2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第07讲 解三角形中角平分线、中线、垂线条件的应用（思维导图+知识串讲+3大考点+复习提升）（学生版）

第07讲解三角形中角平分线、中线、垂线条件的应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点01中线条件

如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.

1

②向量法：AD=ABAC,平方即可；

2

③余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos∠ADBcos∠ADC0

BD

注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③.

CD

1

知识点02角平分线条件

△ABC中，AD平分∠BAC.

D

①角平分线定理：

ACCD

SBDhABhD

证法1（等面积法）ABD=12，得

SACDCDh1ACh2ACCD

注：h1为A到BC的距离，h2为D到AB,AC的距离.

证法2（正弦定理）

DCCDD

如图，，,而sin∠1sin∠2,sin∠3sin∠4，整理得

sin∠3sin∠1sin∠4sin∠2ACCD

②等面积法

11A1A

SSSABACsinAABADsinACADsin

ABCABDADC22222

知识点03垂线条件

①等面积法：ADBCABACsin∠BAC

②ADABsin∠ABD=ACsin∠ACD

③acCOSBbCOSC

2

【考点一：角平分线条件】

一、单选题

1．（24-25高一下·福建福州·期中）在VABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，A的角平分线AD交BC边于

点D．若2bc2acosC，b2，c1，则BD（）

377

A．1B．C．D．

733

2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜VABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知

asinAbsinBcsinC3bsinBcosC，若CD是ACB的角平分线，且CDAC2，则cosACB（）

1725

A．B．C．D．

818318

二、解答题

3．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

sin2Acos2Bcos2C2sinBsinC.

(1)求角A的大小；

(2)若a3，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值.

4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且

sin2Asin2Bcos2CsinπAsinπB1.

(1)求C；

(2)若a1，b2，求VABC内切圆的半径；

(3)设D是边AB上一点，CD为角平分线且BD3AD，求cosB的值.

5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知VABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

3cbsinA3acosB．

(1)求角A的大小；

BC

(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．

AD

6．（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿

破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一

3

个等边三角形的顶点”.如图，VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsinAacosBc，以AB，

3

BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.

3

(1)求角A；

(2)若a3，且DEF的周长为9，求ADABAFAC；

93

(3)若DEF的面积为，求VABC的角平分线AM的取值范围.

4

【考点二：中线条件】

一、单选题

1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．其中a7,b1,c3，

则BC边上的中线AD的长为（）

133

A．B．C．13D．3

22

2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a3,BC边上中线AD长

为1，则bc最大值为（）

77

A．B．C．3D．23

42

3．（2025高一·全国·专题练习）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若

casinAcsinCbsinB,b3，则AC边上中线长度的最大值为（）

32433342

A．B．C．D．

2323

4．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B60，b2，

则边AC上中线BD的取值范围为（）

2121

A．,3B．,3

33

C．1,3D．1,3

二、解答题

5．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别为

2223

a,b,c,sinAsinBsinCsinAsinBsinC.

3

4

3c2a2b2

(1)证明：sinC；

2ab

(2)求C；

7

(3)若c19，边AB上的中线CD，求边a,b的长.

2

6．（2025·浙江嘉兴·二模）在锐角VABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知

a2ccosA2bccosB．

a

(1)求；

b

10

(2)若c2，AD2DB，CD，求VABC的面积．

3

【考点三：垂线条件】

一、单选题

1．（23-24高一下·浙江·期中）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC上的中线、高线、

角平分线长分别是ma，ha，la，则下列结论中错．误．的是（）

A

12222bccos

A．ma2bcaB．2

2la

bc

2

(bc)2a2a2(bc)22a2b2c2a2b2c4

C．D．

haS

2a△ABC4

二、填空题

2．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在VABC中，ABC120，BA2，BC1，BD为VABC的一

条高线，则BD．

三、解答题

3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）在VABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c，且2bcosAacosCccosA.

(1)求A；

(2)若a3，求BC边上的高线AD的最大值.

4．（2025高一·全国·专题练习）记斜三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

ccosBa2acosC.

b

(1)求；

a

(2)过点A作AC的垂线，与BC的延长线相交于点D，若c7，且CD4a，求AD.

5

5．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知VABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足b2，且

2sinAsinBc

．

sin2Bb

(1)求C；

(2)若点M在边AB上，CM1，且满足，求边长AB；

请在以下三个条件：

①CM为VABC的一条中线；②CM为VABC的一条角平分线；③CM为VABC的一条高线；

其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

一、单选题

2π

1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在VABC中，BAC，BAC的角平分线AD交BC边于点D，

3

△ABD的面积是△ADC的面积的2倍，则tanB（）

533323

A．B．C．D．

3253

二、多选题

2．（24-25高一下·四川成都·期中）VABC中，AB7,AC5,BC3，点D在线段AB上，下列结论正确的

是（）

1915

A．若CD是中线，则CDB．若CD是高，则CD

214

15

C．若CD是角平分线，则CDD．若D是线段AB的三等分点，则CD4

8

三、填空题

3．（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为

π

2c，A，则cosC=．

4

4．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，中线AM长为m，角平

分线AD的长为n，则19m3n

四、解答题

5．（2025·河北·模拟预测）在VABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a7,A60.

(1)若2cb2，求sinC；

6

123

(2)若BC边上的高h，求VABC的周长.

7

6．（24-25高一下·吉林·期中）在VABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c2b，2sinA3sinB．

(1)求cosC；

37

(2)若VABC的面积为，求AB边上的中线CD的长．

2

7．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数fx3sinxcosxcos2x1（0），最小正周期是π，

在锐角VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

(1)求fx的单调递减区间；

3

(2)若fA，a2，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围．

2

8．（24-25高一下·福建莆田·期中）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，三个内角满足

3

cos(AB)cosC且C为锐角，AB23，

tanAtanB

(1)求角C的大小；

(2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．

条件①：CD为C的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线．

3sinAsinB3c2b

9．（23-24高一下·四川成都·期中）已知VABC的内角A,B,C的对边为a,b,c，且.

sinCab

(1)求sinA;

16

(2)