2024-2025学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省湛江市高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z1=1+i，z2=3−2i，则A.4+i B.2−3i C.4−i D.−2+3i2.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为(

)A.25 B.415 C.353.正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是(

)A.12

B.42

C.16

4.一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为(

)A.4π3 B.2π C.3π D.5.如图，两座山峰的高度AM=CN=200m，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为45°，N点的仰角为30°，且∠MBN=45°，则两座山峰峰顶之间的距离MN=(

)A.200m B.400m C.2002m6.在平行四边形ABCD中,DE=3EC，若AE交BD于点M，则AMA.AM=13AB+23AD 7.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DA.直线A1G，C1E共面

B.VD1−BEF=13

C.直线A1G与平面AD8.如图，以边长为4的菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，∠ABC=60°，则AB⋅AP的最大值是16 B.16C.18 D.20二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在一次比赛中，7名裁判员对运动员甲的评分分别为8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5，关于这组数据，下列说法正确的有(

)A.这组数据的中位数大于平均数

B.这组数据的80%分位数为8.5

C.这组数据的众数为8.0

D.去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件A=“第一次摸出球的编号为奇数”，事件B=“摸出的两个球的编号之和为5”，事件C=“摸出的两个球中有编号为2的球”，则(

)A.P(C)=12 B.事件A与事件B为独立事件

C.P(A+B)=512 D.事件11.在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且c+b=2acosB.则下列说法正确的是(

)A.A=2B

B.角B的范围是(0,π6)

C.若∠BAC的平分线交BC于D，AD=2，sinB=35，则1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知z=2−i，|z−+i|=13.若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为______．14.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，∠ABC=120°，△ABC的面积为332，则三棱锥P−ABC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)求频率分布直方图中a的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求24人中成绩不低于90分的人数．

(2)用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.(保留小数点后两位)

(3)若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为25，乙复赛获一等奖的概率为116.(本小题15分)

已知向量a=(sinx,1)，b=(cosx,1)．

(1)当x=π2时，求向量a+b的坐标；

(2)若a//b17.(本小题15分)

如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2．

(1)证明：DE⊥平面ACD；

(2)求二面角18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2bsin(C+π6)．

(1)求B；

(2)已知D为边AB上的一点，且∠ACD=π2．

(ⅰ)若BC=23，BD=1，求AC19.(本小题17分)

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为φP=1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,⋯,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk−1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.

答案解析1.【答案】C

【解析】解：复数z1=1+i，z2=3−2i，

则z1+z2=1+i+3−2i=4−i2.【答案】B

【解析】解：根据题意可得取到红球的概率为46+5+4=415．3.【答案】C

【解析】解：根据题意，直观图为正方形O′A′B′C′，且其边长为2，

故O′B′=O′A′2+A′B′2=22，

由斜二测画法还原原图形，如图：

则四边形OABC为平行四边形，其中OA=2,OB=2O′B′=42，

AB=O4.【答案】A

【解析】解：设圆台的侧面展开图是如图所示的扇环ABCD，

设BC的半径OB=r，AD的半径OA=R，则R−r=AB=2，

根据弧长公式，可得BC的长度l=2πr3，AD的长度L=2πR3，

所以AD与BC的长度之差为L−l=2πR3−2πr3=2π3(R−r)=4π5.【答案】C

【解析】解：由题意可得∠ABM=45°，∠CBN=30°，AM=CN=200m，

在Rt△ABM中，BM=AMsin∠ABM=20022=2002m，

在Rt△BCN中，同理可得BN=20012=400m，

在△BMN中，∠MBN=30°，

由余弦定理可得：MN=BM2+B6.【答案】B

【解析】解：如图，因为DE=3EC，所以DE：DC=3：4，即DE：AB=3：4，

因为AB//DC，所以△AMB∽△EMD，

则AM：ME=AB：DE=4：3，

故有AM=47AE，

又因为AE=AD+DE=AD+34DC=AD7.【答案】D

【解析】解：对A选项，易知EG//A1C1，∴直线A1G，C1E共面，∴A选项正确；

对B选项，∵VD−BEF=VB−DEF=13×12×1×1×2=13，∴B选项正确；

对C选项，∵DG⊥平面ADD1A1，

∴直线A1G与平面ADD1A1所成角为∠DA1G，

又tan∠DA1G=DGA1D=18.【答案】D

【解析】解：当点P在半圆AB的弧上时，AP在AB方向上的投影的数量在[0,4]内，AB⋅AP≤16；

当点P在半圆CD或半圆AD的弧上时，AP在AB方向上的投影的数量为非正数；

当点P在半圆BC的弧上时，AP在AB方向上的投影的数量不小于2，

因此当AB⋅AP取最大值时，点P在半圆BC的弧上，如图，取BC中点O，

则AP=AO+OP，

而AO=23,∠BAO=π6，AB⋅AP=AB⋅(AO+OP)=AB⋅9.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，数据从小到大排列为5.5，8.0，8.0，8.5，8.5，8.5，9.0，依次分析选项：

对于A，数据的平均数为17(5.5+8.0+8.0+8.5+8.5+8.5+9.0)=8，中位数为8.5，A正确；

对于B，7×80%=5.6，则这组数据的80%分位数为8.5，B正确；

对于C，数据的众数为8.5，C错误；

对于D，去掉一个最低分和一个最高分后，数据的平均数为15(8.0+8.0+8.5+8.5+8.5)=8.3，

新的一组数据的平均数会变大，D正确．

故选：ABD．10.【答案】AB

【解析】解：根据题意，从中依次不放回摸出两个球，Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，

(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共12个基本事件，

A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)}，共6个基本事件，

B={(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，共4个基本事件，

C={(1,2)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(4,2)}，共6个基本事件，

依次分析选项：

对于A，P(C)=612=12，A正确；

对于B，P(A)=612=12，P(B)=412=13，

AB={(1,4)，(3,2)}，P(AB)=16，

有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与事件B为独立事件，B正确；

对于C，A+B={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(2,3)，(4,1)}，

则P(A+B)=812=23，C错误；

对于D，BC={(2,3)，(3,2)}，11.【答案】ACD

【解析】解：因为c+b=2acosB，

由正弦定理可得sinC+sinB=sin(A+B)+sinB=2sinAcosB，

所以sinB=sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)，又0<A+B<π且0<A<π2，0<B<π2，

所以B=A−B⇒A=2B，故A正确；

由0<B<π20<2B<π20<π−3B<π2，可得π6<B<π4，故B错误；

C：设∠B=∠BAD=∠CAD=θ，则∠ADC=2θ，∠ACD=π−3θ，

而sinθ=35，且π6<θ<π4，则cosθ=45，

由AD=2，则c=AB=4cosθ，且bsin2θ=2sin(π−3θ)=2sin3θ，则b=2sin2θsin3θ，

所以1b+1c=sin3θ2sin2θ+14cosθ=sinθcos2θ+cosθsin2θ2sin2θ+14cosθ=2cos2θ−112.【答案】2【解析】解：∵z=2−i，

∴z−=2+i，

∴|z−+i|=|2+2i|=2213.【答案】173【解析】解：设原来4个数据依次为a，b，c，d，则a+b+c+d=24，

因为方差为5，

所以(a−6)2+(b−6)2+(c−6)2+(d−6)2=20，

所以(a2+b2+c2+d2)−12(a+b+c+d)+36×4=20，

则a2+b2+c2+d2=20+12×24−36×4=164，

现加入数据8和1014.【答案】28π

【解析】解：在△ABC中，S△ABC=12acsinB=34ac=332，即ac=6，

所以b2=a2+c2−2accosB≥2ac−2ac⋅(−12)=18，

即b≥32(当且仅当a=c时取等号)，

设△ABC外接圆半径为r，由正弦定理得2r=bsinB≥26，即r≥6，

如图，

取△ABC的外接圆圆心H，过点H作平面ABC的垂线，

则三棱锥P−ABC15.【答案】解：(1)根据题意可得(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；

因为成绩位于(70,80]，(80,90]，(90,100]的频率之比为0.3：0.25：0.05=12：10：2，

所以按分层抽样方法抽取24人的成绩，这24人中成绩不低于90分的人数为2；

(2)因为前几组的频率依次为0.1，0.15，0.15，0.3，

所以中位数位于(70,80]，且为70+0.5−0.1−0.15−0.150.03≈73.33；

(3)因为甲复赛获一等奖的概率为25，乙复赛获一等奖的概率为13，

且甲、乙是否获一等奖互不影响，

所以甲乙两个人都未复赛获一等奖的概率为(1−2【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，分层抽样的概念，即可求解；

(2)根据中位数的概念，即可求解；

(3)根据相互独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的性质求解．

本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．16.【答案】(1,2)；

x=kπ+π4，k∈Z；

f(x)max【解析】(1)已知向量a=(sinx,1)，b=(cosx,1)，

当x=π2时，a=(sinx,1)=(1,1)，b=(cosx,1)=(0,1)，

则a+b=(1+0,1+1)=(1,2)．

(2)若a/​/b，

则sinx×1−1×cosx=0，

即sinx=cosx，

所以x=kπ+π4，k∈Z．

(3)因为a=(sinx,1)，b=(cosx,1)，

所以f(x)=a⋅b=sinxcosx+1×1=12sin2x+1，

因为sin2x∈[−1,1]，

所以当sin2x=1时，f(x)17.【答案】(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=2，

由AC=2，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；

(2)解：作BF⊥AD，与AD交于点F，BO⊥CD，与CD交于点O，连接OF，

由(1)知OF⊥AD，所以∠BFO就是二面角B−AD−C的平面角，

在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，

由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．

在Rt△ACD中，由DC=2，AC=2，得AD=6；

在Rt△ABD中，由【解析】(1)依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；

(2)作BF⊥AD，与AD交于点F，BO⊥CD，与CD交于点O，连接OF，由(1)知OF⊥AD，所以∠BFO就是二面角B−AD−C的平面角，即可求出二面角B−AD−C的正切值．

本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．18.【答案】π6；

(i)212【解析】(1)因为a=2bsin(C+π6)=b(3sinC+cosC)，

由正弦定理得sinA=sinB(3sinC+cosC)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以cosBsinC=3sinBsinC，

因为C∈(0,π)，所以tanB=33，

所以B=π6．

(2)(ⅰ)因为BC=23,BD=1,∠B=π6，

根据余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB=1+12−2×1×23×32=7，所以CD=7，

因为∠BDC=π2+A，所以sin∠BDC=sin(π2+A)=cosA，

在△BDC中，由正弦定理知，BCsin∠BDC=CDsinB，即23cosA=712，所以cosA=217，

进而sinA=277，所以tanA=233=19.【答案】2；