2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列条件中能得到a=b的是(

)A.a=b B.a与b的方向相同

C.a=b，且a→2.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是(

)A.至少有2个红球 B.至少有2个黄球 C.都是黄球 D.至多1个红球3.设a为实数，复数z1=a−2i，z2=−1+aiA.1+3i B.−1 C.−6+6i 4.下列命题是真命题的是(

)A.已知数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10相对于原数据一样稳定

B.若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙

C.数据1，2，3，4，4，5的平均数、中位数相同

D.数据1，2，2，2，3，45.给出下列4个命题，其中正确的命题是(    )．①垂直于同一直线的两条直线平行；

②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；

④垂直于同一平面的两个平面平行．A.①② B.③④ C.②③ D.①④6.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a+c)(a−c)+b(a+b)=0，则C等于(

)A.90° B.60° C.120° D.150°7.已知sin(45°+α)=55，则sin

2αA.−45 B.−35 C.8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°A.32π3 B.4π3 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(

)A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12

B.每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16

C.每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12

D.每次抽取110.已知向量a与b的夹角为30°，且a=1，2a−A.b=3 B.a⋅b=32

11.下列选项中，与cos(−25π3A.2cos15°cos75° B.sin86三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(3,1)，b=(−6,k)，若a→/\!/b→13.已知向量OA对应的复数为z=−1+i，复数zi可以将向量OA按逆时针方向旋转

得到(填最小正角14.在四面体S−ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=5，AC=3，则该四面体体积的最大值为

，此时该四面体外接球的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等腰三角形顶角的余弦值为3516.(本小题15分已知M、N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点．(1)求证：MN=(2)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边AD的中点，求证：AN⊥(3)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是AD边上的动点，求BE⋅BC17.(本小题15分)在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=(1)若▵ABC外接圆的面积为π，B=30°，求(2)若sinA+3cos18.(本小题17分)“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：40,50,50,60，……，

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．(i)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；(ii)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值．19.(本小题17分如图，在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD=2，E为BD的中点，F为AC上一点．(1)求证：平面ACE⊥平面BDF(2)若M，N分别是AB，BC的中点，求证：DF/\!/平面EMN；(3)若∠BCD=90°，∠BAD=60①求二面角A−BD−C的余弦值；②求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．

参考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.B

9.ACD

10.AC

11.ABC

12.−2

13.π214.3015.解：设等腰三角形的顶角为α，底角为β，依题意，cosα=因为α+2β=π，所以β∈(0,由cos2β=2cos2β−1=−所以tanβ=

16.解：(1)如图(1)，MN=AD(2)以点A为坐标原点建立如图(2)所示的平面直角坐标系，依题意，有A(0,0)，D(2,0)，N(2,1)，B(0,2)，C(2,2)，E(1,0)，则AN=(2,1)，BE=(1,−2)，由(3)由(2)，设AE=x，x∈[0,2]，则E(x,0)，BC=(2,0)，BE因为x∈[0,2]，所以当x=2时，BE⋅

17.解：(1)设▵ABC外接圆的半径为R，依题意，πR2由正弦定理可得bsinB=2R又因为b+c=2+1，b=1，所以c=由C∈0,π且c>b，得C=π(2)由sinA+3因A∈0,π，故A+π3因为b+c=2+1，所以S所以▵ABC面积的最大值为3+2

18.解：(1)由频率分布直方图有10a=1−10×0.005+0.010×2+0.020+0.025解得a=0.030，因为10×0.005+0.010+0.020=0.35<0.5，所以中位数在区间70,80内，设为x，则有10×0.005+0.010+0.020+0.03×x−70所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；(2)设A=“任选一道题，甲答对”，B=“任选一道题，乙答对”，C=“任选一道题，丙答对”，则由古典概型概率计算公式得：PA=1220=所以有PA=25，(i)记D=“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有D=AB∪AB，且有因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立，所以P=3所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率1325(ii)记E=“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则E=所以P=1−2解得：n=10．

19.解：(1)在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD，E为BD的中点，则AE⊥BD，而AE∩CE=E，AE,CE⊂平面ACE，得BD又BD⊂平面BDF，所以平面ACE⊥平面(2)因为E为BC中点，M为AB中点，所以ME//因为ME⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，所以ME//同理可得NE//平面ACD又ME,NE⊂平面EMN，ME∩NE=E，所以平面EMN又DF⊂平面ACD，所以DF//平面(3)①依题意，AB=AD，BC=CD，E为BD的中点，则AE⊥BD，故∠AEC即为二面角A−BD−C由于BC=CD=2，又∠BCD=90°，则BD=2又∠BAD=60°，则A