2024-2025学年甘肃省武威六中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省武威六中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2−2i，则|z|=(

)A.2 B.22 C.4 2.若sinα=53，则cos2α=A.−49 B.49 C.−3.要得到函数y=cos(π3x+πA.向左平移12个单位长度 B.向左平移π6个单位长度

C.向右平移12个单位长度 D.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(−x)+f(x)+2a=1，则a=(

)A.−12 B.12 C.05.“x2−2x≤0”是“0<x<2”的(

)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若复数z=a+bi(a,b∈R)是关于x的一元二次方程x2+4x+m=0(m∈R)的一个根，则复数i1+ai在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.在△ABC中，BC=3BD,E是线段AD的中点，过点E的直线与线段AB，AC分别交于点M，N，若AM=3A.34 B.35 C.388.甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为23,35,1A.15 B.45 C.1330二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.B1D⊥AD1 B.B1D⊥平面ACD110.一分钟跳绳是某省中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是(

)A.小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5

B.小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183

C.小明这两个月的30次训练成绩的方差为6

D.小明这两个月的30次训练成绩的方差为2411.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A+sin2C+sinAsinC−sin2B=0，a=c，D，E是分别线段AC上的两点(A.B=2π3 B.若∠ABD=π4，则λ=3−2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,−3)，b=(m,3)，若a⊥b，则m=13.已知a>0，b>0，且ab=12，则1a14.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知0<α<π2，且5sin2α=4cosα．

(1)求tanα的值；

(2)求16.(本小题15分)

某中学组织了一次文学常识知识竞赛(满分：100分)，从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数；

(3)现从被抽取的竞赛成绩在[50,70)内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是等边三角形，四边形ABCD是正方形，PC=2AB．

(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD．

(2)求平面PCD与平面ABCD18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且abcosC−accosB=bccosA．

(1)证明：a2+b2=3c2．

(2)求cosC的取值范围．

(3)19.(本小题17分)

定义：两个多面体M1，M2的重合度K=V公共V1+V2−V公共，其中V公共是多面体M1，M2的重合部分的体积，V1，V2分别是多面体M1，M2的体积.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是棱BB1，CC1上的点(不包含端点)，且BD=CE，延长AD，AE，分别交A1B1，A1C1的延长线于点F，G．

(1)

参考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.A

6.B

7.D

8.C

9.AB

10.BD

11.ACD

12.9

13.8

14.8π

15.(1)因为5sin2α=4cosα，所以25sinαcosα=4cosα．

因为0<α<π2，所以5sinα=2，所以sinα=255．

所以cosα=1−sin2α=5516.解：(1)根据频率和乘组距为1可知：10(0.01+a+0.025+0.035+a)=1，解得a=0.015；

(2)[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]对应的频率依次为：

0.1，0.15，0.25，0.35，0.15，

第60百分位数累计频率为0.6，在[80,90)之间，

0.6−0.1−0.15−0.25=0.1，

因此估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数为：80+0.10.35×10≈83；

(3)[50,60)，[60,70)频率之比为2：3，

[50,60)抽2人，[60,70)抽3人，

设[50,60)抽中A，B两人，[60,70)抽中C，D，E三人，

AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，

2人恰好在同一组的有：AB，CD，CE，DE，共4种，

因此2人恰好在同一组的概率为：17.(1)证明：设PC=2=2AB，

因此AB=1，即底面正方形边长是1，等边三角形△PAB的边长是1，

由PC=2,PB=BC=1，即PC2=PB2+BC2，因此BC⊥PB，显然BC⊥AB，

又PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，因此BC⊥平面PAB，

又BC⊂平面ABCD，因此平面PAB⊥平面ABCD．

(2)

作PE⊥AB垂足为E，作EF⊥CD，垂足为F，连接PF，

平面PAB⊥平面ABCD，PE⊥AB，PE⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，

于是PE⊥平面ABCD，由CD⊂平面ABCD，因此PE⊥CD，

又PE∩EF=E，PE，EF⊂平面PEF，因此CD⊥平面PEF，

又PF⊂平面PEF，因此CD⊥PF，又EF⊥CD18.(1)证明：因为abcosC−accosB=bccosA，所以ab⋅a2+b2−c22ab−ac⋅a2+c2−b22ac=bcb2+c2−a22bc，

即(a2+b2−c2)−(a2+c2−b2)=b2+c2−a2，

所以a2+b2=3c2；

(2)由余弦定理可得cosC=a219.(1)设△A1B1C1的面积为S，三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，则三棱柱ABC−A1B1C1的体积V1=Sℎ．

①作DH//AB，交AA1于点H，连接EH，

因为DH⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DH//平面ABC，

因为BD//CE，且BD=CE，因此BC//DE，

又DE⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，因此DE//平面ABC，

又DH∩DE=D，因此平面DEH//平面ABC，

因为BD=12BB1，因此H为棱AA1的中点，

则三棱柱HDE−A1B1C1的体积VHDE−A1B1C1=12V1=9，三棱锥A−DEH的体积VA−DEH=16V1=3．

故三棱柱ABC−A1B1C1与三棱锥A−A1FG重合部分的体积V公共=VHDE−A1B1C1+VA−DEH=9+3=12．

②因为DH//A1B1，因此