2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第04讲 坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用（思维导图+知识串讲+2大考点+复习提升）（教师版）

第04讲坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点01平面直角坐标系建系的常见技巧

1、前言

坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长

度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。

2、技巧

①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；

②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。

知识点02极化恒等式

122

设a，b是平面内的两个向量，则有ab(ab)(ab)

4

1

222222

证明：(ab)ab2ab，①(ab)ab2ab，②

122

将两式相减可得ab(ab)(ab)，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．

4

①几何解释1（平行四边形模型）以AB，AD为一组邻边构造平行四边形ABCD，ABa，ADb，则

122122

ACab，BDba，由ab(ab)(ab)，得ABADACBD．

44

1

即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．

4

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由

122122122

ABADACBD变形为ABADACBD4AM4BM，得ABADAM2BM2，

444

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极

化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几

何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

【考点一：坐标法求式子的最值与范围】

一、单选题

1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）边长为2的正方形ABCD上有一动点P，则向量ABAP的最大值是

（）

A．1B．2C．22D．4

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，分P在正方形的四条边上的情况分别求解即可．

【详解】如图，分别以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)，

2

设P(x,y)0x2,0y2，则AB(2,0)，AP(x,y)，所以ABAP2x，

uuuruuur

当P在边AB或CD上时，0x2，所以0ABAP4，

当P在边BC上时，x2，所以ABAP4，

当P在AD边上时，x0，所以ABAP0，

所以ABAP的取值范围是0,4，所以向量ABAP的最大值是4．

故选：D.

2．（20-21高一下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则

DADBDADC的取值范围是（）

A．4,8B．8,24C．2,18D．4,20

【答案】B

【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运算再结合二次函数求出结果即可.

【详解】以BC中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则B2,0,C2,0,A0,23，

设Dx,0,2x2，

则DAx,23,DB2x,0,DC2x,0，

所以DADBDADC22x,2322x,234x28，

因为2x2，所以4x288,24，

所以DADBDADC的取值范围是8,24.

故选：B.

3

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算即得.

3．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，

以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的

勒洛三角形中，已知AB2，点P在弧AC上，且PBC30，则PAPC（）

A．643B．234C．2642D．436

【答案】A

【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积.

【详解】以B为原点，BC为x轴，点A在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有B0,0，C2,0，A1,3,P为弧AC上的点且PBC30，则P3,1，

PA13,31,PC23,1，

2

PAPC13233113133423643.

故选：A.

4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在VABC中，C90，AB3，AC1，若AC2BDCB，则CDCB

等于（）

A．7B．8C．12D．13

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，通过数量积的坐标运算即可求解.

【详解】如图，分别以CB,CA所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系.

过B作BE∥AC，且BEAC，连接CE，延长AB到F，使BFAB，

连接EF，则四边形BCEF为平行四边形，

BEBCBFAC.

又AC2BDCBBC2BD，

D为边BF的中点.

4

1

根据条件得，C0,0，B22,0，D32,，

2

1

CD32,，CB22,0，

2

CDCB12.

故选：C.

5．（2024·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，AB//CD，ADAB，AB3，ADCD2，M是CD

1

的中点，N在BC上，且BNBC，则cosBM,DN（）

3

3101010310

A．B．C．D．

10101010

【答案】A

【分析】解法一建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出BM，DN的坐标，最后利用向量的

夹角公式即可得解；解法二以AB，AD为基底，通过向量的线性运算用基底将BM，DN表示出来，再利

用向量的夹角公式即可得解．

【详解】解法一如图，建立平面直角坐标系，则B3,0，D0,2，M1,2，C2,2，

11282

∴BC1,2，BM2,2，∴BNBC,，∴N,，

33333

84

22

8433310

则DN,，∴cosBM,DN，

2210

332284

22

33

故选：A．

解法二设AB=a，ADb，则a3，b2，ab，

12

BMBAADDMADDMABbaaba，

33

5

11

DNDAABBNDAABBCDAABBAADDC

33

8282

ABADab，

9393

2

2

∴BMba22，

3

2

8245282

DNab，BMDNbaab8，

933393

BMDN8310

cosBM,DN

∴BMDN4510，

22

3

故选：A．

6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形A1A2A6的中心，

151

若，则点的纵坐标为（）

A1,A3

44

153153351351

A．B．C．D．

8888

【答案】C

【分析】据题意求出正六边形的半径，设出A3的坐标，再利用向量的数量积和半径列出方程组，求解即可.

151151

【详解】因为O0,0，A,，所以，

1OA1(,)

4444

15212

所以OAOA()()1，设A3(x,y)，则OA3(x,y)，

1144

根据正六边形的性质有：

21

OAOAOAx2y21，且OAOAOAOAcos，

313131332

1511

xy2351

所以442，整理得：16y4y110，解得：y，

228

xy1

6

351

根据题意y0，所以y.

8

故选：C.

7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形ABCD中，AB4，AD2，ABAD42，点P在

边CD上，则PAPB的最大值是（）

A．442B．452C．422D．432

【答案】A

【分析】根据ABAD42，求出DAB45，从而建系，将PAPB用函数表示出来，即可求出.

【详解】ABAD|AB||AD|cosDAB42,

2

cosDAB,

2

且在平行四边形ABCD中，0DAB180，DAB45.

以A为原点建坐标系，则A0,0,B4,0,D2,2

点P在边CD上，设Px,2,2x24,

PAx,2,PB4x,2，

2

PAPBx4x2x24x2x22，2x24，

所以2PAPB442.

故选：A

8．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，“六芒星”是由两个边长为6正三角形组成，中心重合于点O且三

组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则OBAP

的取值范围是（）

A．8,8B．6,6C．63,63D．4,43

【答案】B

7

【分析】如图，以O为原点，OB,OA分别为x,y轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点A,B的坐标，设

P(x,y)，然后表示出OBAP，再根据x的取值范围可求得结果.

【详解】如图，以O为原点，OB,OA分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

因为“六芒星”是由两个边长为6正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，

所以六边形BCDEFG为边长为2的正六边形，OA23，

所以OB2，

所以A0,23，B2,0

设P(x,y)，则APx,y23，OB2,0

所以OBAP2x，

因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），

所以3≤x≤3，所以62x6，

所以6OBAP6，即OBAP的取值范围是6,6.

故选：B.

9．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）在VABC中，ABAC42，当R时，|ABBC|的最小值为

ππ

4．若AMMB，APsin2ABcos2AC，其中,，则MP的最大值为（）

32

A．2B．22

C．25D．42

【答案】B

【分析】由|ABBC|的最小值为4可得VABC的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标

化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出MP的表达式，再由二次函数单调性即可求得

MPmax22.

【详解】如下图所示：

8

在直线BC上取一点D，使得BDBC，所以ABBCABBDAD，

当ADBC时，ABBC取得最小值为4，即AD4；

又ABAC42，所以可得VABC是以A为顶点的等腰直角三角形，

建立以A为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：

又AMMB可得M为AB的中点，

由APsin2ABcos2AC以及sin2cos21可得P在BC上，

可得A0,0,B0,42,C42,0,M0,22，

所以AB0,42,AC42,0，可得P42cos2,42sin2，

则MP42cos2,42sin222，

2ππ21

令cost，由,可得cost0,，

324

所以MP42t,2242t，

22

MP42t2242t64t232t8，

21

由二次函数y64t32t8在t0,上单调递减可得MP640320822.

4max

故选：B

【考点二：极化恒等式解决数量积的最值与范围问题】

一、单选题

1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b4，D为AC

的中点，且BD3，则BABC（）

A．3B．5C．6D．12

9

【答案】B

【分析】根据向量的数量积公式及运算律计算即可.

【详解】已知b4，所以AC4，

因为D为AC的中点，所以ADDC2

22

且BD3，则BABCBDDA·BDDCBDDA·BDDABDDA945.

故选：B.

2．（2024高一·全国·专题练习）已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆

O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则PMPN的最小值为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】D

2

【分析】根据PMPNPO4，结合正六边形的性质求解PO的范围即可.

【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，△OAB，△OBC，OCD，ODE，OEF，OFA均

是边长为4的等边三角形，

当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，PO取最大值4，

π

当点P为正六边形各边的中点时，PO取最小值，即PO4sin23，

min3

所以PO23,4．

2

所以PMPNPOOMPOONPOOMPOOMPO48,12，

即PMPN的最小值为8．

故选：D

3．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以

10

边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒

洛三角形中，已知AB4，P为弧AC（含端点）上的一点，则PB(BCBP)的范围为（）

A．0,8B．1,8C．0,43D．0,9

【答案】A

【分析】利用向量数量积的运算量，结合|PO|[2,23]即可求解.

【详解】取BC中点为O，连接PO，显然|PO|[2,23]，

所以PB(BCBP)PBPC(POOB)(POOC)(POOB)(POOB)

222

POOBPO4[0,8].

故选：A

4．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）VABC是边长为2的正三角形，P为VABC所在平面内任意一点，则

PAPBPC的最小值为（）

135

A．B．C．D．-2

222

【答案】B

【分析】设BC的中点为D,AD的中点为E，则PAPBPC2PAPD，PAPD可表示为

2223

PEEAPE，进而可得答案.

4

【详解】设BC的中点为D,AD的中点为E，

则有PBPC2PD，

则PAPBPC2PAPD，

11

22

而PAPDPEEAPEEDPEEAPEEAPEEA

32223

而EA，PEEAPE，

24

223

故当P与E重合时，有最小值，

PEEA4

3

所以PAPBPC的最小值为，

2

故选：B.

一、单选题

1．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB2,BC2，点E在边CD上运动（包含

端点），则AEBE的取值范围为（）

2777

A．,B．[22,4]C．22,D．,4

2222

【答案】D

2

27

【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据a的范围即可求出

AEa,2AEBEa

22

AEBE的范围.

【详解】

12

以A为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，

因为在矩形ABCD中，AB2,BC2，

则B2,0,C2,2,D0,2，

又点E在边CD上运动（包含端点），

设Ea,2，则0a2，

AEa,2,BEa2,2，

2

27

则2，

AEBEaa222a2a4a

22

2

277

因为，所以，

0a2a,4

222

故选：D.

2．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为2的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）

上一点，则APAB的取值范围是（）

22

A．2,2B．2,22C．2,12D．,2

22

【答案】C

【分析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运

算即可求解.

【详解】如图，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则

A(0,0),B(2,0)）．

设P(x,y)，则AP(x,y)．因为AB(2,0)，所以APAB2x．

13

由题意知，圆O的半径r1．因为点P在弧BC（包括端点）上，

2

所以2x1，所以APAB的取值范围是2,12．

2

故选：C

π

3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在边长为2的菱形ABCD中，BAD，点P是△BCD内一动点，

3

则APBC的取值范围为（）

A．2,6B．0,4C．1,3D．2,6

【答案】A

【分析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设P(x,y)，则可得APBC的表达式，根据x的范围，即可求

得答案.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，则A2,0,B1,3,C1,3,D0,0.

设P(x,y)，则1x1，故APBCx2,y2,02x22,6，

即APAB的取值范围是2,6.

故选：A

4．（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,,A8的边上，点M在边A1A2上，则A1MA1N

的取值范围是（）

14

A．422,22B．4,422

C．22,422D．22,4

【答案】C

、

【分析】以A1为原点，建立平面直角坐标系，表示出点MN的坐标，计算A1MA1N即可.

【详解】以A1为原点，A1A2为x轴，A1A6为y轴建立平面直角坐标系，

设Nx1,y1,Mx2,0，则A1Mx2,0,A1Nx1,y1，

所以A1MA1Nx1x2，

π

由于正八边形的每个外角都为；

4

则，

x20,2,x12,22

所以

A1MA1Nx1x222,422.

故选：C

5．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，ABBC，AB2，BC2AD.若点

P在线段BC上，则PC4PD的最小值是（）

79

A．B．4C．8D．

22

【答案】C

【分析】以B为原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.

【详解】如图示，以B为原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向建立平面直角坐标系.

15

则B(0,0),A0,2,C2d,0,Dd,2,Pp,00p2d，

所以PC2dp,0，PDdp,2.

所以PC4PD6d5p,8，

2

所以PC4PD6d5p828（当且仅当6d5p时等号成立）.

所以|PC4PD|的最小值是8.

故选：C

6．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）已知点P是菱形ABCD所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，

且PAPDPBPC的最小值为9，则该菱形的边长为（）

3

A．2B．C．2D．3

2

【答案】D

【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算

及基本不等式求解即可.

【详解】解：由ACBD，可建立如图所示平面直角坐标系，

设Ba,0,Da,0,A0,b,C0,b，Px,y，

则PAx,by,PDax,y,PBax,y,PCx,by，

所以PAPDa2x,b2y,PBPCa2x,b2y，

则PAPDPBPCa2xa2xb2yb2y

4x24y2a2b2

a2b2AB2，

故AB29，

16

所以AB3.

故选：D.

7．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，在VABC中，AC1，AB2，BAC60，BC，AB边上的两

条中线AD，CE相交于点P，则cosDPE（）

3212117

A．B．C．D．

147714

【答案】D

【分析】由题得VABC为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求AD与CE夹角的余弦即可.

【详解】因为AC1，AB2，BAC60，

由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcosBAC41221cos603，

得到BC3，又BC2AC2AB2，所以VABC为直角三角形，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则有A(1,0),B(0,3),C(0,0)，又D,E分别为BC,AB中点，

313313

所以D(0,),E(,)，故AD(1,),CE(,)，

222222

13

ADCE7

所以cosDPEcosAD,CE24，

ADCE31314

1

444

故选：D.

8．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则PAPB的最

大值为（）

1113

A．2B．C．3D．

44

17

【答案】C

21

【分析】借助AB中点Q和平方差公式得PAPBPQQAPQQAPQ，再探究PQ的最大值即

4

可.

【详解】分别取AB，DE中点Q，R，连接PQ，QR，

1

则由题QA，BD2DC2BC22DCBCcosBCD11211cos1203，即BD3，

2

11313

所以QDQB2BD23，

442

作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，

所以PAPBPQQAPQQBPQQAPQQA

222121

PQQAPQQD3，

44

所以PAPB的最大值为3.

故选：C.

9．（24-25高一上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若

图中正方形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，

则PAPB的最小值为（）

A．1B．3C．2D．4

【答案】B

【分析】取AB的中点E，连接PE，由向量的加法和数量积结合图形运算即可；

【详解】

18

取AB的中点E，连接PE（图略），则PAPBPEEAPEEB

222

PEPEPEEBEAPEEAEBPEEAPE1．

因为正方形