2024-2025学年甘肃省甘南藏族自治州高一下学期期末数学试卷含解析

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省甘南藏族自治州高一下学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=21−i，则|z|=A.0 B.1 C.2 D.2.已知向量a=(2,1),b=(−2,4)，则aA.(−2,9) B.(0,5) C.(4,−3) 3.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为6π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为(

)A.π6 B.π4 C.π34.计算：tan10°+tan50A.33 B.1 C.25.甲、乙两人独立地解同一问题.解决这个问题的概率分别为23和34，则恰好有1人解决这个问题的概率为(

)A.12 B.512 C.146.已知▵ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a−b=2ccosB，且cosA+cosB=1A.等边三角形 B.顶角为120°的等腰三角形

C.顶角为150°的等腰三角形 7.已知O，N，P在ΔABC所在平面内，且|OA→|=|OB→|=|OC→|,NA→+NB→+NC→A.重心外心垂心 B.重心外心内心 C.外心重心垂心 D.外心重心内心8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别为棱A1BA.25+95+2136 B.5+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m//α,m//β，则α//β

B.若m//α,n//α，则m，n可以是异面直线

C.若m⊥α,m//β，则α⊥β

D.若m10.已知向量a,b满足a⋅b=2,|A.|a|=2 B.a与b的夹角为π6

C.a与b的夹角为11.在平面直角坐标系中，若Mx1,y1,Nx2,y2，则称“d(M,N)=x1−x2+y1−y2A.已知点A(1,2),B(3,5)，则d(A,B)=5

B.“曼哈顿椭圆”关于x轴、y轴、原点对称

C.▵PF1F2的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是

．13.已知sinα+π6+cosα=14.在平面四边形ABCD中，▵ABC是边长为2的等边三角形，▵ACD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线AC折成四面体B−ACD，在折起的过程中，四面体外接球表面积最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分已知复数z=m(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．16.(本小题15分)已知某校高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为540，360，360.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去儿童福利院参加庆六一献爱心活动．(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担献爱心活动的主持工作．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅱ)设事件T为“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件T发生的概率．17.(本小题15分)如图，四棱锥S−ABCD的各个棱长均相等，P为侧棱SD上的点，且SP=2PD．(1)求证：AC⊥(2)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求SE:18.(本小题17分已知向量a=((1)若a→//b(2)若f(x)=a(i)求函数f(x)的单调递增区间；(ii)已知A(−3,2),B(3,10)，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，向下平移32个单位长度得到函数g(x)的图象.在g(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥19.(本小题17分)(1)如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积；(2)如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为S=

(3)已知凸四边形的边长分别为AB=1,BC=2,CD=4,DA=3，求四边形ABCD内切圆半径r的取值范围．

答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】由复数除法及复数的模即可求解．【详解】若z=21−i=2故选：C．2.【答案】D

【解析】【分析】根据向量的线性运算的坐标公式求结论．【详解】因为a=(2,1)，b所以2b=(−4,8)，故选：D．3.【答案】C

【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式及扇形的弧长公式即可求解．【详解】设圆锥的母线长为l，则π⋅1⋅l=6又设圆锥的侧面展开图的圆心角为θ，则θ⋅6=2π⋅故选：C．4.【答案】D

【解析】【分析】逆用和角的正切公式即可求出结果．【详解】         tan故选：D．5.【答案】B

【解析】【分析】根据题意，“恰有一人解决这个问题”可分拆为两个互斥事件：“甲解决且乙没有解决”和“甲没有解决且乙解决”，结合互斥事件的概率加法公式和独立事件定义计算其概率．【详解】记“甲解决问题”为事件A，“乙解决问题”为事件B，由已知P(A)=23，P(B)=34，因为甲、乙两人独立地解同一问题，所以事件A与B相互独立，故A与B，A与B相互独立，记“恰有一人解决问题”为事件C，则C=AB+AB，且所以P(C)=P=2故选：B．6.【答案】A

【解析】【分析】已知2a−b=2ccosB，根据正弦定理结合三角形内角关系化简，得出内角C.根据A，B内角关系，结合cosA+cosB=1化简，利用和角公式判断出内角A，B.根据内角A，B【详解】已知2a−b=2ccosB，根据正弦定理a=2RsinA，2sin又sinA=2消去同类项得sinB2cosC−1=0.因为sin则A+B=120°，即A=120cos120°根据和角公式：sin已知0<B<120所以A=B=C=60故选：A．7.【答案】C

【解析】【详解】试题分析：因为OA=OB=OC，所以O到定点A,B,C的距离相等，所以O为ΔABC的外心，由NA+NB+NC=0，则NA+NB=−NC，取AB的中点E，则NA+NB=−2NE=CN，所以2NE=

考点：向量在几何中的应用．8.【答案】A

【解析】【分析】先利用平面性质作出截面图形，然后利用勾股定理求出各个边长，即可得解．【详解】取CD的中点为T，取B1P的中点为S，取CD上靠近D的四等分点为取C1D1上靠近D1的四等分点为G，取A1连接BM,QM,NQ,PN,B如图由正方体性质可知D1T//BP，在▵D所以D1T//QM，所以在正方形A1B1C1D1所以B1G//在▵D1A1S中，P,N分别为A故B,P,N,M四点共面，所以五边形PBMQN为所求的截面多边形．易知CM=32，DM=12，D1故BP=4+1=5，BM=4+所以截面五边形PBMQN的周长为25+9故选：A．9.【答案】BC

【解析】【分析】AD可举出反例；BC根据空间中线线、线面、面面之间的位置关系，运用平行与垂直的判定定理，分析可得．【详解】选项A：若m/\!/α,m/\!/β，则α/\!/β，或α,β相交.故A错．选项B：若m/\!/α,n/\!/α，则m，n可以异面，可以平行，也可以相交.故B对．选项C:若m/\!/β，则β内存在直线m′，使得mm⊥α，若m′⊥α选项D：若m⊥α,n⊥m，则n/\!/α或故选：BC．10.【答案】ACD

【解析】【分析】根据向量的模长、夹角公式及向量垂直的表示对选项逐一分析即可．【详解】对于A：|a所以a2=4，即a=2对于BC：设a与b的夹角为θ，则cosθ=a⋅bab=22×2对于D：a⋅所以a⊥(a故选：ACD．11.【答案】ABD

【解析】【分析】根据“曼哈顿距离”的定义求d(A,B)，判断A，根据定义求“曼哈顿椭圆”方程，结合方程研究其对称性，判断B，先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，结合对称性作轨迹，取特殊点求▵PF1F2【详解】对于A，因为A(1,2),B(3,5)，根据定义可得d(A,B)=|1−3|+|2−5|=2+3=5，A正确；对于B，设“曼哈顿椭圆”上任意一点为P(x,y)，则dP,即|x+c|+|y|+|x−c|+|y|=2a，即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a(a>所以“曼哈顿椭圆”的方程为|x+c|+|x−c|+2|y|=2a(a>将点(−x,y)代入得，|−x+c|+|−x−c|+2|y|=2a，即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于y轴对称，将点(x,−y)代入得，即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于x轴对称，将点(−x,−y)代入得，即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于原点对称，所以“曼哈顿椭圆”关于x轴，y轴，原点对称.，B正确；对于C，先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，d作曲线2x+2y=2a,x≥c,y≥0根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则D(a,0)，G(0,a−c)，E(c,a−c)，当点P与G重合时，▵PF1F2对于D，梯形ODEG的面积为|OD|+|GE|2×|OG|=a+c2故选：ABD．12.【答案】13【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解．【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是A4根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为824故答案为：1313.【答案】−7【解析】【分析】由条件根据两角和正弦公式可得sinα+π3【详解】因为sinα+所以sinα所以3所以12sinα+所以cos2α−故答案为：−714.【答案】16π【解析】【分析】分析得到只需外接球半径等于等边▵ABC的外接圆半径时，表面积最小，并验证此时平面ACD⊥平面ABC【详解】要想在折起的过程中，四面体外接球表面积最小，只需四面体外接球半径最小，球心在平面ABC的投影为等边▵ABC的中心O故只需外接球半径等于等边▵ABC的外接圆半径，即R=取AC的中点H，连接DH,BH，则点O在BH上，其中DH=12AC=1，OH=满足DH2+OH2

四面体外接球半径最小值为R=23故答案为：1615.【答案】解：(1)因为复数z=m所以m由m2−4m+3=0，可得m=1或由m2−1≠0，可得m≠−1且所以m=3；(2)因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限所以m2−4m+3所以−1<所以，实数m的取值范围是(−1,1)．

【解析】(1)根据纯虚数的定义可得m2(2)根据复数对应的点在第四象限可得其实部为正，虚部为负，列关于m的不等式，求解即可．16.【答案】解：(1)由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为540:又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．所以应从高一年级的学生志愿者中抽取7×3从高二年级的学生志愿者中抽取7×2从高三年级的学生志愿者中抽取7×2所以应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)(ⅰ)不妨设A,B,C为高一学生，D,E为高二学生，F,G为高三学生，随机试验从A,B,C,D,E,F,G中随机抽取2名同学的所有可能得抽取结果的集合Ω=(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(ⅱ)因为事件T为“抽取的2名同学来自同一年级”，所以T=(A,B),(A,C),(B,C),(D,E), (F,G)所以P(T)=5

【解析】(1)利用分层抽样的定义结合已知条件求解即可，(2)(ⅰ)根据题意列出所有可能得抽取结果的集合即可，(ⅱ)确定事件T所包含的样本点，利用古典概型概率公式求结论．17.【答案】解：(1)设AC∩BD=F，即F为由题意得SA=SC，所以SF⊥底面ABCD为菱形，所以BD⊥又因为SF∩BD=F，SF,BD⊂所以AC⊥平面SDB又因为SD⊂平面SDB，所以AC(2)取SD上(靠近S)的三等分点Q，设点E为SC的中点，因为P,F分别为QD,BD的中点，所以PF//QB，又PF⊂平面PAC，QB所以QB//平面PAC因为▵QSE∽▵PSC，所以又因为QE⊄平面PAC，PC⊂平面所以QE//平面PAC又因为QB∩QE=Q，QB,QE⊂所以平面BEQ//平面PAC又因为BE⊂平面BEQ所以BE//平面PAC因为点E为SC的中点，所以SE:

【解析】(1)根据线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；(2)利用面面平行的性质定理证明线面平行，继而即可求解．18.【答案】解：(1)已知a→//b若cosx=0，则cos若3sinx=cosx(2)(i)由已知f(x)=sin令−πx∈kπ−5π(ii)将f(x)=sin2x+π向下平移32个单位长度得到函数设P(x,cos2x)，因为则AP=x+3,cos由AP⊥整理得：x2因为cos2x∈[−1,1]当且仅当cos2x=1且x=0时，方程成立.故存在点P(0,1)

【解析】(1)根据a→//b→推导出关于(2)(i)根据给定关系确定并化简函数，根据三角函数的单调性解不等式，确定单调递增区间；(ii)根据题意确定函数g(x)，假设点P(x,g(x))