2024-2025学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，则∁U(A∩B)=(

)A.{6} B.{1,2,3} C.{4,5,6} D.{1,2,4,5,6}2.从m，a，t，ℎ，e这五个字母中随机选择一个，则选中元音字母a或e的概率为(

)A.110 B.15 C.253.对数lga与lgb互为相反数，则有(

)A.a+b=0 B.a−b=0 C.ab=1 D.a4.若cos(α+β)=15,cosA.−32 B.32 5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

B.若m//n，m⊂α，n⊂β，则α//β

C.若m⊂α，α∩β=n，m//n，则m//β

D.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β6.函数f(x)=ex−eA. B.

C. D.7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=“第一次掷出的点数是偶数”，B=“第二次掷出的点数是奇数”，C=“两次掷出的点数之和是偶数”，则(

)A.A与B互为对立 B.A与C相互独立 C.AB−与C互斥 D.AB8.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CCA.512 B.37 C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1=1+2i，z2=2−iA.|z1+z2|=10 B.z1−z10.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)是奇函数，f(x−1)是偶函数，当x∈[1,3]时，f(x)=x−1，则(

)A.f(x)的图象关于直线x=−1对称 B.f(x)是周期函数

C.f(x)在(−4,0)上单调递减 D.f(x)在(−5,3)内有4个零点11.在四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=2，二面角A−BC−D的大小为θ，该四面体的所有顶点都在半径为r1的球O1的球面上，半径为r2的球O2A.当θ=π3时，r1r2=3 B.存在θ，使O1与O2重合

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某市6月份第三周空气质量指数如下：35，54，58，72，80，85，86，则这组样本数据的第75百分位数是______．13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是14.已知向量a,b满足a⋅b=2|b|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知a=(sinx,1)，b=(1,cosx)，设函数f(x)=a⋅b．

(1)求f(0)的值；

16.(本小题12分)

近年来，绍兴市持续推进实施先进制造业强市“4151”计划，出台加快制造业转型行动方案.某企业在政策扶持下改革创新，成效显著.现随机抽取该企业改进生产工艺前、后各100件产品，并测量某项质量指标值t(t小于95的产品为不合格品，t大于或等于105的产品为优等品)，得到如下频数分布表：

改进生产工艺前质量指标值t[90,95)[95,100)[100,105)[105,110)[110,115]频数918263215改进生产工艺后质量指标值t[90,95)[95,100)[100,105)[105,110)[110,115]频数515203525(1)分别估计该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率；

(2)若改进生产工艺后，每件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y=−15,t<95,15,95≤t<105,17.(本小题12分)

已知平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且AB=2．

(1)若cos∠ABC=−14，sin∠ACB=12，求△ABC的面积；

(2)若∠BAD=2π3，AD=2AB，∠BAD的平分线AE交18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=π3，AB=1，BC=2，PA=3，M，N分别是棱PA，PC上的点(含端点)．

(1)证明：MN⊥CD；

(2)若N为棱PC的中点，且二面角A−MN−B的正切值为233，求AM；

(3)设点Q是边CD上的点(含端点19.(本小题12分)

已知一组数据：x0，x1，x2，⋯，x2025的平均数为μ，标准差为σ，且满足xi−1≤xi，i=1，2，3，…，2025．

(1)若σ=1，求函数f(x)=12026i=02025(xi−x)2的最小值；

(2)若μ=0，求证：σ2答案解析1.【答案】D

【解析】解：因为U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，

根据集合的交集运算可得，A∩B={3}，

根据集合的补集运算可得，∁U(A∩B)={1,2,4,5,6}．

故选：D．

根据集合的交并补运算即可求解．2.【答案】C

【解析】解：从m，a，t，ℎ，e五个字母中随机选择一个，

则样本空间Ω={m,a,t,ℎ,e}，n(Ω)=5，

记事件A=“选中元音字母a或e”，

则A={a,e}，n(A)=2，

故P(A)=n(A)n(Ω)=25．

故选：C3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数．

由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出ab=1．【解答】

解：∵lga=−lgb

∴lga+lgb=0

∴lg(ab)=0

∴ab=1

故选：4.【答案】D

【解析】【分析】

利用两角和与差的余弦公式，化简cos(α+β)=15,cos(α−β)=35，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα⋅tanβ．

本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．

【解答】

解：因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=15，

cos5.【答案】C

【解析】解：对于A，若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​/n或m与n异面，故A错误；

对于B，若m/​/n，m⊂α，n⊂β，则α/​/β或α与β相交，故B错误；

对于C，因为α∩β=n，所以n⊂β，又m/​/n，m⊂α，m，n是两条不同的直线，

故m⊄β，由线面平行的判定定理可得m//β，故C正确；

对于D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α/​/β或α与β相交，故D错误．

故选：C．

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．6.【答案】A

【解析】解：因为函数f(x)的定义域为R，

且f(−x)=e−x−exe−x+e−x=−ex−e−xex+e−x=−f(x)，

所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项C、D；

又f(x)=ex−1exex+1ex=7.【答案】B

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=“第一次掷出的点数是偶数”，

B=“第二次掷出的点数是奇数”，C=“两次掷出的点数之和是偶数”，

对于A，事件A与事件B可以同时发生，

∴事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，故A错误；

对于B，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，

则样本空间Ω={(m,n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}，共36种，

其中A={(2,1)，(2,2)，(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共18种，

故P(A)=1836=12，

C={(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，

(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，共18种，

故P(C)=1836=12，

AC={(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，共9种，

故P(AC)=936=14，

∵P(AC)=P(A)P(C)，∴A与C相互独立，故B正确；

对于C，B−=“第二次掷出的点数是偶数”，∴AB−=“两次掷出的点数都是偶数”，

∵C=“两次掷出的点数之和是偶数”，∴C⊇AB−，故AB−与C不是互斥事件，故C错误；

对于D，由C可知C⊇A8.【答案】A

【解析】解；连接DB1，BF，

不妨设正三棱柱上下底面的边长为2，侧棱长为12，

则B1到平面ACC1A1的距离和D到平面B1EF的距离相同，都为3，

因为AA1=3AD，3BB1=4BE，

所以AD=4,A1D=8,BE=34×12=9,B1E=3，

设FC=x(0<x<12)，则C1F=12−x，

梯形A1C1FD的面积S1=[(12−x)+8]×22=20−x，S△B1EF=12B1E×2=3，

所以V9.【答案】ACD

【解析】解：z1+z2=1+2i+2−i=3+i，∴|z1+z2|=32+12=10，故A正确；

z1−z2=(1+2i)−(2−i)=−1+3i，故z1−z2的共轭复数是−1−3i，故B错误；

z1z2=(1+2i)(2−i)=4+3i，∴z2z10.【答案】AB

【解析】解：对于A，∵f(x−1)是偶函数，f(x)关于直线x=−1对称，故A正确；

对于B，由A可知f(−x)=f(x−2)①，

又f(x+1)是奇函数，∴f(−x+1)=−f(x+1)，即f(−x+1)+f(x+1)=0，

∴f(x)关于点(1,0)对称，∴f(−x)+f(x+2)=0②，

由①②可得f(x−2)+f(x+2)=0，即f(x)+f(x+4)=0，

∴f(x+4)+f(x+8)=0，

∴f(x)=f(x+8)，故B正确；

对于C，由B知f(x)关于点(1,0)对称，

∵x∈[1,3]时，f(x)=x−1单调递增，

∴f(x)在[−1,3]也单调递增，故C错误；

对于D，∵f(x)定义域为R，关于(1,0)对称，∴f(1)=0，

又f(x)关于直线x=−1对称，∴f(−3)=f(1)=0，

∴f(x)在(−5,3)内有2个零点，故D错误．

故选：AB．

由f(x−1)是偶函数可得f(x)关于直线x=−1对称，由此判断A；由f(x+1)是奇函数可得f(x)关于点(1,0)对称，结合A可推出f(x)的周期为8，由此判断B；由f(x)关于点(1,0)对称及x∈[1,3]时，f(x)=x−1，可知f(x)在[−1,3]单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出f(x)在(−5,3)内的零点个数，由此判断D．

本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及对称性的综合应用，属于中档题．11.【答案】BCD

【解析】解：设BC中点为E，过△ABC，△BCD的外心作平面的垂线，交点即为球心O，

因为AB=AC=BC=BD=CD=2，

所以△ABC，△BCD为等边三角形，则AE=DE=3，EO1=EO2=33，外接圆半径都是233，

又BC中点为E，

所以AE⊥BC，DE⊥BC，

又AE∩DE=E，AE，BE⊂平面ADE，

所以BC⊥平面ADE，

又平面ABC∩平面BCD=BC，

所以∠AED就是二面角A−BC−D的平面角，即∠AED=θ，θ∈(0,π)，

在四边形EO1OO2中，∠EO1O=∠EO2O=π2，

所以EO是其外接圆直径，即是△EO1O2的外接圆直径，

EO2=(O1O2sinθ)2=13+13−23cosθsin2θ=23(1+cosθ)，

则外接球半径r1=OC=CE2+EO2=1+23(1+cosθ)，

AD=6−6cosθ=23sinθ2，BF=CF=4−3sin2θ2，

四面体ABCD的表面积12.【答案】85

【解析】解：数据35，54，58，72，80，85，86共有7个数，

因为0.75×7=5.25，所以这组数据的第75百分位数是第6个数，等于85．

故答案为：85．

由已知数据直接利用百分位数的定义求解．

本题考查百分位数的求法，是基础题．13.【答案】45【解析】解：因为BC⊥平面ABB1A1，且BC⊂平面BCE，

所以平面BCE⊥平面ABB1A1，

即直线B1E在平面BCE的射影就是BE，

所以直线B1E与平面BCE所成角的平面角为∠B1EB，

设正方体的棱长为2，因为E是AA1的中点，

可得BE=B1E=5，

由余弦定理可得：cos14.【答案】132【解析】解：|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=|a|2−4|b|+|b|15.【答案】1；

[−3π4【解析】(1)由题意得f(x)=a⋅b=sinx+cosx=2(sinxcosπ4+cosxsinπ4)=2sin(x+π4)，

所以f(0)=2sinπ4=1．

(2)令16.【答案】0.47，0.6；

19.5．

【解析】(1)设企业在改进生产工艺前的优等品率为P1，改进生产工艺后的优等品率为P2，

则P1=32+15100=0.47，P2=35+25100=0.6，

故该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率分别为0.47，0.6；

(2)由题可知，指标值t<95的频率为5100=0.05，95≤t<105的频率为15+20100=0.35，105≤t<115的频率为35+25100=0.6，

设该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润为17.【答案】153−158【解析】(1)因为cos∠ABC=−14，sin∠ACB=12，

所以∠ABC为钝角，∠ACB为锐角，

则sin∠ABC=154，cos∠ACB=32，

在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，

即212=AC154，解得AC=15，

又sin∠CAB=sin(∠ABC+∠ACB)=154×32−14×12=35−18，

所以S△ABC=12AC×AB×sin∠CAB

=12×2×15×35−18=153−158；

(2)因为∠BAD=18.【答案】证明见解析；

1；

23【解析】(1)证明：连接AC，

在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC=12+22−AC24=12⇒AC=3，

所以AB2+AC2=1+3=BC2，所以∠BAC=π2，

又因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠ACD=π2，即AC⊥CD，

因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD，

又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以CD⊥平面PAC，

又MN⊂平面PAC，

所以MN⊥CD；

(2)在平面BMN中，过点B作BE⊥MN，垂足为E，连接AE，

由(1)知，AB⊥平面AMN，MN⊂平面AMN，

所以AB⊥MN，

又BE∩BA=B，BE，BA⊂平面ABE，

所以MN⊥AE，

又BE⊂平面BMN，AE⊂平面AMN，平面BMN∩平面AMN=MN，

所以∠BEA为二面角A−MN−B的平面角，

因为AB⊥平面AMN，AE⊂平面AMN，所以AB⊥AE，

则在Rt△ABE中，tan∠AEB=ABAE=1AE=233⇒AE=32，

因为PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，

在Rt△PAC中，PC=PA2+AC2=32+(3)2=23，

又N为棱PC的中点，所以AN=CN=3，

所以AN=AC=CN，则∠NAC=π3，

所以∠NAM=π2−π3=π6，

在Rt△AEN中，sin∠ANE=AEAN=12⇒∠ANE=π6，