专题12.3 角的平分线的性质-八年级数学人教版（上册）

1．作已知角的平分线用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于__________的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．2．角的平分线的性质内容：角的平分线上的点到角的两边的距离__________．【提示】（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．3．证明几何命题的一般步骤一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．4．角的平分线的判定（1）内容：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．K知识参考答案：1．（2）MN 2．相等 3．相等K—重点尺规作图作角的平分线，角的平分线的性质和判定K—难点证明几何命题的一般步骤K—易错角的平分线的判定一、角的平分线的性质遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．【例1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是A．5cm B．4cmC．3cm D．2cm【答案】C【解析】如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．故选C．【例2】如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是A．PA=PB B．PO平分∠AOBC．OA=OB D．AB垂直平分OP【答案】D二、角的平分线的判定1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等．【例3】如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB．学科@网三、角的平分线的性质的应用证明角平分线的方法：只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想．【例4】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【答案】D【解析】如图，A、B、C、D为三条直线组成的三角形内角和外角的角平分线的交点，由角平分线上的点到角两边距离相等可得在这四点处，货物中转站到三条公路距离相等．故选D．【例5】如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2km，CB=CD=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是A．3km B．4km C．5km D．5.2km【答案】B1．三角形中到三边距离相等的点是A．三条边的中垂线交点 B．三条高交点C．三条中线交点 D．三条角平分线的交点2．作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于点C，D，然后分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为A．大于CD B．等于CDC．小于CD D．以上答案都不对3．在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果DE=3cm，那么CE等于A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是A．mn B．mn C．2mn D．mn5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=3∶2，点D到AB的距离为6，则BC等于A．10 B．20 C．15 D．25是A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN B．PM=PN，OM=ONC．PM⊥OA，PN⊥OB，OM=ON D．PM=PN，∠PMO=∠PNO7．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=__________．8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于__________．9．如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为__________．10．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．11．如图，已知∠AOB，按如下步骤作图：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E；（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；（3）画射线OC．根据上述作图步骤，试说明为什么射线OC平分∠AOB？12．如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是A．OA=OC B．点O到AB、CD的距离相等C．∠BDA=∠BDC D．点O到CB、CD的距离相等13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为A．AD>DE B．AD=DE C．AD<DE D．不确定14．如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=A．130° B．150° C．100° D．140°15．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=__________．16．如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA、OB上，如果要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能的条件的序号__________．①∠ODE=∠ODF；②∠OED=∠OFD；③ED=FD；④EF⊥OC．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE=PF．18．如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD．试说明：∠BAP+∠BCP=180°．19．（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是A．8 B．6C．4 D．220．（2017•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是A．15 B．30C．45 D．601．【答案】D【解析】由角平分线的性质不难得出三角形中到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．故选D．2．【答案】A【解析】根据三角形两边之和大于第三边的性质可知，画的时候，为了让两条弧有交点，必须是以大于CD的长为半径画弧．故选A．3．【答案】C【解析】∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm．故选C．4．【答案】B5．【答案】C【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，∴CD=6．∵BD∶DC=3∶2，∴BD=CD=×6=9，∴BC=6+9=15．故选C．6．【答案】D【解析】A中，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知OC平分∠AOB，选项A正确；B中，PM=PN，OM=ON，又因为OP=OP，得△OPM≌△OPN，所以∠AOC=∠BOC，所以OC平分∠AOB，选项B正确；C中，PM⊥OA，PN⊥OB，在Rt△OPM与Rt△OPN中，OM=ON，OP=OP，所以Rt△OPM≌Rt△OPN，所以∠AOC=∠BOC，所以OC平分∠AOB，选项C正确；D中，在△OPM与△OPN中，已知PM=PN，OP=OP，∠PMO=∠PNO，无法判断△OPM≌△OPN，故无法判断OC平分∠AOB，选项D错误．故选D．7．【答案】125°8．【答案】5【解析】如图，作EF⊥BC于F，5．9．【答案】4【解析】如图，过点P作PF⊥AB交AB的延长线于点F，PM⊥BC交BC于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，∵△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PM=PN，PF=PM，∴PF=PN=4．即点P到AB的距离为4．故答案为：4．10．【解析】∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB．∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．11．【解析】如图，连接，可证≌，∴，∴射线OC平分∠AOB．12．【答案】D【解析】∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC，∴∠DCA=∠BCA，∴点O到CB、CD的距离相等．故选D．15．【答案】3cm【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF．∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=ABDE+ACDF=（AB+AC）·DE，∴DE（AB+AC）=45，即：，解得DE=3（cm）．故答案为：3cm．16．【答案】①②④【解析】如图，17．【解析】在三角形ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF．18．【解析】如图，过点P作PE⊥BA于E．∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，∴PD=PE．∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，∴△BPD≌△BPE，∴BE=BD．∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，∴AE=CD．∵PD=PE，AE