2024-2025学年陕西省汉中中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省汉中中学高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，复数z满足z⋅i=1+i，则z=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i2.已知角α终边与单位圆交于点P(35,−4A.sinα=−35 B.sinα=35 C.3.已知向量a，b不共线，λa+b与3a+2bA.32 B.2 C.6 D.4.已知ABCD−A1B1C1D1为正方体，E、F分别为AB、BA.30°

B.45°

C.60°

D.90°5.已知单位向量a，b满足(2a−b)⊥b，则a与A.π6 B.π3 C.π26.将函数y=sin(2x+π6)的图象向左平移A.y=sin(2x+π4) B.y=sin7.如图，已知球O是棱长为1

的正方体ABCD−A1B1C1D1A.66π

B.π3

C.π8.为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度AB，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m，在点C测得“使命塔”塔顶A的仰角为60°，则“使命塔”高AB=(

)A.30m B.20C.20D.20二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为(

)A.AC//截面PQMN

B.异面直线PM与BD所成的角为60°

C.AC⊥BD

D.BD⊥平面ACD10.已知向量a=(2,−3),b=(m−1,m)，则A.若a//b，则m=−35

B.若a⊥b，则m=−2

C.若|a|=|b|，则m=−2或311.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则A.ω=2

B.φ=−π6

C.f(x)在(π2,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，则|2a13.若cos(π4+x)=3514.如图，点D、E分别是直角三角形ABC的边AB、AC上的点，斜边AC与扇形的弧DE相切，已知AC=4，BC=2，则阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知θ∈(0,π2)，且cos(θ+π4)=35．

(1)求16.(本小题15分)

如图，在边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在DD1上.

(1)当E是DD1中点时，证明：BD117.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB=6，AP=5，∠BAD=60°．

(1)求证：BO⊥平面PAD；

(2)求证：平面PAC⊥平面POE．18.(本小题17分)

在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，且(2a−c)cosB−bcosC=0．

(1)求角B的值；

(2)若b=3，设角A的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f(x)的最大值．19.(本小题17分)

我们把由平面内夹角成π3的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，e1,e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2，则把实数对(x,y)叫作向量OP的“广义坐标”，记OP=(x,y).已知向量a,b的“广义坐标”分别为(2,1)，(−1,2)．

(1)求2a+b的“广义坐标”；

(2)求向量a与b

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由z⋅i=1+i，得z=1+ii=(1+i)(−i)−i22.【答案】D

【解析】解：设P(35,−45)，可得|OP|=r=925+1625=1，

所以sinα=yr=−43.【答案】A

【解析】解：由题意，设λa+b=t(3a+2b)，

又向量a，b不共线，

则有λ=3t1=2t，解得λ=324.【答案】B

【解析】解：如图，设正方体的棱长为1，取BD中点O，连结OE，OF，AD1，

∴OF/​/AD，EF/​/AD1，

又∵AD⊥AB，∴OF⊥AB，

∵AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴AB⊥AD1，

又∵EF//AD1，5.【答案】B

【解析】解：∵|a|=|b|=1，(2a−b)⊥b，

∴(2a−b)⋅b=2a⋅b−b2=2cos<a,b>−1=0，

∴6.【答案】B

【解析】解：将函数y=sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位长度后，

所得图象对应的函数解析式为y=sin(2x+7.【答案】C

【解析】解：根据题意知，平面ACD1是边长为2的正三角形，

且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，

故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，

则由图得，△ACD1内切圆的半径是22×tan30°=66，

8.【答案】B

【解析】解：在△BCD中，∠BCD=15°，∠BDC=135°，可得∠CBD=30°，

由正弦定理得：CDsin∠CBD=BCsin∠CDB，则20sin30∘=BCsin135∘，

可得：BC=40×22=202，

在直角△ABC中，9.【答案】AC

【解析】解：对于选项A：因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，所以PQ//AC，

因为PQ⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，所以AC/​/截面PQMN，故A正确；

对于选项B：因为点Q，M分别是棱BC，CD的中点，所以MQ/​/BD，

所以∠PMQ为异面直线PM与BD所成的角，

因为截面PQMN是正方形，所以∠PMQ=45°，

即异面直线PM与BD所成的角为45°，故B错误；

对于选项C：因为截面PQMN是正方形，所以MN⊥QM，

又因为点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，

所以MN//AC，QM/​/BD，所以AC⊥BD，故C正确；

对于选项D：若要使BD⊥平面ACD，则需要BD⊥AC，BD⊥DC，

但由题意知BD⊥DC不一定成立，故D错误．

故选：AC．

对于选项A：利用线面平行的判定定理即可判断出A的真假；对于选项B：结合题意可得∠PMQ为异面直线PM与BD所成的角，借助截面PQMN是正方形求解即可判断B的真假；对于选项C：结合题意利用MN//AC，QM/​/BD，并借助截面PQMN是正方形即可判断出C的真假；对于选项D：利用分析法并借助线面垂直的性质可得到BD⊥DC不一定成立，即可判断出D的真假．

本题考查线面平行的证法及线面所成的角的求法属于中档题．10.【答案】BC

【解析】解：向量a=(2,−3),b=(m−1,m)，

对于A，若a/​/b，有−3(m−1)=2m，可得m=35，故A错误；

对于B，若a⊥b，有a⋅b=2(m−1)−3m=−m−2=0，可得m=−2，故B正确；

对于C，由|a|=|b|，有(m−1)2+m2=13，解得m=−2或3，故C正确；

对于D，若m=12，结合向量a=(2,−3),b=(m−1,m)，

可得：b=(−1211.【答案】ACD

【解析】解：由题意得A=2，最小正周期T=4×(5π12−π6)=π=2πω，所以ω=2，故A正确；

则f(x)=2sin(2x+φ)，又f(x)的图象过点(π6,0)，所以2×π6+φ=2kπ(k∈Z)．

因为|φ|<π2，所以φ=−π3，故B错误；

f(x)=2sin(2x−π3)，令t=2x−π3，

12.【答案】10【解析】解：因为a=(1,0)，b=(1,1)，所以2a+b=(3,1)，

所以|2a+b13.【答案】−【解析】解：由π<x<74π，得5π4<x+π4<2π，

又因为cos(π4+x)=35，所以sin(π4+x)=−45，

14.【答案】2【解析】解：由题意可知，AB=42−22=23，

设扇形的半径为r，则r=2×234=3，

15.【答案】7210；

【解析】(1)因为θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,3π4)，

因为cos(θ+π4)=35，所以sin(θ+π4)=1−(35)2=45，

所以cosθ=cos[(θ+π4)−π4]=16.【答案】证明见解析；

24+83【解析】(1)如图，连结BD交AC于点O，因为E是DD1中点，

所以BD1/​/OE，

又因为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，

所以BD1//平面AEC．

(2)当E与D1重合时，三棱锥D−ACE即三棱锥D−ACD1，

则在边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，

△ACD1是边长为42的正三角形，17.【答案】证明见解析；

证明见解析．

【解析】证明：(1)∵底面ABCD是菱形，连接BO，BD，

∵∠BAD=60°，

∴△ABD是正三角形，∵PO⊥底面ABCD，BO⊂平面ABCD，

∴BO⊥PO，又∵O是AD的中点，∴BO⊥AD，

而PO∩AD=O，PO，AD⊂平面PAD，

∴BO⊥平面PAD；

(2)连接AC，由菱形ABCD，得AC⊥BD，由E是AB的中点，

得OE/​/BD，则AC⊥OE，

∴PO⊥底面ABCD，AC⊂底面ABC，

得AC⊥PO，

又∵PO∩OE=O，PO，OE⊂平面POE，

∴AC⊥平面POE，又∵AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面POE．

(1)根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定可得答案；

(2)利用线面垂直的性质、判定，结合面面垂直的判定可得答案．

本题考查线面与面面垂直的判定，属于基础题．18.【答案】(1)由(2a−c)cosB−bcosC=0，得(2sinA−sinC)cosB−cosBcosC=0．

化简：cosB=12，∴B=π3．

(2)由正弦定理asinA=csinC=332【解析】(1)由(2a−c)cosB−bcosC=0，利用正弦定理求得cosB=12，可得B=π3．

(2)由正弦定理求得a=2sinx，c=2sin(2π3−x)，化简函数y19.【答案】(3,4)；

2114；

(2,4)【解析】(1)根据题意，