3.4 导数的综合应用（精练）（题组版）（解析版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

.4导数的综合应用（精练题组版）题组一判断零点的个数1．（2025·辽宁·一模）已知函数．(1)讨论函数在区间上的单调性；(2)证明：函数在上有两个零点．【答案】(1)在单调递增，在单调递减．(2)证明见解析【解析】（1）由函数，可得，当时，令，可得，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在单调递增，在单调递减．（2），则，当时，故，此时在单调递增，当时，记，则，由于，则故，因此在单调递减，由于，故存在唯一的使得，当单调递增，当单调递减，综上知：在单调递增，在单调递减，且，因此在上有两个零点.2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数.(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)讨论的单调性；(3)若在上有个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3).【解析】（1）依题意得对恒成立，即对恒成立，所以，即的取值范围是.（2）由题知，的定义域为，又，当时，在上单调递增.当时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）知，当时，在上单调递增，则在上至多有个零点，则不符合题意.当时，要使得在上有个零点，则，即，且，设函数，则，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以.由，得.即的取值范围为.3．（2024山东日照·阶段练习）已知函数．（1）若讨论的单调性；（2）当时，讨论函数的极值点个数．【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）答案见解析．【解析】（1）由题意，函数定义域为，可得，令，可得，因为所以，所以在上为增函数，又因为，所以，，，，所以的增区间为，的减区间为．（2）①当时，由（1）可知在上有唯一极小值，所以极值点个数为1个．②当时，则，得，当时，，时，，所以，令，．因为，所以，即在上单调递减，所以，所以（ⅰ）当时，，在上恒成立，即在上恒成立，所以无极值点．（ⅱ）当时，，，即易知，所以存在唯一使得，且当时，，当时，，则在处取得极大值；又，所以当时，，当时，，即在处取得极小值；故此时极值点个数为2，综上所述：当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时，的极值点个数为1．4．（24-25·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的极值点个数．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）当时，，切点为．，斜率，所求切线方程为，即；（2）函数的定义域为，，令，则，，令，解得，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，，①当时，，函数单调递增，函数无极值点；②当时，，，即，因此函数在上有唯一零点，当时，，因此函数在上有唯一零点，当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增．又当时，函数有两个极值点．综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．5．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，求在上的最小值；(3)当时，讨论的零点个数.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2).(3)答案见解析【解析】则，当时，，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，，令，则，所以在上单调递增，所以当时，，所以在上单调递减，所以当时，.（3）令，得，即，所以.令，则，即①，当时，由，得在上恒成立，所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，且当时，.因为，所以.当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为，即时，方程①无解，的零点个数为0.综上，当时，的零点个数为2；当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为0.6．（2025·山东·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)判断函数的零点个数并说明理由；(3)若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3).【解析】（1）函数，定义域为，则，若，则，故函数在上单调递减，若，则得；得，故函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，函数在上单调递减，且，故函数仅有一个零点；由（1）可知，当时，函数在上单调递减，又因为，所以函数在内仅有一个零点，即仅有一个零点；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为，若，则，故函数没有零点；若，则，故函数仅有一个零点；若，则，取，则，又因为函数在上单调递减，所以函数在内仅有一个零点，取且，可知，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，因，所以，又因为函数在上单调递增，所以函数在内仅有一个零点，故当时，函数有两个零点，综上，当时，函数的零点个数是；当或时，函数的零点个数是1；当时，函数的零点个数是.（3）曲线与曲线的交点个数，即方程的正数解的个数，令，则当时，与一一对应，则原问题等价转化为对于，方程有且仅有一正数解，令，则，若函数存在极值点，则在极值点附近两侧单调性相反，则必存在，使得方程有至少两个不同的解，所以函数在上不存在极值点，结合，对于二次函数，其图象开口向上，所以对于，即，即在恒成立，因为，所以对于成立，转化为，因为，当且仅当时取等号，所以，又当时，有成立，，，函数在上单调递增，则方程有且仅有一解.综上，的取值范围是.7．（2025·山东·模拟预测）已知函数．(1)当时，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数．【答案】(1)．(2)答案见解析【解析】（1）由题意得的定义域为，当时，．当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取得极小值，也即最小值，为．因为，，所以在处取得最大值1．综上，．（2）令，得．令，则．当时，在上恒成立，所以在区间上单调递增．又，故此时有唯一零点．当时，．令，得，所以在区间上单调递减；令，得，所以在区间上单调递增．所以．令，则．令，则．当时，单调递增；当时，单调递减．又，所以当时，．①当，即时，，此时有唯一零点．②当，即时，．因为，所以在区间上有唯一零点．，令，则，所以，则，所以在区间上单调递减，则．又，所以在区间上存在唯一零点，故在区间上有两个零点．③当，即时，，由函数零点存在定理可得在区间上有唯一零点，故在区间上各有一个零点．综上，当或时，有一个零点；当且时，有两个零点．题组二已知零点个数求参数1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.(1)当时，求证：最大值小于；(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）当时，，先证明：，令，其中，则，当时，，所以在上单调递增，即，则不等式在上恒成立，再证明：，令，其中，则，则当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，即，则不等式在上恒成立，所以有，证毕；（2）由得：，构造函数，由，因为，所以，即函数在上单调递增，由，根据单调性可得：再构造，则，则当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，由，可知，当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：.2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，；易知，则；因此切线方程为，即；（2）设函数，；显然；令，其中，即；当时，，则时，，，此时在上单调递减；当时，，，此时在上单调递增；因此，可知，因此在上存在零点，不合题意；当时，由可得；所以，使得；可得时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；所以要使函数在上没有零点，只需，解得，所以实数a的取值范围为.3．（23-24云南昆明·阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，若存在零点，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）由，当时，，函数在上单调递增，当时，令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）令，得，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，因为存在零点，即方程有实数根，所以．即实数的取值范围为．4．（2025·山东临沂·一模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，则，令，则，令，则，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，当时，，当时，，如图，作出函数的大致图象，因为函数在上恰有两个零点，所以函数的图象恰有两个交点，所以的取值范围为.5．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意知，，令，则，.故，，即切点为，所求切线方程为，即.（2）由题意得，当时，，故函数没有零点；当时，令，得.令，则，，因为有2个零点，所以和有2个交点，令，.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.，当时，；当时，；当时，；当时，且.实数的取值范围为.6．（2025·广西）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程.(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，，所以,，，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2），由得，的图象有2个交点，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，且时，，，所以时，，所以的大致图象如下，所以若函数有两个零点，则，所以实数的取值范围为.7．（2025·河南开封·二模）已知函数，．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若有唯一的零点，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）当时，，，所以，所以在处的切线方程为，即．（2）函数的定义域为，，令，则，即在单调递增，当时，，当时，，所以，使得，即，且当时，即单调递减，且当时，即单调递增，所以在处取得极小值，又当时，时，，故若有唯一的零点，则必有，即，消去可得，即，又因为，即，由②式可得：，即，将代入可得，即，综上可知，若有唯一的零点，则.8．（2025·山东日照·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，的定义域为，所以，，又因为，所以切点为，所以曲线在点处的切线方程为：，化简可得：.（2）令，函数的定义域为，．①当时，，函数在区间上单调递减，函数至多一个零点，不合题意；②当时，设函数，，当时，，即对任意的恒成立，即，所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；当时，因为，所以方程有两个实数根、，且满足，，不妨设，则，、的情况如下：增极大值减极小值增所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是．因为，所以为的一个零点．又，，且，所以存在唯一实数，使得．又，，且，所以存在唯一实数，使得．所以函数有个不同的零点，方程有3个不同的实数解，综上，的取值范围为．9．（2025·江西萍乡·二模）已知函数．(1)证明：函数有且只有一个极值点；(2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）因为，所以，显然在上单调递增．且．故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，，则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点.（2）设，则，记，当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时在上至多存在一个零点，不合题意，当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减，（i）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；（ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；（iii）当时，，，故存在，使得，即，则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于，则，若要满足题设，只需，解得,又因为，所以取值范围是.综上所述，实数的取值范围为.10．（2025·湖南·模拟预测）已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)设，若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）函数，则，所以的图象在处的切线斜率为，所以切线方程为，化简得，.（2）由已知可得，若在区间上有且只有两个零点，则在区间上有且只有1个零点.，则，令，则，因为在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，所以的最小值的最大值，①当时，有，则恒成立，则在区间上单调递增，所以，所以在区间上无零点，舍去；②当时，成立，则在区间上单调递减，所以，所以在区间上无零点，舍去；③当时，有，又在区间上单调递增，根据零点存在定理可得，，使得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，要使在区间上有且只有一个零点，只需，解得，又，所以.题组三恒（能）成立求参数1．（2025·吉林长春）已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；(2)【解析】（1）当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值；（2）当，在上有解，即在上有解，即在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.2．（2025·河北保定·一模）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.【答案】(1)的极大值为，无极小值(2)【解析】（1）当时，，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，无极小值.（2）由题得2a），当时，，不符合题意；当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以由得，解得；当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由，得，解得.综上，的取值范围为.3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数(1)求函数在处的切线方程；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)；(2)．【解析】（1），，而，，所以在处的切线方程为：（2）由题意得：恒成立，因为，所以问题等价于在时恒成立，令，，，当时，，为增函数；当时，，为减函数，则函数，故．4．（24-25广东广州·阶段练习）已知函数，.(1)当时，求的极值点；(2)讨论的单调性；(3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围.【答案】(1)极大值点，无极小值点；(2)当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；(3).【解析】（1）当时，，定义域为.，令，得,当时，，单调递增；当时，，单调递减.在时取得极大值，无极小值.所以的极大值点是，无极小值点.（2），则，，当时，恒成立，函数单调递减；当时，，，，函数单调递增，，，函数单调递减.综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（3）函数在上恒小于0，等价于.由（2）知，当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意；当时，若，即，函数在上单调递减，故，成立，故符合题意；若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，解得，故；若，即，函数在上单调递增，故，解得，故无解.综上所述：.5．（2025·四川自贡·二模）已知函数，.(1)若存在极小值，且极小值为，求；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1），，当时，，所以函数无极值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，解得.（2）由，得，即，，设，，则，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以，则，所以的取值范围为.6．（2025·陕西渭南·二模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）当时，，所以.又，所以，则切线方程为.令得，令得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积为.（2）由得，显然不是方程的解，所以.设函数，则，令得或；令得或.所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增.又当时，，当时，，当时，，当时，.所以的大致图象如图：若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，由图象可知，或，即的取值范围为.（3）由得，显然当时，不等式恒成立.当时，有恒成立，由（2）可得；当时，有恒成立，由（2）可得.综上，，即的取值范围为.7．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，(1)当时，讨论的单调性;(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减(2)【解析】（1）当时，（），则有，考虑函数，因为，令，，由可得：，由可得：，所以在上单减，在上单增，因为，所以，则函数在上单增，因为，则有时，，时，，所以时，，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．（2）当时，成立，则有成立，记，则在成立，，记，①当时，，当时，，，在单调递减，当时，，，在单调递增，故，不满足条件；②当时，在成立，故在单调递减，，满足条件；③当时，，由②知，此时综上，．题组四隐零点1.（2024·广东深圳）已知函数.（1）求函数在上的零点之和；（2）证明：在上只有1个极值点.【答案】（1）（2）详见解析【分析】（1）得到或，据此计算答案.（2）求导设，则，判断函数在上单调递减，在上单调递增，又，，得到答案.【解析】（1）解：令，得或，即或，即或所以在上的零点之和为（2）证明设，，，，当时，，则为增函数.因为，，所以，所以当时，；当时，，从而的上单调递减，在上单调递增又，，所以必存在唯一的，使得，当时，；当时，故在上只有1个极值点2．（2024·江苏宿迁）已知函数(1)若求的极值；(2)若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)的极小值为，无极大值(2)【解析】（1）当，令，解得，则当单调递减，当单调递增，故的极小值为，无极大值；（2）由题意可得令则当时，则时，，不合题意；当时，设，，，所以存在时，，因为，所以在上单调递增，所以当，；当，，则当，；当，，则在单调递减，在单调递增，所以因为，所以，即故解得3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，函数.(1)若是增函数，求的取值范围；(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）的定义域为令，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，从而，故的取值范围是.（2）设曲线的切点为，则曲线在点处的切线方程为.联立，得，必有，记函数，由题，故当时，.记，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增.当，且时，，当时，，故存在，使得，当，或时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减.由，得，代入并整理得：同理，记，由（1）知为增函数，，，又，当时，，有三个零点，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.所述，实数a的取值范围4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程.(2)证明：无极值.(3)若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】（1），则.因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令的导数为.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以在上为增函数，故无极值.（3）由，得.设，则，的导数为，所以为增函数，所以.当时，，，则为增函数，则，所以符合题意.当时，，设，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，这与矛盾，所以不符合题意.

综上，的取值范围是.5．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值.(2).【解析】（1）若，则，所以，令，解得，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，无极小值.（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以，令，所以，当时，，又，所以，所以在上恒成立，所以即在区间上单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，符合题意；当时，令，解得，则即在区间上单调递减；所以当时，，所以在区间上单调递减，所以当时，，不符合题意；当时，又，所以，所以即在区间上单调递减，所以，所以在区间上单调递减，所以，不符合题意.综上，的取值范围为.题组五不等式的证明1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数的最小值；(3)当时，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【解析】（1）函数的定义域为，，当时，由得，由，得，此时，函数的减区间为，增区间为；当时，由得，由，得或，此时，函数的减区间为、，增区间为；当时，由得或，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为、.综上，当时，函数的减区间为，增区间为；当时，函数的减区间为、，增区间为；当时，函数的减区间为，增区间为、.（2）函数的定义域为，，由，得，由，得，即在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值．（3）当时，等价于，即，即，即，即，，只需证明，当，时，，只需证明，由（1）知，时，在处取得最小值，综上所述，原不等式成立．2．（2025高三·全国·专题练习）设函数，．(1)当时，不等式恒成立，求的取值范围；(2)当，时，求证：．【答案】(1)．(2)证明见解析【解析】（1）当时，．设函数，则．令，则，故函数在上单调递减．因为，所以当时，，即；当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减．所以．因为恒成立，所以，所以．（2）因为，，所以．令，则在上单调递减．又，，所以在上有唯一零点，设为，即．当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，所以当时，．因为函数在上单调递增，所以，则．所以．3．（2025·河南·二模）已知，且曲线在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)设的导函数为，求的单调区间；(3)证明：当时，.【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为；(3)证明见解析【解析】（1）因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，所以，解得；（2）由（1）可得，所以，则，定义域为，所以，因为，令，即，解得；令，即，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）由（2）可知在上单调递增，又，，又，所以，即，所以，使得，所以当时，即，所以在上单调递减；当时，即，所以在上单调递增；又，，所以，所以当时，.4．（2025·甘肃白银·二模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，且在上单调递增，求的取值范围；(3)证明：当时，.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】（1）当时，，则，，则，故曲线在点处的切线方程为，即.（2）令，则，因为，所以，所以恒成立，所以是上的增函数.因为在上单调递增，所以在上恒成立，所以只需，又，故.（3））因为，所以要证，只需证，令，该二次函数的图象的对称轴为直线，令，则，令，则，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上单调递增.问题可转化为证明，即证，即证.令，则，令，则，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，证毕.题组六极值点偏移1．（2025·广东佛山·一模）已知函数，其中．(1)当时，讨论关于的方程的实根个数；(2)当时，证明：对于任意的实数，都有．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）当时，方程解的个数，转化为与有交点的个数，的定义域为，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，且，当时，方程有0个解，当或时，方程有1个解，当时，方程有2个解.（2）要证，即证，由于，故只需证，不妨设，即证，两边同时除以并化简，即证，令，则，设，，由(1)知在上单调递增，故，故在上单调递增，所以，从而命题得证.2．（24-25内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知函数，为实数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为(3)证明见解析【解析】（1）当时，，，，故，故函数在处的切线方程为，即；（2）定义域为，，令，解得，令，解得，故的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）由题意得，解得，故，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，可知函数在处取得极值，故符合题意，因为，，令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且当时，恒成立，，当时，，画出的图象如下：故，令，，，因为，所以，，故在上单调递减，又，故在上恒成立，即，，因为，所以，所以，其中，故，其中，，在上单调递增，所以，即.3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数，.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，求的取值范围；(3)若有两个实数解，，证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】（1），，，所以在处的切线方程为，即；（2）由可知，，，即在上恒成立，设，，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为，由题意知，即，故的取值范围为；（3）方程有两实数解，，即有两实数解，不妨设，由（2）知方程要有两实数解，则，即，同时，，，，则，在单调递减，欲证，即证，，等价于，即，等价于，整理得①，令，①式为，又在单调递增，故①式等价于，即，令，，当时，，在单调递增，又，，即，所以，则.4．（2025·山西临汾·二模）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)当时，设的两个零点为，求证：.【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为(3)证明见解析【解析】（1）当时，，则，即，故所求切线方程为.（2）由，，则，令，则；令，则，故的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）当时，，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，又是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，因为，且在上单调递减，从而只需证即可.，令，在上单调递增.，即证，即证.5．（2025·河南·二模）已知函数.(1)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；(2)若有两个零点，，且.（i）求的取值范围；（ii）证明：.【答案】(1)(2)（i），（ii）证明见解析【解析】（1）设，则，令，则，所以在上单调递增，从而.①当，即时，，则在上单调递增，从而，符合题意；②当，即时，，则一定存在，使得当时，，则在上单调递减，从而，合题意．综上所述，的取值范围为．（2）（i）由题意知，的定义域为．当时，，所以在上单调递增，从而在上至多有一个零点．7分当时，令，得．当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．所以是的极小值点，也是最小值点，即．，则．所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以是的极大值点，也是的最大值点．即，从而．一方面，由（1）可知，取，当时，，即，即，易知当时，也成立．所以当时，．所以，即，从而．因为，所以在内有一个零点.另一方面，由（1）知，．又，所以，所以在区间内有一个零点．综上所述，的取值范围是．（ii）证明：由，得，所以，即．要证成立，只需证，即证，即证．令，则．即证，即证．设，则，所以在区间上单调递增，所以，即式成立．所以不等式成立.题组七放缩法证明不等式1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列的首项.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：.【答案】(1)证明见解析，(2)(3)证明见解析【解析】（1）因为，所以，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.（2）因为，所以等价于，即，令，则，所以当时，，所以为减函数，而，又因为恒成立，所以，所以实数的取值范围为.（3）令，所以，所以在上单调递减，所以，所以当时，，所以，又因为，所以，所以，将上式累加，得：，所以，所以.2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数(1)当时，求函数的极值;(2)对于任意的正整数(ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值;(ⅱ)证明：为自然对数的底数【答案】(1)有极小值，无极大值(2)ⅰ2；ⅱ证明见解析【解析】（1）当时，，则，由得，x2-0+↘极小值↗因此，当时，有极小值，无极大值.（2）(ⅰ)当时，，，则，由得，当时，，所以在上单调递增;当时，，所以在上单调递减;所以即，当且仅当时取等号.所以，所以，所以，当时，，所以所以整数M的最小值为(ⅱ)设，，则，所以在上单调递增，所以，即，，由(ⅰ)知，，所以，，令，