专题13.1 轴对称-八年级数学人教版（上册）

1．轴对称图形（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的__________．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．【注意】（1）对称轴是一条__________，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．2．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做__________，折叠后重合的点是对应点，叫做__________．轴对称和轴对称图形的区别与联系名称关系轴对称轴对称图形区别意义不同两个图形之间的特殊位置关系一个形状特殊的图形图形个数两个图形一个图形对称轴的位置不同可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）一定经过这个图形对称轴的数量只有一条有一条或多条联系（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称3．线段垂直平分线的定义及其性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的__________．线段的垂直平分线的性质．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__________．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．4．轴对称和轴对称图形的性质（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线__________，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．5．画轴对称图形轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；（2）连接这对对应点；（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．【注意】画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．K知识参考答案：1．对称轴；直线2．对称轴；对称点3．垂直平分线；相等4．对称K—重点判断一个图形是不是轴对称图形，线段垂直平分线的定义及其性质K—难点轴对称与轴对称图形的性质K—易错判断轴对称图形的对称轴，线段垂直平分线的判定一、轴对称的性质判断轴对称图形，可以先试着画对称轴，通过观察对称轴两旁的部分是否重合来判定，找对称轴时要多角度观察图形和对折图形．【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是A． B．C． D．【答案】A【解析】根据轴对称图形的意义可排除：不是轴对称图形，故选A．【名师点睛】本题主要考查了轴对称图形，牢牢掌握轴对称图形的意义是解答本题的关键．【例2】下列图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴．【解析】第一、二、四中图形是轴对称图形，如图所示：二、线段垂直平分线的性质和判定1．线段的垂直平分线是直线，而不是射线或线段．2．线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴．3．利用线段垂直平分线的性质可以证明线段相等．运用此方法可省去证明三角形全等，使得过程更简捷．【例3】如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC=6cm，则△APQ的周长为A．12cm B．6cm C．8cm D．无法确定【答案】B1．轴对称现象无处不在，请你观察下图所示的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化，其中可以看作是轴对称图形的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直线l⊥BB′ D．∠A′=120°3．下列关于轴对称性质的说法中，不正确的是A．对应线段互相平行 B．对应线段相等C．对应角相等 D．对应点连线与对称轴垂直4．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD=A．150° B．300° C．210° D．330°5．下面说法中正确的是A．设A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MNB．如果△ABC≌△DEF，则一定存在一条直线MN，使△ABC与△DEF关于MN对称C．如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条，则它是等边三角形D．两个图形关于l对称，则这两个图形分别在l的两侧6．如图，在△ABC中，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，连接AE，若AE平分∠BAC，BE=4，则CE的长为A．8 B．6 C．4 D．27．在任意三角形、锐角、长方形三种图形中，有且只有一条对称轴的是__________．8．如图，已知点A、B直线MN同侧两点，点A′、A关于直线MN对称．连接A′B交直线MN于点P，连接AP．若A′B=5cm，则AP+BP的长为__________．9．如图所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，求△BCE的周长．10．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ．求证：BP=CQ．11．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．12．如图，在3×3方格图中，在其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，方法有A．1种 B．2种 C．3种 D．4种13．如图所示，该图形的对称轴条数为A．2 B．4 C．6 D．814．如图所示，将长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E，若∠1=20°，则∠AEC'=__________．15．如图，∠AOB内一点P，分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为__________．16．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N．（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．17．（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是A． B． C． D．18．（2018•广州）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条19．（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线A．l1 B．l2 C．l3 D．l420．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为A．50° B．70° C．75° D．80°21．（2018•毕节市）如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是__________．22．（2018•南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=__________度．1．【答案】C【解析】因为轴对称图形的概念是：将一个图形沿着某条直线翻折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，因为④沿着中间翻折后，两侧不能完全重合，所以④不是轴对称图形，故选C．4．【答案】B【解析】轴对称图形按对称轴折叠后两边可以完全重合，∠AFC+∠BCF=150°，则∠EFC+∠DCF=150°，所以∠AFE+∠BCD=300°．故选B．学科！网5．【答案】C【解析】A，应该是直线MN垂直平分线段AB，故错误；B，因为成轴对称的两个图形一定全等，但全等形不一定是轴对称图形，故错误；C，因为等边三角形是轴对称图形，且有3条对称轴，故正确；D，错在这两个图形不一定要在直线两侧，同侧也可以有，如下图，故错误．故选C．6．【答案】D【解析】∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=4，∴∠A=∠BAE=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=30°，∴∠BAC=60°，∴∠C=90°，∴EC=AE=2．故选D．7．【答案】锐角【解析】因为任意一个三角形有可能不是轴对称图形，也有可能是轴对称图形，所以对称轴的个数不确定，所以不符合题意，因为锐角是关于角平分线所在直线对称，所以对称轴有且只有一条，因为长方形的对称轴有两条，不符合题意，故答案为：锐角．8．【答案】5cm【解析】∵点A′、A关于直线MN对称，点P在对称轴MN上，∴A′P、AP关于直线MN对称，∴A′P=AP，∴AP+BP=A′P+PB=A′B=5cm．故答案为：5cm．9．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB．∴BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=12+7=19．∴△BCE的周长为19．11．【解析】如图，连接DB．∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°-30°=90°，Rt△CBD中，∠C=30°，∴，∴．12．【答案】C【解析】共有3种，如图：故选C．13．【答案】A【解析】根据图示可以画出2条，学科！网故选A．∴AM=MC，CN=NB，∵△CMN的周长=CM+CN+MN=21，∴AB=AM+MN+NB=CM+MN+CN=21（cm）．（2）∵∠MCN=50°，∴∠CMN+∠CNM=180°-50°=130°，∵AM=MC，CN=NB，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠A+∠ACM=∠CMN，∠B+∠BCN=∠CNM，∴∠ACM=∠CMN，∠BCN=∠CNM，∴∠ACM+∠BCN=(∠CMN+∠CNM)=65°，∴∠ACB=65°+50°=115°．17．【答案】B18．【答案】C【解析】五角星的对称轴共有5条，故选C．19．【答案】C【解析】该图形的对称轴是直线l3，故选C．20．【答案】B【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠