2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第04讲 坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用（思维导图+知识串讲+2大考点+复习提升）（学生版）

PAGE1第04讲坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点01平面直角坐标系建系的常见技巧1、前言坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。2、技巧①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。知识点02极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有证明：，①，②将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．【考点一：坐标法求式子的最值与范围】一、单选题1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．42．（20-21高一下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（

）

A． B． C． D．4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在中，，，，若，则等于（

）A．7 B．8 C．12 D．135．（2024·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．【考点二：极化恒等式解决数量积的最值与范围问题】一、单选题1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（

）A．3 B．5 C．6 D．122．（2024高一·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-2一、单选题1．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在边长为2的菱形中，，点是内一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（

）A． B．4 C．8 D．6．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（

）A． B． C．2 D．37．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（

）A． B． C． D．8．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．9．（24-25高一上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．2 D．410．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．11．（23-24高一下·江苏常州·开学考试）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所