2024-2025学年云南省德宏州高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省德宏州高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=3−4i，则z⋅z−=A.7 B.5 C.7 D.2.已知向量a=(1,2)，b=(2,m)，且a⊥b，则A.4 B.1 C.−1 D.−43.若m，n是不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若m//α，n⊂α，则m//n

C.若m//α，m//β，则α//β D.若α//β，m⊂α，则m//β4.在△ABC中，点D满足AD=4DB，则(

)A.CD=14CA+34CB 5.在△ABC中，内角A、B所对的边分别是a、b，且bcosA=acosB，则△ABC是(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形6.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中∠BAD=90°，AB=AD=AA1=1A.153B.152

C.7.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(

)A.12 B.35 C.238.如图，A，B是海面上位于东西方向相距(3+3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距43海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达DA.0.2小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.1小时二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的(

)A.中位数为3 B.方差为85 C.众数为3 D.85%分位数为10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是(

)A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”11.如图，在矩形AEFC中，AE=23，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB，BC将△ABE、△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P−ABC，则(

)A.三棱锥P−ABC的体积为823

B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为36

C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为13三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出16件进行质量分析，则抽取的一等品有______件.13.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的表面积为______．14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD.若OA=1，∠AOB=120°，则MC⋅MD的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图所示，在四棱锥C−ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．

(1)求证：GF//平面ABC；

(2)H是线段BC的中点，证明：平面GFH//平面ACD．16.(本小题12分)

某校高二年组组了一次专题培，从参加考试的学生中出100名学生，将其成(均为整数)分成为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分为5组，得到如图所示的率分布直方图：

(1)求分数值不低于70分的人数；

(2)计这次考试的平均数和中位数(保留两位小数)；

(3)已知分数在[50,60)内的男性与女性的比为3：4，为提高他们的成绩，现从分数在[50,60)的人中随机抽取2人进行补课，求这2人中只有一位男性的概率．17.(本小题12分)

猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．

(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为2225，求n的值．18.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m=(2b+c,sinC)，向量n=(sinB,2c+b)，且满足m⋅n=2asinA．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC外接圆的半径是1，求当函数19.(本小题12分)

如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C是⊙O上的动点，PA⊥平面ABC，过点A作AE⊥PC，过点E作EF⊥PB，连接AF．

(1)求证：BC⊥AE；

(2)求证：平面AEF⊥平面PAB；

(3)当C为弧AB的中点时，直线PA与平面PBC所成角为45°，求四棱锥A−EFBC的体积．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：由题意，z−=3+4i，

则z⋅z−=(3−4i)(3+4i)=25．

故选：2.【答案】C

【解析】解：∵a⊥b；

∴a⋅b=2+2m=0；

∴m=−1．

故选：C．

根据a3.【答案】D

【解析】解：若m/​/α，n/​/α，则m/​/n或m与n相交或异面，所以A选项错误；

若m/​/α，n⊂α，则m/​/n或m与n异面，所以B选项错误；

若m/​/α，m//β，则α/​/β或α与β相交，所以C选项错误；

若α/​/β，m⊂α，则m//β，所以D选项正确．

故选：D．

根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．4.【答案】C

【解析】解：因为AD=4DB，

所以CD=CA+AD=CA+45.【答案】A

【解析】解：因为bcosA=acosB，由正弦定理可得：sinBcosA−cosBsinA=0，

可得sin(B−A)=0，在三角形中可得：B−A=0，

即A=B，

所以三角形为等腰三角形，

故选：A．

由正弦定理将已知化简，再由两角差的正弦公式化简可得A=B，判断出三角形为等腰三角形．

6.【答案】B

【解析】解：平行六面体ABCD−A1B1C1D1中∠BAD=90°，AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，取棱B1C1的中点M，

根据向量的线性运算，则AM=AB+17.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步)，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解，属于基础题．

根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．

【解答】

解：甲要获得冠军共分为两个情况：

一是第一场就取胜，这种情况的概率为12，

一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为12×12=14．8.【答案】A

【解析】解：由题意，在△ABD中，|AB|=3+3，∠DAB=90°−45°=45°，∠DBA=90°−60°=30°，

所以∠ADB=105°，由正弦定理可得，|AB|sin∠ADB=|BD|sin∠DAB，

则|BD|=|AB|sin∠DABsin∠ADB=(3+3)×22sin(60°+45°)=(3+3)×2232×22+9.【答案】AB

【解析】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，

则这组数据的中位数为3+32=3，故A正确；

数据中2，3，出现的次数最多，所以众数为2和3，故C错误；

平均数为：1+2×3+3×3+4+5×210=3，

则方差为110[(1−3)2+(2−3)2×3+(3−3)2×3+(4−3)2+(5−3)2×2]=85，故B正确；

第85%分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，

故选：AB．

10.【答案】AB

【解析】解：”至少有一个黑球“中包含“都是黑球，A正确；

“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；

“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；

“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确．

故选：AB．

根据互斥事件的定义可得．

本题考查了互斥事件与对立事件，属中档题．11.【答案】ABD

【解析】解：在矩形AEFC中，AE=23，EF=4，B为EF中点，

现分别沿AB，BC将△ABE、△BCF翻折，

使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P−ABC，

可得BP⊥AP，BP⊥CP，又AP∩CP=P，AP，CP⊂平面PAC，

由线面垂直的判定定理，可得BP⊥平面PAC，

在△PAC中，PA=PC=23，AC边上的高为(23)2−22=22，

即有S△PAC=12×4×22=42，

由等积法和棱锥的体积公式，可得VP−ABC=VB−PAC=13×12×4×22×2=823，故A正确；

对于B，在△PAC中，由余弦定理可得cos∠APC=12+12−162×23×23=13，

由勾股定理可得BC=12+4=4，

再由向量夹角公式，可得cos<PA，BC>=PA⋅BC|PA||BC|，

而PA=23，BC=4，BC=PC−PB，PA⋅BC=PA⋅PC−PA⋅PB=23×23×12+12−162×23×23−0=4，

可得cos<PA，BC>=36，

所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为36，故B正确；

对于C，S△PBC=12PB⋅PC=23，设点A到平面PBC的距离为d，

由等积法和棱锥的体积公式可得VB−PAC=VA−PBC，得13×212.【答案】4

【解析】解：因为一等品10件，二等品25件，次品5件，

故抽取的一等品的件数为1610+25+5×10=4．

故答案为：4．

按抽取比例计算即可．13.【答案】4π

【解析】解：设圆锥的母线长为l，

由题可得：2π3l=2π⋅1，解得l=3，

所以圆锥的表面积为：π×1×3+π×12=4π．

故答案为：4π．

设圆锥的母线长为l，则由题意可得2π14.【答案】[3【解析】解：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，则

∵半径OA=1，且∠AOB=120°，

∴弧AMB的中点M坐标为(12,32)

求得BO方程为：y=−3x，

设C(1−m,0)，则D(−12m,32m)，(0≤m≤1)

∴MC=(12−m,−32)，MD=(−12m−12,32m−32)

因此，MC⋅MD=(12−m)(−115.【答案】证明见解析；

证明见解析．

【解析】证明：(1)在四棱锥C−ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点，

连接AE必与BD相交于中点F，

∴GF/​/AC，

∵GF⊄面ABC，AC⊂平面ABC，

∴GF/​/面ABC，得证；

(2)由点G，H分别为CE，CB中点，可得：GH/​/EB/​/AD，

∵GH⊄面ACD，AD⊂平面ACD，

∴GH/​/平面ACD，

又∵由(1)可知GF/​/平面ACD，

且GH∩GF=G，GH，GF⊂平面GFH，

∴平面GFH/​/平面ACD，得证．

(1)利用线面平行的判定定理证明；

(2)利用面面平行的判定定理证明．

本题考查了线面平行的判定以及面面平行的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知满意度分数不低于70分的人数为：

(0.035+0.030+0.008)×10×100=73人，

所以分数不低于70分的人数为73人．

(2)平均分：55×0.07+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.08=76.2．

中位数：(t−70)×0.035=0.23，t=70.66．

(3)[50,60)的样本内共有学生0.007×10×100=7人，3名男性，4名女性，

设三名男性分别表示为A，B，C，四名女性分别表示为D，E，F，G，

则从7名学生中随机抽取2名的所有可能结果为：

{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，

{B,E}，{B,F}，{B,G}{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}{D,E}，{D,F}，

{D,G}{E,F}，{E,G}{F,G}，共21种．

设事件M为“抽取2人中只有一位男性”，则M中所含的结果为：

{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}{B,D}，{B,E}，{B,F}，{B,G}{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，共12种．

事件M发生的概率为P(M)=1221【解析】(1)由频率分布直方图可知满意度分数不低于70分的人数为73人，由此能求出分数不低于70分的人数．

(2)由频率分布直方图能求出平均分和中位数．

(3)[50,60)的样本内共有学生有7人，3名男性，4名女性，设三名男性分别表示为A，B，C，四名女性分别表示为D，E，F，G，从7名学生中随机抽取2名，利用列举法能求出抽取2人中只有一位男性的概率．

本题考查频数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)设A=“任选一道灯谜甲猜对”，B=“任选一道灯谜乙猜对”，C=“任选一道灯谜丙猜对”，

则P(A)=1220=35，P(B)=820=25，P(C)=n20，

故P(A−)=25，P(B−)=35，P(C−)=1−【解析】(1)由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率加法公式求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

(2)利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求n．

本题主要考查了对立事件的概率关系，考查了对立事件的概率乘法公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)向量m=(2b+c,sinC)，向量n=(sinB,2c+b)，

由已知m⋅n=2asinA，得2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，

再根据正弦定理有，2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，

即a2=b2+c2+bc．

由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，cosA=−12，

因为A∈(0,π)，

所以A=2π3．

(2)由(1)知f(B)=cos2B+2sinB=1−2sin2B+2sinB=−2(sinB−【解析】(1)直接利用平面向量的数量积的运算和正弦定理及余