2025-2026年北师大版高三数学第八章概率与统计练习题

2025-2026年北师大版高三数学第八章概率与统计练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在北师大版高三数学第八章中，若某事件A的概率为P(A)=0.3，事件B的概率为P(B)=0.5，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B同时发生的概率为（）A.0.15B.0.2C.0.8D.0.85解析：根据互斥事件的概率性质，若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，且P(A∩B)=0。题目要求P(A∩B)，由于互斥事件不能同时发生，故P(A∩B)=0。选项A为P(A)×P(B)=0.3×0.5=0.15，属于错误干扰项；选项B为P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0=0.8，但题目询问的是P(A∩B)，故错误；选项C为对立事件的概率1-P(A)=1-0.3=0.7，与题意无关；选项D为P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8，同样错误。正确答案为0，但选项中未给出，故本题设计存在缺陷，需调整题干为“事件A与事件B对立时”或“事件A与事件B独立时”以符合选项。2.某校高三年级进行数学测试，随机抽取50名学生，其中成绩优秀的有15人。若用样本估计总体，则该校高三年级学生成绩优秀的概率的估计值为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5解析：根据样本估计总体的思想，样本中事件发生的频率可近似等于总体中事件发生的概率。本题中样本优秀率为15/50=0.3，故估计值为0.3。选项A为0.2，即12.5%的优秀率，与样本数据不符；选项C为0.4，即40%的优秀率，远高于样本数据；选项D为0.5，即50%的优秀率，同样不合理。选项B与样本估计值一致，正确。3.在北师大版高三数学第八章中，若某随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则参数n和p的值分别为（）A.n=12，p=0.5B.n=10，p=0.6C.n=9，p=0.4D.n=8，p=0.75解析：根据二项分布的性质，E(X)=np，D(X)=np(1-p)。由E(X)=6可得np=6，由D(X)=3可得np(1-p)=3。联立方程组：np=6np(1-p)=3代入np=6，得6(1-p)=3，解得p=0.5，再代入np=6，得n×0.5=6，解得n=12。故参数n=12，p=0.5，正确答案为A。选项B中np=6但1-p≠3/6，矛盾；选项C中np=3.6≠6；选项D中np=6但1-p≠1/8，矛盾。4.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行篮球投篮实验，每次投篮命中概率为0.6，至少需要投篮多少次才能使得至少命中一次的概率大于0.9？（）A.3次B.4次C.5次D.6次解析：至少命中一次的概率等于1减去一次都不命中的概率。设需要投篮n次，则一次都不命中的概率为(1-0.6)^n=0.4^n。要求至少命中一次的概率大于0.9，即1-0.4^n>0.9，解得0.4^n<0.1。计算各选项：n=3时，0.4^3=0.064<0.1，满足条件；n=4时，0.4^4=0.0256<0.1，满足条件；n=5时，0.4^5=0.01024<0.1，满足条件；n=6时，0.4^6=0.004096<0.1，满足条件。但需验证最小n值，当n=3时，1-0.4^3=0.936>0.9，故n=3即可。正确答案为A。选项B、C、D均满足条件，但非最小值。5.在北师大版高三数学第八章中，某工厂生产的产品次品率为0.1，现随机抽取3件产品，则恰好有1件次品的概率为（）A.0.001B.0.01C.0.003D.0.03解析：本题可视为二项分布B(3,0.1)的P(X=1)计算。公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，代入n=3，k=1，p=0.1，得：P(X=1)=C(3,1)×0.1^1×(1-0.1)^(3-1)=3×0.1×0.9^2=3×0.1×0.81=0.243。选项A为0.001，即C(3,1)×0.1^3×0.9^0=0.001×0.9^0=0.001；选项B为0.01，即C(3,1)×0.1^1×0.9^1=0.01×0.9=0.09；选项C为0.003，即C(3,1)×0.1^1×0.9^2=0.243，正确；选项D为0.03，即C(3,1)×0.1^1×0.9^1=0.01×0.9=0.09。正确答案为C。6.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行身高调查，随机抽取30名学生，身高数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,173,168,170,171,165,169,172,168,170,174,167,169,171,173,165,170,168,172,169,171,174,167,170。则该样本的中位数和众数分别为（）A.169cm，170cmB.170cm，168cmC.169.5cm，170cmD.170cm，169cm解析：（1）中位数：将数据排序后，第15个数为169，故中位数为169cm；（2）众数：170出现6次，为出现次数最多的数，故众数为170cm。正确答案为A。选项B错误，众数应为170；选项C中位数计算错误；选项D错误，众数应为170。7.在北师大版高三数学第八章中，某公司招聘员工，考试分为笔试和面试两个环节，笔试通过率为0.7，面试通过率为0.6，两个环节均需通过才能被录用。若某应聘者通过笔试，则通过面试的概率为0.8，则该应聘者被录用的概率为（）A.0.42B.0.48C.0.56D.0.6解析：设事件A为笔试通过，事件B为面试通过。已知P(A)=0.7，P(B|A)=0.8，要求P(A∩B)。根据条件概率公式，P(A∩B)=P(A)×P(B|A)=0.7×0.8=0.56。正确答案为C。选项A为P(A)×P(B)=0.7×0.6=0.42；选项B为P(A)+P(B)-P(A)×P(B)=0.7+0.6-0.42=0.88；选项D为P(B)=0.6，均错误。8.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行数学成绩分析，随机抽取40名学生，成绩分布如下表：成绩分组|频数---|---60-70|570-80|1080-90|1590-100|10则该样本的样本方差s^2的估计值为（）A.81.25B.84.5C.90.25D.96.25解析：（1）计算样本均值：x̄=(60×5+70×10+80×15+90×10)/40=80；（2）计算样本方差：s^2=[(60-80)^2×5+(70-80)^2×10+(80-80)^2×15+(90-80)^2×10]/40=[(400×5+100×10+0×15+100×10)/40]=[(2000+1000+0+1000)/40]=5000/40=125。注意：此处计算结果为125，但选项中无对应值，可能题干或选项存在错误。若按标准答案格式保留，需调整题干为“样本标准差”或“其他计算方法”。9.在北师大版高三数学第八章中，某篮球运动员每次投篮命中概率为0.7，则该运动员投篮3次至少命中2次的概率为（）A.0.343B.0.147C.0.847D.0.21解析：至少命中2次包括命中2次和命中3次两种情况。命中2次的概率：C(3,2)×0.7^2×(1-0.7)^1=3×0.49×0.3=0.441；命中3次的概率：C(3,3)×0.7^3×(1-0.7)^0=1×0.343×1=0.343；总概率：0.441+0.343=0.784。注意：选项中无对应值，可能题干或选项存在错误。若按标准答案格式保留，需调整题干为“至少命中1次”或“其他概率值”。10.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行身高调查，随机抽取50名学生，身高数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,173,168,170,171,165,169,172,168,170,174,167,169,171,173,165,170,168,172,169,171,174,167,170。则该样本的极差和方差分别为（）A.9cm，81.25B.9cm，84.5C.10cm，90.25D.10cm，96.25解析：（1）极差：最大值174-最小值165=9cm；（2）方差：均值x̄=169，s^2=[(165-169)^2+(170-169)^2+...+(170-169)^2]/50=[(16+1+1+4+16+4+9+1+1+4+16+4+4+1+1+9+4+1+4+9+16+1+1+4+16+4+4+9+4+1+1)/50]=[150/50]=3。注意：计算结果为3，但选项中无对应值，可能题干或选项存在错误。若按标准答案格式保留，需调整题干为“样本标准差”或“其他计算方法”。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若某随机变量X服从二项分布B(n,0.6)，且E(X)=12，则n的值为______。解：E(X)=np=12，p=0.6，故n=12/0.6=20。参考答案：202.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行身高调查，随机抽取30名学生，身高数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,173,168,170,171,165,169,172,168,170,174,167,169,171,173,165,170,168,172,169,171,174,167,170。则该样本的众数为______。解：170出现6次，为出现次数最多的数。参考答案：1703.若某事件A的概率为P(A)=0.4，事件B的概率为P(B)=0.5，且事件A与事件B对立，则P(A∪B)=______。解：对立事件的概率和为1，故P(A∪B)=1-0.4=0.6。参考答案：0.64.在北师大版高三数学第八章中，某公司招聘员工，考试分为笔试和面试两个环节，笔试通过率为0.7，面试通过率为0.6，两个环节均需通过才能被录用。若某应聘者通过笔试，则通过面试的概率为0.8，则该应聘者被录用的概率为______。解：P(录用)=P(笔试)×P(面试|笔试)=0.7×0.8=0.56。参考答案：0.565.若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则P(X>μ+σ)=______。解：正态分布对称性，P(X>μ+σ)=1-P(X<μ-σ)=1-0.2=0.8。参考答案：0.86.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行身高调查，随机抽取40名学生，身高数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,173,168,170,171,165,169,172,168,170,174,167,169,171,173,165,170,168,172,169,171,174,167,170。则该样本的极差为______。解：最大值174-最小值165=9cm。参考答案：97.若某事件A的概率为P(A)=0.3，事件B的概率为P(B)=0.4，且事件A与事件B互斥，则P(A∩B)=______。解：互斥事件的概率积为0，故P(A∩B)=0。参考答案：08.在北师大版高三数学第八章中，某篮球运动员每次投篮命中概率为0.7，则该运动员投篮3次至少命中2次的概率为______。解：至少命中2次包括命中2次和命中3次两种情况。命中2次的概率：C(3,2)×0.7^2×(1-0.7)^1=3×0.49×0.3=0.441；命中3次的概率：C(3,3)×0.7^3×(1-0.7)^0=1×0.343×1=0.343；总概率：0.441+0.343=0.784。参考答案：0.7849.若某随机变量X服从二项分布B(10,0.2)，则P(X=3)=______。解：P(X=3)=C(10,3)×0.2^3×(1-0.2)^7=120×0.008×0.8^7≈0.201。参考答案：0.20110.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行身高调查，随机抽取50名学生，身高数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,173,168,170,171,165,169,172,168,170,174,167,169,171,173,165,170,168,172,169,171,174,167,170。则该样本的方差为______。解：均值x̄=169，s^2=[(165-169)^2+(170-169)^2+...+(170-169)^2]/50=[(16+1+1+4+16+4+9+1+1+4+16+4+4+1+1+9+4+1+4+9+16+1+1+4+16+4+4+9+4+1+1)/50]=[150/50]=3。参考答案：3三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若某随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的取值范围为{0,1,2,...,n}。解：二项分布的取值范围是0到n，正确。参考答案：正确2.在北师大版高三数学第八章中，若某事件A的概率为P(A)=0.6，事件B的概率为P(B)=0.4，则事件A与事件B对立。解：对立事件的概率和为1，但0.6+0.4=1，故对立，正确。参考答案：正确3.若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P(X>μ)=0.5。解：正态分布关于均值对称，P(X>μ)=0.5，正确。参考答案：正确4.在北师大版高三数学第八章中，若某样本的方差为s^2=9，则该样本的标准差为3。解：标准差是方差的平方根，√9=3，正确。参考答案：正确5.若某事件A的概率为P(A)=0.7，事件B的概率为P(B)=0.5，且事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=0.7+0.5=1.2。解：概率值不能超过1，1.2错误，故原命题错误。参考答案：错误6.在北师大版高三数学第八章中，若某样本的中位数为169，则该样本中至少有一半的数据小于169。解：中位数是排序后中间位置的值，正确。参考答案：正确7.若某随机变量X服从二项分布B(10,0.1)，则E(X)=1，D(X)=0.9。解：E(X)=10×0.1=1，D(X)=10×0.1×(1-0.1)=0.9，正确。参考答案：正确8.在北师大版高三数学第八章中，若某样本的极差为10，则该样本中最大值与最小值之差为10。解：极差是最大值与最小值之差，正确。参考答案：正确9.若某事件A的概率为P(A)=0.4，事件B的概率为P(B)=0.6，且事件A与事件B对立，则P(A∩B)=0.24。解：对立事件的概率积为0，故P(A∩B)=0，错误。参考答案：错误10.在北师大版高三数学第八章中，若某样本的方差为s^2=16，则该样本的极差为4。解：方差与极差无直接关系，错误。参考答案：错误四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.在北师大版高三数学第八章中，若某随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，求参数n和p的值。解：（1）E(X)=np=6；（2）D(X)=np(1-p)=3；联立方程组：np=6np(1-p)=3代入np=6，得6(1-p)=3，解得p=0.5，再代入np=6，得n×0.5=6，解得n=12。参考答案：n=12，p=0.52.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行身高调查，随机抽取30名学生，身高数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,173,168,170,171,165,169,172,168,170,174,167,169,171,173,165,170,168,172,169,171,174,167,170。求该样本的均值和方差。解：（1）均值：x̄=(165+170+...+170)/30=169；（2）方差：s^2=[(165-169)^2+(170-169)^2+...+(170-169)^2]/30=[(16+1+1+4+16+4+9+1+1+4+16+4+4+1+1+9+4+1+4+9+16+1+1+4+16+4+4+9+4+1+1)/30]=[150/30]=5。参考答案：均值169，方差53.在北师大版高三数学第八章中，某篮球运动员每次投篮命中概率为0.7，则该运动员投篮3次至少命中2次的概率是多少？解：至少命中2次包括命中2次和命中3次两种情况。命中2次的概率：C(3,2)×0.7^2×(1-0.7)^1=3×0.49×0.3=0.441；命中3次的概率：C(3,3)×0.7^3×(1-0.7)^0=1×0.343×1=0.343；总概率：0.441+0.343=0.784。参考答案：0.7844.在北师大版高三数学第八章中，某公司招聘员工，考试分为笔试和面试两个环节，笔试通过率为0.7，面试通过率为0.6，两个环节均需通过才能被录用。若某应聘者通过笔试，则通过面试的概率为0.8，求该应聘者被录用的概率。解：P(录用)=P(笔试)×P(面试|笔试)=0.7×0.8=0.56。参考答案：0.56五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行身高调查，随机抽取50名学生，身高数据如下（单位：cm）：165,170,168,172,165,169,173,168,170,171,165,169,172,168,170,174,167,169,171,173,165,170,168,172,169,171,174,167,170。求该样本的均值、中位数、众数和方差。解：（1）均值：x̄=(165+170+...+170)/50=169；（2）中位数：排序后第25个数为169；（3）众数：170出现6次，为出现次数最多的数；（4）方差：s^2=[(165-169)^2+(170-169)^2+...+(170-169)^2]/50=[(16+1+1+4+16+4+9+1+1+4+16+4+4+1+1+9+4+1+4+9+16+1+1+4+16+4+4+9+4+1+1)/50]=[150/50]=3。参考答案：均值169，中位数169，众数170，方差32.在北师大版高三数学第八章中，某工厂生产的产品次品率为0.1，现随机抽取4件产品，求恰好有2件次品的概率。解：本题可视为二项分布B(4,0.1)的P(X=2)计算。P(X=2)=C(4,2)×0.1^2×(1-0.1)^2=6×0.01×0.81=0.0486。参考答案：0.04863.在北师大版高三数学第八章中，某班级进行数学成绩分析，随机抽取40名学生，成绩分布如下表：成绩分组|频数---|---60-70|570-80|1080-90|1590-100|10求该样本的均值和方差。解：（1）均值：x̄=(60×5+70×10+80×15+90×10)/40=80；（2）方差：s^2=[(60-80)^2×5+(70-80)^2×10+(80-80)^2×15+(90-80)^2×10]/40=[(400×5+100×10+0×15+100×10)/40]=[(2000+1000+0+1000)/40]=5000/40=125。参考答案：均值80，方差1254.在北师大版高三数学第八章中，某篮球运动员每次投篮命中概率为0.7，则该运动员投篮5次至少命中3次的概率是多少？解：至少命中3次包括命中3次、4次和5次三种情况。命中3次的概率：C(5,3)×0.7^3×(1-0.7)^2=10×0.343×0.09=0.3087；命中4次的概率：C(5,4)×0.7^4×(1-0.7)^1=5×0.2401×0.3=0.3603；命中5次的概率：C(5,5)×0.7^5×(1-0.7)^0=1×0.16807×1=0.16807；总概率：0.3087+0.3603+0.16807=0.83707。参考答案：0.83707【标准答案及解析】一、单选题1.A（解析：互斥事件不能同时发生，故P(A∩B)=0）2.B（解析：样本优秀率为15/50=0.3）3.A（解析：np=6，np(1-p)=3，解得n=12，p=0.5）4.B（解析：1-0.4^n>0.9，n=4时0.0256<0.1，满足条件）5.C（解析：P(X=1)=C(3,1)×0.1^1×0.9^2=0.243）6.A（解析：中位数为169，众数为170）7.C（解析：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)=0.7×0.8=0.56）8.无法解答（解析：题干数据与选项矛盾，需调整题干）9.无法解答（解析：题干数据与选项矛盾，需调整题干）10.无法解答（解析：题干数据与选项矛盾，需调整题干）二、填空题1.20（解析：E(X)=np=12，p=0.6，故n=12/0.6=20）