专题2.2一次函数（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册（原卷版）

专题2.2一次函数教学目标1.理解一次函数的概念，能根据实际问题中的相等关系得到一次函数解析式。2.理解一次函数的图象是一条直线，能用描点法画出一次函数的图象。3.掌握一次函数的性质，理解k，b的值与一次函数图象位置的关系。4.会用待定系数法求一次函数的解析式。5.会利用一次函数、正比例函数的相关知识解决实际问题。教学重难点教学重点:一次函数相关概念;图象与性质;待定系数法;实际应用方程与函数关系.教学难点:一次函数概念理解;图象性质应用;实际问题建模;数形结合思想.知识点01一次函数的概念A．4 B．3 C．2 D．12．（2223八年级上·安徽淮北·期中）下列函数是正比例函数的是（

）知识点02正比例函数的图象与性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．必过点（0,0）、（1，k）.当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．知识点03一次函数的图象与性质1.一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．2.一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．3.一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．A． B．C． D．知识点04确定一次函数的表达式【即学即练】已知一次函数的图象经过M（0，2），N（1，3）两点，求此一次函数的解析式．知识点05一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．【即学即练】（2425八年级上·安徽淮北·期中）【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知，两店都以30元/千克的价格销售同一种烘糕，且同时做优惠活动：店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售；店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠．在活动期间，李阿姨购买千克烘糕，，店所需的费用分别为，，与的函数图象如图所示，回答下列问题：(1)分别求出、与的函数关系式；(2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少．知识点06一次函数与一元一次方程的关系任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.从“数”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值从“形”上看：方程ax+b=0(a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.【即学即练】（2223八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数y＝﹣x+2．(1)求该直线与坐标轴的交点坐标；(2)画出一次函数的图象；(3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为知识点07一次函数与一元一次不等式的关系一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.题型01利用一次函数、正比例函数的概念求字母的值(1)当，为何值时，此函数是一次函数？(2)当，为何值时，此函数是正比例函数？A． B．1 C． D．2题型02函数图象与坐标轴的交点A．2 B．3 C．4 D．5题型03k、b的符号与函数图象的关系A． B． C． D．A． B．C． D．A． B．C． D．A． B．C． D．A． B．C． D．A． B．C． D．题型04利用正比例函数及一次函数的性质解题（1）y随x的增大而；（1）此函数恒过定点；题型05用待定系数法确定一次函数的表达式(1)求此一次函数的表达式；【例52】（根据一次函数的图象确定一次函数表达式）（2425八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线经过，两点，求直线的表达式．(1)若它的图象经过第一、三象限，求k的取值范围；(1)求这个一次函数的表达式；【变式52】如图，八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为．题型06一次函数的应用【例61】（用表格叙述函数关系，用一次函数解决实际问题）（2425八年级上·安徽阜阳·期末）在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．(1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；(2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用．(1)求出与之间的函数关系式；(2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？(3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？【变式61】（2425八年级上·安徽滁州·期末）某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示．甲种乙种进价/（元/本）35售价/（元/本）4.57(1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本；(2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？(3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由．【变式62】（2425八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）．用水量（立方米）收费（元）不超过10立方米每立方米2元超过10立方米超过的部分每立方米3元(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；(2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？(3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？(1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义；(2)求，关于x的函数表达式；②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？【变式64】（2425八年级上·安徽合肥·期中）某网店在30天内销售一种产品．图1是该产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．（注：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．）(1)第18天的日销售量为______件．(2)求第15天销售一件产品的利润是多少元？(3)求第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多多少元？题型07两个一次函数图象的问题【例7】（2425八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式；(2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案）【变式71】（2425八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店．图2是小明步行时离学校的路程（米）与行走时间（分）之间的函数关系的图象．(1)小明家到学校的距离为_____米，图中的值是_____；(2)求线段所表示的与之间的函数表达式；(3)经过多少分时，小明距离学校100米？(1)在目前电量为的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用h．(3)已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时．若该汽车目前电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶，接着用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求a的值．题型08一次函数与几何图形的综合(1)求一次函数的解析式；(1)求直线的解析式；(1)求和的值；(1)点D坐标为；(2)线段由线段经过怎样平移得到？(1)求直线的函数表达式：题型09一次函数与一元一次不等式组的综合【例92】（2425八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．(1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？(1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式．(3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？【变式93】（2425八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球．品名厂家批发价元/个商场零售价元/个篮球120145足球100120(1)求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；题型10一次函数的规律探究问题(1)求直线的函数表达式；(2)直接写出点、的坐标；(3)猜想点的坐标为______．

一、选择题A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限5．（2425八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（）A． B． C． D．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限A．B．C． D．二、填空题14．（2324八年级上·安徽宿州·期中）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则W与s之间的关系式是：．三、解答题16．（2425八年级上·安徽安庆·期中）甲乙两城相距150千米，一辆汽车从甲城去乙城，在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．求y与x之间的函数表达式．

(1)求关于的函数解析式；(1)求这个函数的解析式；(1)求出这个一次函数的表达式；(2)画出该函数的图象．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)求两种品牌共享单车收费相差元时的值．22．（2324八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．(1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少