【高考模拟】浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷（含解析）

浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=x∈Z|x2A．−1,0,1,2 B．0,1,2 C．1,2 D．−1,02．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2A．y=cosx B．y=sinx C．3．已知向量a，b满足a=2，a⋅2A．3 B．4 C．6 D．74．设z=1+i1−i−2iA．0 B．12 C．1 D．5．已知数列an中，a2=1，记Sn为an的前nA．2023 B．2024 C．2025 D．20266．已知点Ma,0，N2,3到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则A．−2,0 B．−2,6 C．0,6 D．2,67．一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（）A．180 B．220 C．260 D．3008．已知函数fx=x−ax−b2，其中a<b，5为fx的极小值点.若A．−4,5 B．−4,5 C．−4,114 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下面说法正确的是（）A．若数据2x1，2x2，…，2x16的方差为8，则数据B．若a1C．已知X是随机变量，则ED．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于110．国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以−1，0，1为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数akak−1⋯a0.b1b2⋯bt3对应的十进制数为aA．10F1B．101010C．若n=0.b1b2⋯D．存在唯一的a1,a11．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD1=2，BC=CCA．存在点F，使得A1F//B．存在点F，使得平面AD1C．不存在点F，使得DD．不存在点F，使得四棱锥F−CDD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．(x2−13．在△ABC中，sinA=8sinBsinC，14．关于x的方程ex+bx=2（b>0且b≠1）有唯一实数解，其中e四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=22.（1）若Q是A1N的中点，证明：PQ//平面（2）求A1P与平面16．在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数.（1）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（2）设X为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2）.求随机变量X的分布列及其数学期望EX17．已知函数fx（1）当a=1时，讨论fx（2）当x≥0时，fx≥0恒成立，求（3）求证：当n∈N∗时，18．已知椭圆E:x2m+2+y2=1（1）求椭圆E的方程；（2）若过定点0,2的直线l交椭圆E于点A，B，设点Q0,12，直线AP与直线BQ交于直线y=19．设n维向量a=x1,x（1）当n=2时，若c=y2,y1且x1（2）已知n∈N∗，记Mn={a⋅b（ⅰ）求M3，M（ⅱ）若n≥4，求Mn.（提示：1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：不等式x2−x−2=x−2x+1>0，解得x<−1或x>2，

即集合A={x∈故答案为：A.【分析】解一元二次不等式求得集合A，再利用集合的补集运算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、函数y=cosx的最小正周期为B、函数y=sinx的最小正周期为π，且在区间π2,π上单调递减，故B符合；

C、函数y=tanx的最小正周期为π，且在π2故答案为：B.【分析】根据三角函数的性质逐项判断函数的最小正周期、区间单调性判断即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：a=2，a⋅2则a⋅故答案为：D.

【分析】由题意，利用向量数量积的运算求得a⋅b=14．【答案】C【解析】【解答】解：z=1+i1−i−2i=故答案为：C.【分析】根据复数代数形式的除法、减法运算法则，化简复数为z=−i，再求z即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：数列an中，Sn为an的前n项和，满足2Sn=nan①①-②可得2an=nan因为a2=1，所以故答案为：B.【分析】利用an与Sn的关系，推得an6．【答案】B【解析】【解答】解：易知以Ma,0为圆心，2为半径的圆为(x−a)以N2,3为圆心，3为半径的圆为(x−2)由题意可知：两圆相交，因为|MN|=(2−a)2+9，所以1<|MN|<5，

则1<(2−a)2+9<5，整理可得1<(2−a)2+9<25，即故答案为：B.【分析】由题意可知：以Ma,0，N2,3为圆心的圆分别为(x−a)27．【答案】C【解析】【解答】解：若截面为等腰直角三角形，腰长为a，如图所示：则12a2若截面为直角梯形，上底长为b，如图所示：则12×(2b+8)×8=400此时墨水与墨水瓶接触部分的面积S=2×40+1×10+9×10+8×10=260cm故答案为：C.【分析】分情况讨论截面的形状，由题意结合棱柱的体积公式求截面相关边长，再求墨水与墨水瓶接触部分的面积即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：函数fx=x−ax−b2因为a<b，所以2a+b3令f'x>0，解得x∈(−令f'x<0，解得x∈(则极小值点为x=b=5，极大值点为x=2a+bf2a+b且f4b−a所以只需a<2a+b3<a+3≤则−4<a≤114，即a的取值范围为故答案为：D.【分析】求函数的定义域，再求导得f'x=3(x−b)(x−2a+b3)，结合9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、数据2x1，2x2，…，2x16的方差为8，根据方差的性质可知：数据x1B、数列{an}为等差数列，若正整数m+k=p+q若正整数m+k=2p，则am+a结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数为a1C、随机变量X的方差D(X)≥0，且D(X)=E(X2)−[E(X)]2D、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误.故答案为：BC.【分析】利用方差的性质即可判断A；根据等差数列的性质及中位数定义即可判断B；根据D(X)=E(X10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、10F13B、1010103101013F0F0F3C、n=0×3因为bi若全取1时，nmax若全取−1时，nmin由m∈N∗，则1−3−m∈(0,1)D、1a1b1=27(a由a1,a2,要使1a4a所以a4−b4=a2此时110103故答案为：ACD.【分析】根据新定义即可判断A、B；

由n=0×30+b1×3−1+11．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、连接A1D交AD1于点M，

则M,E当F与C重合时，有ME//A1C因ME⊂平面AD1E，A1C⊄平面AD1E，故B、因AD12=AD2+DD1由AD∩CD=D且都在平面ABCD内，故DD1⊥如下图所示，

在平面ABCD内过D作Dx⊥CD，建立空间直角坐标系D−xyz，则A(32,−12,0)，B(3AE=(−32设平面AD1E则m⋅AE=−32设CF=λCB=λ(32设平面D1EF的一个法向量为则n⋅EF=32若平面AD1E⊥平面D1EF所以存在点F，使得平面AD1E⊥C、同B分析，可得D1F=(所以(32λ)所以λ2−2λ+5=10−210所以39λ2−52λ+4=0D、假设存在球与平面CDD1C1、平面CDF、平面D1如下左视图，

则GF=32x，CC1=1俯视图角度，球心O在下底面投影为△FCD的内心，则r2要使四棱锥F−CDD1C1有内切球，则所以32x3所以3−1故答案为：ABD.【分析】当F与C重合时，应用线面平行的判定定理判断A；构建空间直角坐标系，求出平面AD1E12．【答案】15【解析】【解答】通项公式Tr+1=∁6r（x2）6﹣r(−1x)令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展开式中的常数项=∁【分析】由已知利用通项公式解得r＝4，即可得出展开式中的常数项.13．【答案】9【解析】【解答】解：在△ABC中，sinA=8sinBsinC①，cosA=8cosB=−8cos(π−A)=8cosA，则故答案为：9.【分析】由题意，逆用两角和的余弦公式、三角形内角的性质整理得sinA=9cosA14．【答案】b>1或b=【解析】【解答】解：令f(x)=ex+bx，显然f(0)=2f'(x)=ex+当b>1，即lnb>0，则f'(x)>0当0<b<1时f'(x)=bx[(ex∈(−∞,x0)时，fx∈(x0,+∞)时，f且f(x)min=f(x0当x0=0时，当x0>0时，f(x0)<f(0)=2当x0<0时，f(x0)<f(0)=2综上，b>1或b=1故答案为：b>1或b=1【分析】由题意，构造函数f(x)=ex+bx，易知x=0是方程ex+15．【答案】（1）证明：以A坐标原点，建立空间直角坐标系A−xyz，如图所示：则A1(0,0,22),B(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,2,22),C1(2,0,22),N(1,1,22),P(1,1,2),Q(12,12,22)，（2）解：由（1）得A1P=(1,1,−2)，设直线A1P与平面A1BC所成角为θ，

则sin【解析】【分析】（1）以A坐标原点，建立空间直角坐标系A−xyz，利用空间向量法求得n⋅PQ=0，即可证明PQ//（2）由（1）中的坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值即可.（1）由题意，以A原点，AC,AB,AA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系所以A1所以A1设平面A1BC的法向量n=(x,y,z)令z=1，则n=(故n⋅PQ=0，且PQ⊄平面A1BC（2）由（1）得A1P=(1,1,−2)，若直线A所以sinθ=|16．【答案】（1）解：记事件A为选取的3个数中恰有1个是偶数，

从7个自然数中任选三个数，有C73=35种取法；恰有一个偶数的情况有C42（2）解：由题意可知：随机变量X的可能值为0,1,2，

X=2时，{1,2,3}、{2,3,4}、{3,4,5}、{4,5,6}、{5,6,7}共有5种，

X=0时，{1,3,5}、{1,3,6}、{1,3,7}、{1,4,6}、{1,4,7}、{1,5,7}、{2,4,6}、{2,4,7}、{2,5,7}、{3,5,7}共有10种，

X=1时，有35−5−10=20种，

则P(X=0)=1035=27，P(X=1)=20X012P241E(X)=0×2【解析】【分析】（1）利用组合数求任选三个、恰有一个偶数的选法数，再根据古典概型的概率公式求解即可；（2）由题意可得：随机变量X的可能值为0,1,2，求出对应概率写出分布列，再求期望即可.（1）从7个自然数中任选三个有C73=35所以这3个数中恰有1个是偶数的概率1835（2）由题设，X的可能值为0,1,2，X=2有{1,2,3}、{2,3,4}、{3,4,5}、{4,5,6}、{5,6,7}共有5种，X=0有{1,3,5}、{1,3,6}、{1,3,7}、{1,4,6}、{1,4,7}、{1,5,7}、{2,4,6}、{2,4,7}、{2,5,7}、{3,5,7}共有10种，X=1有35−5−10=20种，所以P(X=0)=1035=27X的分布列如下，X012P241E(X)=0×217．【答案】（1）解：当a=1时，函数fx=lnx+1+x2−x定义域为−1，+∞，

f'x=1x+1+2x−1=x(2x+1)x+1，令f'x=0，解得x=0或x=−12，

当−1<x<−12时，f'x（2）解：函数fx=lnx+1+ax2−xa∈R定义域为−1，+∞，f'x=1x+1+2ax−1，

令g(x)=f'x，则g'(x)=−1(x+1)2+2a，

当x≥0时，fx≥0恒成立，且f(0)=f'0（3）证明：由（2）取a=12，在(0,+∞)上fx=lnx+1+x22−x>0，

令x=【解析】【分析】（1）将a=1代入，求定义域，再求导，利用导数研究函数的区间单调性即可；（2）应用导数探讨x≥0时，fx≥0恒成立有（3）根据（2）的结论，令x=1k，k∈N（1）由题设fx=lnx+1+当−1<x<−12，f'x>0当−12<x<0，f'x当x>0，f'x>0，即f（2）由题设f'x=1x+1对x≥0时，fx≥0恒成立，且f(0)=f'0另一方面，a≥12时，所以g(x)=f'x在[0,+所以fx在[0,+∞)综上，a≥1（3）由（2）取a=12，在(0,+∞令x=1k，k∈N∗，则所以k=1n2[ln18．【答案】（1）解：设点C(x,y)为椭圆上一点，满足x2=(m+2)(1−y2)，

点P0,−1，则CP2=x2+(y+1)2=−(1+m)y2+2y+(3+m)，

设fy=−(1+m)y2+2y+(3+m)，（2）解：由题意，设直线AB:y=kx+2，A(x由对称性，不妨设k<0，此时x1>x2，直线AP和BQ的斜率分别为k1,k2，

联立方程组y=kx+2x24+y2=1，整理得(4k2+1)x2+16kx+12=0，

则Δ=156k2−48(k2+1)=64k2−48>0，解得k2>34，

由韦达定理可得：x1+x2=−16k4k2+1,x1x2=124k2+1，

又由直线AP:y=k1x−1和BQ:y=k2x+12，

联立方程组y=k1x−1【解析】【分析】（1）设点C(x,y)为椭圆上一点，根据两点间距离公式可得：CP2=−(1+m)y2+2y+(3+m)，设fy=−(1+m)（2）由题意，设直线AB:y=kx+2，直线AP和BQ的斜率分别为k1且x1+x2=−16k4k2+1,x1x2=124k2+1，再由AP:y=（1）解：设椭圆上的点C(x,y)满足椭圆的方程x2m+2+可得CP2设fy=−(1+m)y由−1−m<0，可得fy对应的抛物线开口向下，对称轴为y=所以fymin=f(1m+1所以椭圆E的方程为x2（2）解：设直线AB:y=kx+2，且A(x由对称性，不妨设k<0，此时x1>x2，直线AP和联立方程组y=kx+2x24则Δ=156k2且x1又由直线AP:y=k1x−1联立方程组y=k1x−1因为直线AP与直线BQ交于直线y=5所以54(k1−化简得kx1+3又由求根公式可得x1代入得48k4整理得−4k=54k2解得k2=2528，所以当k=−5714时，直线AB由对称性知，当k=5714时，也满足题意，此时直线AB综上可得，直线AB方程为y=571419．【答案】（1）解：当n=2时，向量a⃗=x1,x2，b⃗=y1（2）解：（i）设a=1,2,3，b=y1,y2,y3，其中y1,y2,y3为1,2,3的排列，

则a⋅b=y1+2y2+3y3=2(y1+y2+y3)+(y3−y1)=12+y3−y1，

因为y3−y1可能取值有±1,±2，所以M3={10,11,13,14}；

设a=1,2,3,4，b=y1,y2,y3,y4，其中y1,y2,y3,y4为1,2,3,4的排列，

当y4=4，a⋅b=16+i=13i⋅yi=28+y3−y1，y3−y1可能取值有±1,±2，

则a⋅b可能值为26,27,29,30；

当y4=3，a⋅b=12+i=13i⋅yi=26+y3−y1，y3−y1可能取值有±1,±2,±3，

则a⋅b可能值为23,2