2025年新高二数学人教A版尖子生专题复习《函数的概念与性质》

第39页（共39页）2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《函数的概念与性质》一．选择题（共8小题）1．（2025春•滨湖区校级月考）函数f(x)=A． B． C． D．2．（2025春•浙江月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x∈[﹣4，﹣2]时，函数f（x）的值域是[﹣6，﹣3]，则函数f（x）在[2，4]区间上的最大值为（）A．6 B．4 C．3 D．23．（2025•广元模拟）已知a∈R，函数f(x)=(x-a)2-2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2025春•顺义区校级期中）对于函数f（x），定义集合M＝{x0∈R|∀x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，若[﹣1，1]⊆M，则下列结论中正确的是（）A．﹣1可能为函数极大值点 B．1可能为函数极大值点 C．函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增 D．函数f（x）可能为偶函数5．（2025春•重庆月考）函数f（x）＝e|x|﹣x2﹣1的大致图象为（）A． B． C． D．6．（2025•开福区校级模拟）已知函数f(x)=ln|a+11-x|+bA．(3，3) B．(2，2) C．(27．（2025•辽宁模拟）设函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）是奇函数，f（2x+3）是偶函数，则（）A．f（5）＝0 B．f（4）＝0 C．f（0）＝0 D．f（﹣2）＝08．（2025•湖北三模）已知x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0≥ln2 B．x0C．2x0+lnx0＝0 D．2二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•南通校级三模）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（）A．y＝sinx与y＝﹣sinx B．y＝x3与y＝x3﹣x C．y＝2x与y＝3•2x D．y＝lgx与y＝lg（3x）（多选）10．（2025•合作市校级模拟）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），以下四个命题中真命题是（）A．∀x∈（﹣1，1），有f（﹣x）＝﹣f（x） B．∀x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有f(C．∀x1，x2∈（0，1），有f(D．∀x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|（多选）11．（2025•长沙校级模拟）已知a＞0且a≠e，则函数f（x）＝ex﹣alnx的图象可能是（）A． B． C． D．（多选）12．（2025春•东莞市期中）已知函数f(A．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），[1，+∞） B．函数f（x）的值域为R C．若关于x的方程f（x）＝a有三个根，则a∈（0，1） D．若f(x)≤mx+1三．填空题（共4小题）13．（2025•焦作校级一模）若函数f(x)=x2+mx+1，x≤0x+14．（2025•盈江县校级模拟）已知f（x）＝x+x2+1，若f（a）•f（b）≤1，（其中a，b∈R），则a+b的最大值为15．（2024秋•湛江期末）已知函数f（x）＝log2x，且f（a）+a＝0，bf（b）＝2b+4，则f（a）+f（b）＝．16．（2024秋•通州区期末）对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，[2.5]＝2，则[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log381]＝；若函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，则y＝[f（x）﹣1]+[f（﹣x）+1]的值域为．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•合肥期末）已知函数y＝φ（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝φ（a+x）﹣b是奇函数，给定函数f(（1）求函数f（x）图象的对称中心；（2）用定义判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围，18．（2025春•长沙校级期中）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(（1）①作出函数f（x）在[﹣10，10]上的图象；②若方程f（x）＝a恰有6个不相等的实根，求实数a的取值范围；（2）对于两个定义域相同的函数s（x）和t（x），若g（x）＝s（x）﹣t（x），则称函数g（x）是由“基函数s（x）和t（x）”生成的．已知g（x）是由“基函数s(x)=log2(x2+1)和t(x)=(12)x”生成的，若∀x1∈R，∃x2∈[119．（2025春•杨浦区校级月考）已知f（1）已知n是正整数，求f（n）+f（﹣n）的值；（2）已知常数a∈（﹣2，+∞），是否存在a，使函数y＝f（x）在区间[﹣1，1+a]上是严格增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．20．（2025春•清远期中）已知函数f（x）=x（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．

2025年新高二数学人教A版（2019）尖子生专题复习《函数的概念与性质》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CACBAAAC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDABCDBCDACD一．选择题（共8小题）1．（2025春•滨湖区校级月考）函数f(x)=A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】根据f（x）的奇偶性和取值情况，判断可能的图象．【解答】解：因为y=lnπ-xπ+x为奇函数，y＝cosx为偶函数，所以f又x∈（0，π2）时，lnπ-xπ+x＜0，cosx＞0，所以f（故选：C．【点评】本题主要考查由函数解析式求函数图象，属于中档题．2．（2025春•浙江月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x∈[﹣4，﹣2]时，函数f（x）的值域是[﹣6，﹣3]，则函数f（x）在[2，4]区间上的最大值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】抽象函数的值域．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】直接利用函数的性质，函数的定义域和值域的关系以及奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于2≤x≤4，则﹣4≤﹣x≤﹣2，所以﹣6≤f（﹣x）≤﹣3，由于函数f（x）在R上为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），则﹣6≤﹣f（x）≤﹣3，故3≤f（x）≤6，故函数f（x）在[2，4]区间上的最大值为6．故选：A．【点评】本题考查的知识点：函数的性质，函数的定义域和值域的关系，函数的奇偶性的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2025•广元模拟）已知a∈R，函数f(x)=(x-a)2-2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】分段函数的应用；充分条件必要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解．【答案】C【分析】先研究充分性：分三种情况，根据导数与函数单调性的关系、二次函数的性质加以计算，判断出当0≤a≤4时，f（x）存在最小值，可知充分性成立．然后研究必要性：根据f（x）在（1，+∞）上的单调性判断出a必须大于等于0，然后分别讨论0≤a≤4与a＞4时，f（x）存在最小值的等价条件，推算出必要性成立，进而可得所求结论．【解答】解：对于充分性，有如下3种情况：①当a＝0时，f(可知f（x）在（﹣∞，1]上的最小值为f（0）＝﹣2，在（1，+∞）上的最小值大于2．此时f（x）min＝f（0）＝﹣2，即f（x）存在最小值；②当0＜a≤1时，f(可知f（x）在（﹣∞，1]上的最小值为f（a）＝﹣2，当x＞1时，f(x此时f（x）min＝f（a）＝﹣2，即f（x）存在最小值；③当1＜a≤4时，f(可知f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减，最小值为f（1）＝a2﹣2a﹣1．当x＞1时，f(x)=ax+1x+2，由于f'（x）＝所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，此时f（x）min＞a+3．若要使函数f（x）存在最小值，则须满足a2﹣2a﹣1≤a+3，解得﹣1≤a≤4．由（1，4]⫋[﹣1，4]，可知1＜a≤4时，函数f（x）存在最小值．综上所述，当0≤a≤4时，函数f（x）存在最小值，充分性成立．对于必要性，根据f(可知当a＜0时，f（x）＝ax+1x+2在（1因此若f（x）存在最小值，则必须a≥0．根据前面对充分性的分析，可知当0≤a≤4时，函数f（x）存在最小值．再研究当a＞4时的情况：当a＞4时，函数f（x）＝（x﹣a）2﹣2在（﹣∞，1]上单调递减，f（x）min＝f（1）＝a2﹣2a﹣1．当x∈（1，+∞），f（x）＝ax+1x+2，f'（x）＝a-1x2所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．根据函数f（x）存在最小值，可知该最小值在x＝1处取得，须满足a2﹣2a﹣1≤a+3，即a2﹣3a﹣4≤0，解得﹣1≤a≤4，与a＞4矛盾，因此当a＞4时，函数f（x）不存在最小值．综上所述，当f（x）存在最小值时，0≤a≤4，必要性成立．因此，“0≤a≤4”是“函数f（x）存在最小值”的充要条件．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性与最值、充要条件判断等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．4．（2025春•顺义区校级期中）对于函数f（x），定义集合M＝{x0∈R|∀x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，若[﹣1，1]⊆M，则下列结论中正确的是（）A．﹣1可能为函数极大值点 B．1可能为函数极大值点 C．函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增 D．函数f（x）可能为偶函数【考点】函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；新定义类．【答案】B【分析】根据集合M的定义对各选项进行逐项分析．【解答】解：对于A，由题意，因为[﹣1，1]⊆M，所以任取a＞﹣1，b＜﹣1，均有当x∈（b，a）时，f（x）＜f（a），故x＝﹣1不可能是f（x）的极大值点，A错误；对于B，取f（x）＝﹣|x﹣1|，则f（x）满足[﹣1，1]⊆M，且x＝1为f（x）的极大值点，故B正确；对于C，取f（x）=-1，x＜-1x，-1≤x≤1对于D，由题意知，取x0＝1，可得∀x∈（﹣∞，1），f（x）＜f（1），所以f（﹣1）＜f（1），故f（x）不可能为偶函数．故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性，属于中档题．5．（2025春•重庆月考）函数f（x）＝e|x|﹣x2﹣1的大致图象为（）A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】由函数解析式判断f（x）的定义域、奇偶性和单调性，可得大致图象．【解答】解：f（x）＝e|x|﹣x2﹣1定义域为R，f（﹣x）＝e|﹣x|﹣（﹣x）2﹣1＝e|x|﹣x2﹣1＝f（x），所以f（x）为偶函数，排除B、D，又x＞0时，f（x）＝ex﹣x2﹣1，f'（x）＝ex﹣2x，设g（x）＝f'（x），则g'（x）＝ex﹣2，0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，f'（x）递减，x＞ln2时，g'（x）＞0，f'（x）递增，所以f'（x）≥f'（ln2）＝2﹣2ln2＞0，故f（x）在（0，+∞）上递增，故A正确，C错误．故选：A．【点评】本题主要考查由函数解析式求函数图象，属于中档题．6．（2025•开福区校级模拟）已知函数f(x)=ln|a+11-x|+bA．(3，3) B．(2，2) C．(2【考点】奇函数偶函数的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】先根据题设条件及奇函数的性质，得到a=-12，b＝ln2，从而有f(x)=ln|1+x|-ln|1-x|+x4，再结合函数的定义域得到m＞1【解答】解：因为f(易知x≠1，所以x≠﹣1，即有a+11-(-1)所以f(x)=ln|-12+11-得到f(0)=ln12+b故f(有(-x)=ln|-x+11+所以f(x)=ln|x+11-x|+x4又m2＞0，所以m＞1或0＜m2＜1，当0＜m2＜1，即﹣1＜m＜0或0＜m＜1，x∈（m，m2）时，f(此时f（x）＝ln（x+1）﹣ln（1﹣x）+x4在（m，m当m＞1，x∈（m，m2）时，f(f'由f'(x)=x2-94(又f（x）在区间（m，m2）上有最小值，所以1＜m＜3＜m2，解得3＜此时f（x）在区间（m，3）上单调递减，在区间（3，m2）上单调递增，满足题意．故选：A．【点评】本题主要考查函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．7．（2025•辽宁模拟）设函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）是奇函数，f（2x+3）是偶函数，则（）A．f（5）＝0 B．f（4）＝0 C．f（0）＝0 D．f（﹣2）＝0【考点】函数的奇偶性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】依题意，可得f（1）＝0，f（2x+3）＝f（﹣2x+3），赋值x＝﹣1，可得答案【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，且g（x）＝f（x+1）是奇函数，∴g（0）＝f（0+1）＝f（1）＝0，又f（2x+3）是偶函数，∴f（2x+3）＝f（﹣2x+3），令x＝﹣1，得f（1）＝f（5）＝0，其它选项无法确定．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．8．（2025•湖北三模）已知x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0≥ln2 B．x0C．2x0+lnx0＝0 D．2【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【答案】C【分析】由2x2e2x+lnx＝0变形得2xe2x=1xln1x，构造函数f（x）＝xex，利用导数说明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由题意得【解答】解：令2x2e2x+lnx＝0，得2x2e2x＝﹣lnx，其中x＞0，在等式两边同时除以x得，2xe2构造函数f（x）＝xex，其中x＞0，则f′（x）＝（x+1）ex＞0，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（lnx）＝（lnx）elnx＝xlnx，根据题意，若x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则2x0e所以，2x0=ln1x0=-lnx故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，问题的关键在于对等式进行变形，并利用函数的单调性进行解答，属于较难题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•南通校级三模）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（）A．y＝sinx与y＝﹣sinx B．y＝x3与y＝x3﹣x C．y＝2x与y＝3•2x D．y＝lgx与y＝lg（3x）【考点】函数图象的简单变换．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据题意，由函数图象平移的规律依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sin（x+π）＝﹣sinx，将y＝sinx向左平移π可得y＝﹣sinx的图象，符合题意；对于B，假设y＝（x+a）3+b＝x3﹣x，变形可得x3+3ax2+3a2x+a3+b＝x3﹣x，不存在a、b的值满足该式，故y＝x3与y＝x3﹣x不能通过平移重合，不符合题意；对于C，2x+log23=2x×2log23=3•2x对于D，y＝lg（3x）＝lgx+lg3，将y＝lgx的图象向上平移lg3个单位，可得y＝lg（3x）的图象，符合题意．故选：ACD．【点评】本题考查函数图象的变换，涉及指数、对数的运算以及三角函数的变形，属于基础题．（多选）10．（2025•合作市校级模拟）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），以下四个命题中真命题是（）A．∀x∈（﹣1，1），有f（﹣x）＝﹣f（x） B．∀x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有f(C．∀x1，x2∈（0，1），有f(D．∀x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．【答案】ABCD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断出∀x∈（﹣1，1），有f（﹣x）＝﹣f（x），可判断A正确；x∈（﹣1，1），由f'(x)=11+x+11-x=21-x2≥2＞0，可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，可判断B正确；利用f′（x）=21-x2在（0，1）单调递增可判断C正确；构造函数g（x）＝f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）＝f'（x）﹣2≥【解答】解：∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），且其定义域为（﹣1，1），∴f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）＝﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]＝﹣f（x），∀x∈（﹣1，1），有f（﹣x）＝﹣f（x），故A是真命题；∵x∈（﹣1，1），由f'可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，即∀x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有f(x1∵f′（x）=21-x2在（0，1）单调递增，∴∀x1，x2∈有f(x1设g（x）＝f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）＝f'（x）﹣2≥0，所以g（x）在（0，1）单调递增，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函数性质可知，∀x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|，故D是真命题．故选：ABCD．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，突出考查函数奇偶性与单调性及“凸凹”性的综合应用，属于难题．（多选）11．（2025•长沙校级模拟）已知a＞0且a≠e，则函数f（x）＝ex﹣alnx的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】BCD【分析】求出原函数的导函数，然后利用导函数的符号分析原函数的单调性与最值，逐一判断得答案．【解答】解：由f（x）＝ex﹣alnx，得f′（x）＝ex-a∵a＞0且a≠e，∴当0＜a＜e时，f′（1）＝e﹣a＞0，当x→0时，f′（x）→﹣∞，故存在x0∈（0，1），使得f′（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x0）=ex0-alnx0＞0，则函数f（x）＝ex﹣当a＞e时，f′（1）＝e﹣a＜0，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故存在x1∈（1，+∞），使得f′（x1）＝0，当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x1）=ex1-alnx1，∵f′（x1当1﹣x1lnx1＞0时，f（x1）＞0，故C正确；当1﹣x1lnx1＜0时，f（x1）＜0，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查由函数解析式求解函数图象，训练了利用导数求最值，是中档题．（多选）12．（2025春•东莞市期中）已知函数f(A．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），[1，+∞） B．函数f（x）的值域为R C．若关于x的方程f（x）＝a有三个根，则a∈（0，1） D．若f(x)≤mx+1【考点】分段函数的应用；函数的值域；函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C；设函数y2=mx+12m，并求出与函数f（x）的切点的横坐标，结合图象分析m＞12e【解答】解：根据题意可知，函数f(当x＜0时，f(则f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且渐近线为y轴和y＝1，恒有f（x）＜1，当x≥0时，f(x)=当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）单调递增，当x＞1，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）单调递减，故f（x）≤f（1）＝1，且当x≥0时，x≥0，ex﹣1，恒有f（x）＞0，综上可知，f（x）max＝1，作出函数大致图象，如下图，对于A，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），故A正确；对于B，函数f（x）的值域为（﹣∞，1]，故B错误；对于C，方程f（x）＝a有三个根，则所以y＝f（x）与y1＝a有3个公共点，由图象可知当0＜a＜1时，y＝f（x）与y1＝a有3个交点，满足题意，即a的取值范围是（0，1），故C正确；对于D，设函数y2=mx且与函数f（x）的切点为（x0，y0），则有y0=x0ex0-由①②得x0将③代入上式可得x0ex即x02+12x0-m=1-x0e当m＞12e12，直线斜率增大，此时函数f（即f(x)≤mx+因此，m∈[1故选：ACD．【点评】本题考查了分段函数，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•焦作校级一模）若函数f(x)=x2+mx+1，x≤0x+1x+m【考点】由函数的最值求解函数或参数；分段函数的应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【答案】[﹣1，0]．【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果．【解答】解：又因为当x＞0时，函数f(x)=x+如果最小值为f（0）可得f（0）≤m+2，所以1≤m+2，解得m≥﹣1；当x≤0时，函数f（x）＝x2+mx+1关于直线x=如果最小值为f（0），可知-m2≥0，所以m综上可知，实数m的取值范围为[﹣1，0]．故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查分段函数综合应用，属于中档题．14．（2025•盈江县校级模拟）已知f（x）＝x+x2+1，若f（a）•f（b）≤1，（其中a，b∈R），则a+b的最大值为0【考点】函数的最值．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】分析f（x）的值域和单调性，结合不等式的性质即可得到所求最大值．【解答】解：f（x）＝x+x当x＝0时，f（x）＝1；x＞0时，f（x）＞0；当x＜0时，f（x）=x2可得f（x）＞0恒成立，由f（x）的导数为1+xx2+1＞0，即f由f（a）f（b）≤1，即有f（a）≤1f(b则a≤﹣b，即a+b≤0，可得a+b的最大值为0，故答案为：0．【点评】本题考查函数的单调性和运用：求最值，注意运用分类讨论思想方法和导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．15．（2024秋•湛江期末）已知函数f（x）＝log2x，且f（a）+a＝0，bf（b）＝2b+4，则f（a）+f（b）＝2．【考点】由函数的单调性求解函数或参数；对数的运算性质；求对数函数及对数型复合函数的单调性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】2．【分析】利用对数运算得log2a+a＝0和log24b+4b=0，从而设函数g（x）＝【解答】解：根据题意，函数f（x）＝log2x，其定义域为（0，+∞），若f（a）+a＝0，即f（a）+a＝log2a+a＝0，若bf（b）＝2b+4，即bf（b）＝blog2b＝2b+4，得log2b设函数g（x）＝log2x+x，易得g（x）在（0，+∞）上单调递增，又由a＞0，b＞0，则有g（a）＝g（4b），必有a=4b，即故f（a）+f（b）＝log2a+log2b＝log2（ab）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，关键构造函数g（x）＝log2x+x，研究其单调性，属于中档题．16．（2024秋•通州区期末）对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，[2.5]＝2，则[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log381]＝208；若函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，则y＝[f（x）﹣1]+[f（﹣x）+1]的值域为{0，2，4}．【考点】分段函数的应用；函数的值域；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】208，{0，2，4}．【分析】根据取整函数特点化简函数求解本题．【解答】解：令y＝[k]，则有：y=令n＝log3k，则有：k∈[1，3）时，n∈[0，1），k∈[3，9）时，n∈[1，2），k∈[9，27）时，n∈[2，3），k∈[27，81）时，n∈[3，4]，k＝81时，n＝4，故[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log381]＝2×0+6×1+18×2+54×3+4＝208；作出函数f（x）的图像，则f（x）∈[0，2]，且易得f（x）为偶函数，根据取整函数特点有[x+a]＝[x]+a，a为整数，y＝[f（x）﹣1]+[f（﹣x）+1]＝[f（x）﹣1]+[f（x）+1]＝2[f（x）]，结合[k]的值域，可得y∈{0，2，4}．故答案为：208，{0，2，4}．【点评】本题考查分段函数的综合应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•合肥期末）已知函数y＝φ（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝φ（a+x）﹣b是奇函数，给定函数f(（1）求函数f（x）图象的对称中心；（2）用定义判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围，【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）（﹣1，﹣1）；（2）函数在（0，+∞）上单调递增；（3）[﹣2，4]．【分析】（1）设函数f（x）的图象的对称中心为（a，b），根据函数成中心对称的充要条件建立方程，结合待定系数法计算即可；（2）利用单调性定义直接作差证明即可；（3）根据条件先将问题等价变形为函数g（x）的值域为f（x）值域的子集，由（2）得f（x）值域结合二次函数的单调性分类讨论计算g（x）的值域计算即可．【解答】解：（1）设函数f（x）的图象的对称中心为（a，b），则f（a+x）+f（a﹣x）﹣2b＝0，即(x整理得（a﹣b）x2＝（a﹣b）（a+1）2﹣6（a+1），可得a-解得a＝b＝﹣1，所以f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1）；（2）函数f(x)=x-证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f(因为x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，可得x1﹣x2＜0且1+6所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f(x)=x-（3）由对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），可得函数g（x）的值域为f（x）值域的子集，由（2）知f（x）在[1，5]上单调递增，故f（x）的值域为[﹣2，4]，所以原问题转化为g（x）在[0，2]上的值域A⊆[﹣2，4]，①当m2≤0时，即m≤0时，g（x）在[0，又由g（1）＝1，即函数g（x）＝x2﹣mx+m的图象恒过对称中心（1，1），可知g（x）在（1，2]上单调递增，故g（x）在[0，2]上单调递增，又因为g（0）＝m，g（2）＝2﹣g（0）＝2﹣m，故A＝[m，2﹣m]，因为[m，2﹣m]⊆[﹣2，4]，所以m≥-22-m≤4，解得﹣2②当0＜即0＜m＜2时，g（x）在(0，m2因为g（x）过对称中心（1，1），故g（x）在(1，2-故此时A=(欲使A⊆[﹣2，4]，只需g(2)=2且g(0)=解不等式，可得2-又0＜m＜2，此时0＜m＜2；③当m2≥1时，即m≥2时，g（x）在[0，1]单调递减，在（1，由对称性知g（x）在[0，2]上单调递减，所以A＝[2﹣m，m]，因为[2﹣m，m]⊆[﹣2，4]，所以2-m≥-2m≤4，解得综上可得：实数m的取值范围是[﹣2，4]．【点评】题考查了函数的对称性，单调性问题，考查集合的包含关系以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．18．（2025春•长沙校级期中）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(（1）①作出函数f（x）在[﹣10，10]上的图象；②若方程f（x）＝a恰有6个不相等的实根，求实数a的取值范围；（2）对于两个定义域相同的函数s（x）和t（x），若g（x）＝s（x）﹣t（x），则称函数g（x）是由“基函数s（x）和t（x）”生成的．已知g（x）是由“基函数s(x)=log2(x2+1)和t(x)=(12)x”生成的，若∀x1∈R，∃x2∈[1【考点】分段函数的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】数形结合；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．【答案】（1）①答案见解析；②（1，4）；（2）16【分析】（1）①先利用描点法作出区间[0，10]上的函数图象，结合偶函数的对称性可得[﹣10，10]上的图象，②利用图象和实数根的个数可得实数a的取值范围；（2）先根据复合函数求出g（x）的最小值，利用f（x）min+3a≥g（x）min可得答案．【解答】解：（1）①当x≥0时，f(列表如下：x012345678910f（x）12432101234描点连线，图象如图，因为f（x）为偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）在[﹣10，10]上的图象如图所示；②f（x）＝a恰有6个不相等的实根，等价于y＝f（x）与y＝a有6个交点，由图象可知当1＜a＜4时，有6个交点，所以实数a的取值范围为（1，4）；（2）由题意，g(因为t＝x2+1在[1，+∞）上为增函数，y＝log2t在（0，+∞）上为增函数，所以y=log2(因为y=-(12)x在[1，+所以g(由（1）可知f（x）在R上的最小值为0，因为∀x1∈R，∃x2∈[1，+∞），使得f（x1）+3a≥g（x2）成立，所以f（x）min+3a≥g（x）min，所以0+3a≥12，解得a≥【点评】本题考查了分段函数模型性质应用问题，是中档题．19．（2025春•杨浦区校级月考）已知f（1）已知n是正整数，求f（n）+f（﹣n）的值；（2）已知常数a∈（﹣2，+∞），是否存在a，使函数y＝f（x）在区间[﹣1，1+a]上是严格增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇函数偶函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）f（n）+f（﹣n）＝0；（2）存在，a∈（﹣2，0]，理由见解答．【分析】（1）判断出f（x）为奇函数，从而得f（n）+f（﹣n）＝0；（2）确定f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，从而求得a的范围【解答】解：（1）当x≤0时，﹣x≥0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣2x＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2x＝x2﹣2x＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，则f（n）+f（﹣n）＝0；（2）存在，a∈（﹣2，0]，理由如下：当x＜0时，f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴为x＝﹣1，故f（x）在x∈[﹣1，0）上单调递增，又f（x）为奇函数，且f（0）＝0，故f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，又f（x）在[﹣1，1+a]上是严格增函数，故1+a≤1，解得a≤0，又a∈（﹣2，+∞），所以a∈（﹣2，0]．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查函数单调性的应用，属中档题．20．（2025春•清远期中）已知函数f（x）=x（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．【专题】证明题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接由奇偶性的定义看f（﹣x）和f（x）的关系即可．（2）可由定义直接判断和证明．先在（0，1]任取两个自变量，做差法比较它们对应函数值的大小，从而判断函数的单调性．也可由导数求解，判断f′（x）的符号即可．【解答】解：（1）奇函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称又∵f（﹣x）=∴函数f（x）=x+1x为（﹣∞，0）∪（（2）f（x）在（0，1]上的单调递减0＜x1＜x2≤1，则0＜x1x2＜1，x1﹣x2＜0∴f=(x即f（x1）＞f（x2）所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和证明，属基本题型的考查．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．3．抽象函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）﹣根据函数的表达式或题目给出的条件，找出限制条件．﹣分析各部分的值域，确定整体的值域．﹣综合各部分的值域，写出抽象函数的值域．【命题方向】涉及抽象函数的值域求解，常见于参数未知的函数值域问题．已知函数y＝f（x）的值域为[2，3]，则函数F（x）＝1﹣2f（1﹣x）的值域是_____．解：因为函数y＝f（x）的值域为[2，3]，即2≤f（x）≤3，根据复合函数的性质可得f（1﹣x）的值域是[2，3]，即2≤f（1﹣x）≤3，那么2f（1﹣x）的值域是[4，6]，即4≤2f（1﹣x）≤6，所以g（x）＝1﹣2f（1﹣x）的值域[﹣5，﹣3]．故答案为：[﹣5，﹣3]．4．由函数解析式求解函数图象【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．【命题方向】识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．函数f(x)=A.B.C.D.解：∵函数f(x)=x3+sinx3x∴函数为奇函数，故排除C，D，又f(π)=故选：A．5．函数图象的简单变换【知识点的认识】图象变换（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．【命题方向】图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．将函数y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为（）解：函数y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位得到y＝2x2+3，再向下平移3个单位长度得到y＝2x2．6．分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．7．函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1f(x1)-f(x2)x1②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．8．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．9．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．10．由函数的最值求解函数或参数【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】﹣分析已知最值和函数的形式，设定函数的表达式．﹣利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数．﹣验证求解结果的正确性．【命题方向】题目包括通过最值反求函数或参数，考查学生对最值及函数关系的理解和应用能力．已知函数f(x)=2x+mx+1在[0解：f(显然m≠2，当m＞2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，则2+m-20+1=3当m＜2时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，则2+m-21+1=3综上，m＝3．故答案为：3．11．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．12．奇函数偶函数的性质【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．【命题方向】题目包括判断奇偶函数，分析其对称性及应用，结合实际问题解决奇偶函数相关的问题．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（3）＝_____．解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2﹣x，则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣[2×（﹣3）2﹣（﹣3）]＝﹣21．故答案为：﹣21．13．函数的周期性【知识点的认识】函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．【解题方法点拨】周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）=1f(解：由题意可知，f（x+2）=1f(x)=f（x﹣②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．【命题方向】周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．14．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②lo