2024-2025学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos19π6=A.−32 B.−12 2.在△ABC中，设AB=a，AC=b，若点D满足DC=3A.54a−14b B.33.将函数y=sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为A.y=sin⁡(3x−π4) B.y=sin⁡(3x−π12)4.已知向量a=(1,3)，b=(−1,2)，则b在a上的投影向量为(

)A.b B.−12b C.15.若直线l的一个方向向量为u=(0,1,−3)，平面α的一个法向量为n=(2,0,1)A.π6 B.π4 C.π36.用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形O′A′B′C′，其中O′A′=3，O′C′=32，B′C′=2，则原四边形OABC以OC所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为(

)A.28π3 B.19πC.38π3 D.7.在△ABC中，已知2sinAsinC(cosB−1)+sin2B=0，则△ABC一定是A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形8.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD−A1B1C1D1，其中底面ABCD是正方形，CC1=CD=4A.510 B.C.55 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+π3A.f(x)的最小正周期为π B.f(x+π3)是奇函数

C.f(x)的图象关于直线x=−5π12对称 10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是(

)A.c=acosB+bcosA

B.M为△ABC的外心⇔|MA|=|MB|=|MC|=a2sinA

C.若AM=23AB+1311.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱AA1上的动点，F是棱AB上的动点，过点A1A.存在点E，使得B1D⊥平面BED1

B.三棱锥B1−BED1的体积是定值

C.截面α的形状为梯形

D.当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点12.已知向量a=(2,2)，b=(1,−2)，c=(k,1)，若(2a+13.已知α∈(0,π2)，2sin(2α)=cos(2α)+114.如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=BD=2，AB⊥BD，将△BCD沿直线BD翻折至△BPD，使得AP=AD，则三棱锥P−ABD外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC+cosA=sin2B+sin2C−sin2A.

(1)求A；

(2)若a=216.(本小题15分)

如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，BC=2BB1=2B1C1=417.(本小题15分)

如图，在长方形ABCD中，AD=2，AB=4，M是边CD的中点，将△ADM沿直线AM翻折至△APM，使得∠PMC=120°，连接PB，PC，得到四棱锥P−ABCM．

(1)求证：平面PAM⊥平面ABCM；

(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知向量a=(sinx,cosx)，b=(3cosx,−cosx)，且f(x)=a⋅b+12．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若f(α)=45，且α∈(π6,π3)19.(本小题17分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0<α<π)角的两条射线，e1，e2分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α−仿射坐标系，在α−仿射坐标系中，若OP=xe1+ye2，则记OP=(x,y)．

(1)若cosα=−13，在α−仿射坐标系中，a=(2,−1)，b=(−1,1)，求|a−b|；

(2)在α−仿射坐标系中，若a=(−1,3)，且a与e1的夹角为π3，求α；

(3)如图，在π3−仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox

参考答案1.A

2.D

3.A

4.C

5.A

6.D

7.B

8.A

9.ABC

10.ABD

11.BD

12.5213.3

14.28π315.(1)因为cosBcosC+cosA=sin2B+sin2C−sin2A，

所以sin2B+sin2C−sin2A=cosBcosC−cos(B+C)=sinBsinC，

由正弦定理得b2+c2−a2=bc，

所以cosA=b2+16.(1)证明：连接BD交AC于点E，连接ED1，AD1，

由正四棱台的性质，可得BD//B1D1，

又BC=2B1C1，所以BD=2B1D1=2BE，即BE=B1D1，

所以BED1B1是平行四边形，

所以BB1//ED1，BB1=ED1，

又BB1⊄平面ACD1，ED1⊂平面ACD1，所以BB1//平面ACD1；

(2)由(1)BB1//平面ACD1，

可得三棱锥B1−ACD1的体积等于三棱锥B−ACD1的体积，

即为三棱锥D1−ABC的体积，

正四棱台ABCD−A1B1C1D117.(1)证明：取AM中点O，连接PO，OC，如图，

由已知PA=PM，PA⊥PM，因此PO⊥AM，且PO=AO=OM=2，

△MOC中，OC2=OM2+MC2−2OM⋅MCcos135°=2+4−2×2×2×(−22)=10，

又∠PMC=120°，因此PC2=PM2+MC2−2PM⋅MCcos120°=12，

因此PO2+OC2=PC2，因此PO⊥OC，

又OC∩AM=O，OC，AM⊂平面ABCM，

因此PO⊥平面ABCM，而PO⊂平面PAM，

因此平面PAM⊥平面ABCM；

(2)取BC中点N，作QN//PO，且QN=PO，连接PQ，

则PQNO是平行四边形，因此PQ//ON，O是AM中点，则ON//AB，因此PQ//AB，

因为P∈平面PAB，AB⊂平面PAB，因此PQ⊂平面PAB，即Q∈平面PAB，

因此QB⊂平面PAB，

由(1)知QN⊥平面ABCM，BC⊂平面ABCM，因此QN⊥BC，同理QN⊥AB，

因此QB=QC=CN2+QN2=12+(2)2=3，

作CH⊥QB于点H，连接PH，

因为AB⊥BC，BC∩QN=N，BC，QN⊂平面QBC，

因此AB⊥18.(1)因为a=(sinx,cosx)，b=(3cosx,−cosx)，

所以f(x)=a⋅b+12=3sinxcosx−cos2x+12=32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，

由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)得−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间是[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．

(2)若f(α)=45=sin(2α−π6)，

因为α∈(π6,π319.(1)在α−仿射坐标系中，若OP=xe1+ye2，则记OP=(x,y)，由cosα=−13，则sina=223，

如图，以O为原点构造直角坐标系xOy′，

在直角坐标系xOy′中，当cosα=−13时，记e1=(1,0)，则e2=(−13,223)，

在α−仿射坐标系中，a=(2,−1)，b=(−