乘法公式 暑假作业（含解析） 数学七年级北师大版（2024版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页完成时间：___________月___________日天气：作业乘法公式三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型【题型一：用平方差公式进行计算】1．下列各式不能使用平方差公式的是（）A． B．C． D．2．计算时，下列变形正确的是（）A． B．C． D．3．若，则的值是（）A．3 B．6 C．9 D．184．已知为实数，若有整数，，满足，则称是，的弦数．若且为整数，请写出一组，使得是，的弦数：．5．计算：6．先化简，再求值．，其中7．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【题型二：利用完全平方公式进行计算】8．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．9．若，，则的值为（

）A．4 B．2 C．8 D．610．如果，，等于（

）A．42 B．40 C．39 D．3811．已知，(1)求的值(2)求的值12．利用整式乘法公式计算(1)；(2)．13．已知，求代数式的值14．先化简，再求值：，其中．15．已知下列等式：①；②；③；……(1)请仔细观察这三个式子，写出第④个式子：______：(2)请你找出规律，写出第个式子______，并证明该式成立；(3)利用（2）中发现的规律求的值．16．阅读理解：若满足，求的值，解：设，，则有：，，所以请仿照上例解决下面的问题：问题发现：（1）若满足，求的值；类比探究：（2）若满足，求的值；拓展延伸：（3）若，求的值【题型三：乘法公式与图形面积】17．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（

）A． B．C． D．18．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（

）A． B．C． D．19．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（

）A． B． C． D．20．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有（填序号）21．【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____；【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求和的值；【感悟】（3）已知，求22．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若，求的值．解：因为；所以；所以；得．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：【初步应用】（1）若，，则；【类题探究】

（2）若m满足．求的值．【拓展延伸】（3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．23．探索规律．乐乐在计算：、、⋯⋯这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”：①②③(1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形．(2)根据以上规律计算：________=________(3)根据以上规律计算并写出过程：24．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．(1)观察图2，直接写出代数式之间的关系：．(2)若，则．(3)若，求的值．(4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积．25．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是________（填字母）．A．B．C．(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值；②计算：；③计算：．26．阅读材料并解决问题：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值．解：．无论x取何值，总是非负数，即，所以．所以当时，有最小值，最小值为5．根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：；(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；(3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由．【题型四：整式的乘法的应用】27．若且，则代数式的值为（

）A． B． C．3 D．228．公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加．29．已知，则．30．先化简，再求值，其中，．31．已知多项式，，A与B的乘积中不含有x项，常数项是．(1)求m，n的值．(2)化简求值：当时，求的值．32．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用33．若定义：，则代数式的最小值为．34．若，，则(填“”“”或“”)．35．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）．任意两个连续奇数的平方差8的倍数表示结果……一般结论按上表规律，完成下列问题：（i）__________________．（ii）______．(2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立．36．如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．(1)先求出代数式，再计算当时，代数式的值；(2)嘉淇说：“只要的值不取，的值就一定大于的值．”你同意她的说法吗？说明理由．37．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片（其中种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长分别为、的长方形），并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．(1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：__________；(2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号卡片_____张，号卡片_____

张，号卡片_____张；(3)解答问题：若，，则的值为_____；(4)根据（）中得出的等量关系，解决如下问题，已知，求的值；(5)两个正方形，如图摆放，边长分别为，．若，，则图中阴影部分面积的和为_____．38．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．【结论探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________．（2）若，求的值．【类比迁移】（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．39．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：．(1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）公式②：公式③：公式④：图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，（填序号）；(2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：(3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差．40．利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当时，有最小值是．41．【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式．又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：若关于的代数式为对称式（为常数）．(1)求的值；(2)已知，若，求对称式的值．42．如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”．(1)请再写出一个“幸福数”；(2)猜想：“幸福数”是4的（奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由；(3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”．①求的值；②的最小值为；③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”．43．材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1．(1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______；(2)①已知，则______；②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．(3)已知实数x、y满足，求的最小值．44．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是；（2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：①已知，，则．②已知，求的值．【知识迁移】（3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和．45．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？解：，因为，所以，因此，当时，代数式有最小值，最小值是．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1）代数式的最小值为，的最大值为．【拓展提高】（2）当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由．46．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．当时，有最小值．根据上述材料，解答下列问题：(1)将变形为的形式________，则的最小值为______；(2)如果，则；如果，则；如果，则．已知，，请比较A与B的大小，并说明理由；(3)已知，求的值．47．【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式：．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片．【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．【活动内容】：（1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究之间的数量关系并说明理由．（2）利用上述结论计算：若，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．B【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意；C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选：B．2．D【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．将看做一个整体，则是相同项，互为相反项的是，对照平方差公式变形即可求解．【详解】解：，故选：D．3．C【分析】本题考查了平方差公式，积的乘方，先整理得，结合积的乘方进行运算，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：C．4．（答案不唯一）【分析】本题考查了平方差公式和新定义，正确理解题中的新定义是解本题的关键．根据题中提供的弦数的定义求解即可．【详解】解：，是的弦数，故答案为：（答案不唯一，如或者亦可）．5．【分析】本题考查了整数的运算．利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解．【详解】解：．6．；36【分析】首先根据多项式的乘法计算法则和平方差公式将括号去掉，然后再进行合并同类项得出化简结果，最后将a和b的值代入化简结果得出答案．本题主要考查的是多项式的乘法和平方差公式计算法则以及合并同类项法则，属于基础题型．明确乘法计算法则是解决这个问题的关键．【详解】解：原式=．当时，原式．故答案为：；7．(1)(2)，证明见解析【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律．（1）根据题意写出第个算式即可．（2）根据规律写出第n个等式，然后利用完全平方公式，平方差公式证明左边右边即可．【详解】（1）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；则第5个等式为：；故答案为：；（2）第n个等式为：．证明：左边，右边，左边右边，原等式成立．8．C【分析】本题考查同底数幂的乘除法，完全平方公式，同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，同底数幂除法和幂的乘方逐一判断即可．【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意．故选：C．9．A【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式变形进行计算即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：∵，，∴；故选A．10．B【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式，先求出即可；【详解】解：∵∴∴∵∴故选：B．11．(1)(2)【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键：（1）利用完全平平方公式变形计算即可；（2）利用完全平平方公式变形计算即可．【详解】（1）解：，把代入上式得：；（2）把代入上式得：，．12．(1)(2)【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键；（1）将变形为，再根据完全平方公式计算即可；（2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．13．【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先将代数式进行因式分解，再整体代入，熟练计算是解题的关键．【详解】解：,把代入原式，原式．14．；22【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．15．(1)9(2)；证明见解析(3)2500【分析】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．（1）由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此求解；（2）等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第个式子；（3）由，，，..，将算式逐一变形，再寻找抵消规律求解．【详解】（1）解：观察下列等式：①；②；③；……可得第个式子：．故答案为：．（2）解：由①；②；③；……可得第个式子：得第个式子为：．证明：左边：，左边=右边，等式成立．故答案为：．（3）解：由（2）中发现的规律可得．16．（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了完全平方公式变形应用；（1）设，由完全平方公式将化为，即可求解；（2）设，，将化为，即可求解；（3）设，，可求出，，将化为，即可求解；掌握、、、、之间的关系，并能熟练利用其进行运算是解题的关键．【详解】解：（1）设，则：，，；（2）设，，则有：，，，；（3）设，，，，，，，，，．17．D【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得．【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为，由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为，则剩余部分的面积为，所以能验证的等式是，故选：D．18．C【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可．【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为，第二个图形的面积为，∴，故选：C．19．B【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握是解题的关键．根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出的值即可．【详解】解：大长方形周长为，，，四个正方形的面积之和为，，，，，，故选：B．20．①②③【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键．用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可．【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式；图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式；图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式；图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图④不能验证平方差公式；综上所述，能验证平方差公式的有①②③，故答案为：①②③．21．（1）

（2），12；（3）【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．（1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论；（2）根据可得，再根据（1）中的结论计算即可；（3）设，，则，可得出，再根据（1）中的结论计算即可．【详解】解：（1）∵图2是边长为的正方形，∴，∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形，∴，∴；故答案为：．（2）∵，∴，即，又∵，∴，∴；（3）设，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴即．22．（1）3；（2）；（3）．【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．（1）由完全平方公式即可计算；（2）由完全平方公式即可计算；（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解【详解】解：（1）∵，∴，即，∵，∴，∴，故答案为：；（2）设，则，，，∴，即，∴，∴，∴；（3）设，∵，∴，∵，∴，由完全平方公式可得，，∴，解得：，∴阴影部分的面积．23．(1)9，1(2)，199(3)9996【分析】本题考查数字类规律探索，平方差与几何图形，应用数形结合思想是解题的关键．（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解；（2）根据（1）中所得规律可解；（3）根据（1）中所得规律将原式变形为即可求解．【详解】（1）解：，这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形，故答案为：9，1；（2）解：，故答案为：，199；（3）解：．24．(1)(2)20(3)7(4)17【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键．（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案；（2）根据完全平方公式计算即可；（3）根据完全平方公式计算即可；（4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可．【详解】（1）由可得，故答案为：；（2）解：∵，∴；故答案为：20；（3）解：∵，∴；（4）解：设，则，∴，∵，∴，∵∴，∴，即．∴图中阴影部分的面积为17．25．(1)B(2)①3；②；③2【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键．（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可．（2）①利用平方差公式计算即可；②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可；③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，故选：B；（2）解：①，即，而，；②原式；③原式．26．(1)36；6(2)变形见解析；(3)，理由见解析【分析】本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．（1）利用配方法即可得；（2）利用配方法得，根据非负数的性质即可得；（3）根据题意得，，利用作差法和配方法得，即可得．【详解】（1）解：，故答案为：，6；（2）解：，无论x取何值时，总是非负数，即，∴，∴的最小值为；（3）解：，，∴，∵无论a取何值时，总是非负数，即，∴，∴，∴．27．A【分析】题目主要考查求代数式的值，考查代数式的展开与整体代入能力，解题的关键在于通过展开代数式并重组可以快速得到结果．将所求代数式展开后，利用已知条件且，进行整体代入，然后将已知式子代入求解即可得．【详解】解：，当，时，原式，故答案为：A．28．【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．用改变后的花坛的面积减去改变前的面积，计算即可．【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽，这个花坛的面积将增加：．故答案为：．29．16【分析】本题考查了多项式与多形式的乘法，单项式与多项式的乘法，及整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多形式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则化简，再把代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：16．30．；【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后代入数据进行求值即可．【详解】解：．当，时，原式．31．(1)，(2)【分析】本题考查了多项式乘多项式，化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．（1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为，列方程即可得到答案；（2）把代入利用整式的四则运算法则进行计算得到化简的结果，再把代入计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是，∴，∴，把，代入，解得：，故，；（2）解：根据（1）可知，，∴，．当时，原式．32．(1)音乐喷泉池的占地面积为(2)(3)市民活动区域铺设地砖的费用为元【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可；（2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解；（2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解．【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为．答：音乐喷泉池的占地面积为．（2）解：，∴解得：，∴（3）解：由题可得市民活动区域的面积为．市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，．当时，答：市民活动区域铺设地砖的费用为元．33．##0.75【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质．解决本题的关键是将代数式转化为非负数与常数项的和的形式．根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解．【详解】解：由题意知，，，，代数式的最小值为．故答案为：．34．【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行计算、有理数的大小比较，先利用完全平方公式和平方差公式求出、的值，比较即可得解．【详解】解：，，∴，故答案为：．35．(1)（i）72；8；9；（ii）(2)见解析【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式，正确理解题意找到规律是解题的关键．（1）（i）仿照题意求解即可；（ii）观察可知两个连续奇数的平方差等于8乘以这两个奇数和的四分之一，据此规律求解即可；（2）利用平方差公式求出去括号后的结果即可证明结论．【详解】（1）解：（i）由题意得，；（ii），，，，……，以此类推可知，；（2）证明：．36．(1)；当时，M(2)同意，理由见解析【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）由题意可得，再根据去括号、合并同类项法则计算即可化简，最后代入计算即可得解；（2）先求出，再计算出，分情况讨论即可得解．【详解】（1）解：∵∴，当时，原式；（2）解：同意，理由如下：∵∴；∴；当时，，此时，；当不取，恒大于0，的值就一定大于的值．37．(1)(2)，，(3)(4)(5)【分析】（）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；（）计算，再根据三个纸片的面积可求解；（）根据（）所得等量关系计算即可求解；（）设，，可得，，即得，进而根据等量关系解答即可求解；（）根据图形得到，即得，利用平方差公式求出即可求解；本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式的几何背景及其应用，平方差公式，理解题意，正确识图是解题的关键．【详解】（1）解：由图知，大正方形的面积为，又可以为，，故答案为：；（2）解：，种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为，需种纸片张，种纸片张，种纸片张，故答案为：，，；（3）解：，，，或，故答案为：；（4）解：设，，则，，，∵，，；（5）解：由题意和图形知，，∴，，，，∴阴影部分的面积和为，故答案为：．38．（1）；（2）16；（3）22【分析】本题考查了平方差公式、一元一次方程的应用．（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，代入字母求出代数式即可；（2）根据（1）代入数据计算即可；（3）延长、交于点H，根据题意，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是56，得出方程：，求出，根据，列出代数式，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或，∴，故答案为：；（2）若，则；（3）如图：延长、交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得：，，，即，，，即．答：图中阴影部分的面积是22．39．(1)③④②(2)10(3)165【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键．（1）由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可；（2）由，可得，，由题意知，，由公式①，可得，可得的结果，计算求出满足要求的解即可；（3）由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可．【详解】（1）解：由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，故答案为：③，④，②．（2）解：设，∴，，由题意知，，∴，由公式②，可得，即，∴，∴或，∴或，解得，或（舍去），∴大正方形的边长的值为．（3）解：由题意知，，，∴或（舍去）∴，整理得，∴，∴或（舍去），∴，∴正方形与正方形的面积之差为．40．【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将多项式变形成，再结合求解即可．【详解】解：，由知，当时，多项式有最小值，故答案为：；．41．(1)(2)【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键．（1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可；（2）就，，得出，，把代入即可求解．【详解】（1）解：，交换a、b的位置，∵代数式为对称式，∴，∴，∴，∴解得：；（2）解：∵，，∴，即，∴，，把代入得：．42．(1)36（答案不唯一）(2)奇数倍，理由见解析(3)①10②11③见解析【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键：（1）根据幸福数的定义，进行作答即可；（2）根据幸福数的定义，结合平方差公式进行判断即可；（3）①将转化为，根据幸福数的定义，即可求出；②根据，a、b为正整数，且，得到当时，的值最小，进行求解即可；③根据是“幸福数”，得到为4的奇数倍，将转化为，得到为4的奇数倍，即可得证．【详解】（1）解：；故再写出一个“幸福数”可以是；（2）“幸福数”是4的奇数倍，理由如下：∵，∵为奇数，∴“幸福数”是4的奇数倍；（3）①；∵是“幸福数”，∴；②∵，a、b为正整数，且，∴当时，的值最小为，此时最小，；③∵，∴，∴，∵为幸福数，∴为4的奇数倍，∴；∵为4的奇数倍，为4的偶数倍，∴也为4的奇数倍，故为幸福数．43．(1)(2)①②20(3)1【分