0的区域存在沿y轴正方向的匀强电场,在x>0区域内存在半圆柱体MNP-M'N'P'空间区域,半圆柱沿y轴方向足够高,该区域内存在沿y轴正方向的匀强磁场,磁感应强度大小B=mv0qL,平面MNN'M'在yOz平面内,D点(0,0,0)为半圆柱体底面圆心,半圆柱体的半径为r=L。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子,从A点(-L,0,0)以初速度大小v0,方向沿着x轴正方向射入匀强电场,经过C点(0,L,0)后进入半圆柱体磁场区域,不计粒子的重力。求(1)电场强度E的大小;(2)带电粒子在半圆柱体内运动的时间;(3)带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。答案(1)2mv02qL解析(1)粒子在电场中做类平抛运动,有L=v0t,L=12at根据牛顿第二定律有qE=ma联立解得E=2m(2)在磁场中,粒子的运动可以分解为垂直y轴方向的匀速圆周运动和沿y轴正方向的匀速直线运动,垂直磁场方向,根据洛伦兹力提供向心力qv0B=