【真题】高一下学期期末测试数学试题（含解析）浙江省慈溪市2024-2025学年

浙江省慈溪市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（）A．12 B．6 C．4 D．22．已知A−1,−1,Bx,3A．1 B．3 C．−1 D．−23．已知z−i=1+3i3−i，则A．−1 B．1 C．−2 D．24．已知直线a,b与平面α,β，则能使α⊥β的充分条件是（）A．a⊥α,b⊥β,a//b B．a⊂α,b⊂β,a⊥bC．a//b,a⊥β,b⊂α D．α∩β=a,b⊥a,b⊂β5．柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若A表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，B表示事件“取出的手套都是右手的”，C表示事件“取出的手套不成双”，则（）A．PC=PA+PB B．PA∪B6．已知e1,e2是两个垂直的单位向量．若a=e1A．110 B．22 C．55 D．7．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=π3,c=2，且a−1=A．6+24 B．22 C．8．一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（）A．26 B．66 C．83二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在圆锥PO中，AB=4,PB=BC=22，点E为线段PBA．PO=B．圆锥PO的侧面积为4C．直线PA与BC所成角为πD．当E为线段PB中点时，直线CE与平面PAB所成角的正弦值最大10．已知复数z1A．z1+zC．z1·z11．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=120°,BA在BC上的投影向量为−A．a=23cC．BA+6BC⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设A,B是一个随机试验中的两个事件，记B为事件B的对立事件，若PA=0.8,PB=0.6，且A与B13．如图，小明为了测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠ACB=30°,∠ADB=45°,∠BDC=135°,CD=102，则塔高AB=14．如图，在棱长均为4的正四棱锥V−ABCD中，VEVC=14，若过点E且垂直于棱VC的平面分别交棱VB,AB,AD,VD于点F,G,H,I，则五边形四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）．（1）求a的值；（2）求该样本的平均数x和中位数y．16．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π（1）若a=13，且△ABC的面积为33，求（2）若b=4,c=3,∠BAC的平分线交BC于D，求AD的长．17．某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中m（m∈2,3,4,5（1）若m=2，求一次抽奖中奖的概率；（2）若要求一次抽奖中奖的概率最小．（ⅰ）求m；（ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．18．（用坐标法不给分）已知平行六面体ABCD−A1B（1）求证：平面A1ACC（2）设平面BDC1与平面A1B1C1（3）求二面角D−BD19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，AM=xAB(0<x<1)，AN=yAC(0<y<1)，设CM（1）求2xy−3y的值；（2）定义平面非零向量之间的一种运算“⊕”：a⊕b=asinθb（其中（ⅰ）若M为AB的中点，求PB⊕（ⅱ）若AP⊕BC=

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：抽取中型超市的数量为6020+60+120故答案为：B.

【分析】根据给定条件，先计算出总体中各类超市的总数，再确定中型超市数量占总体的比例，最后用样本容量乘以该比例，得到抽取中型超市的数量.2．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：AB=(x+1,4),AC=(3,6)，且AB解得：x=1.故答案为：A.

【分析】若三点共线，则由这三点构成的两个向量共线。先求出向量AB和AC的坐标，再利用向量共线的坐标表示（若a=(x1,y1)，b3．【答案】D【解析】【解答】解：因为z−i=1+3所以虚部为2.故答案为：D.

【分析】先根据等式求出复数z，进而确定复数的虚部.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、由a⊥α,a//b，得b⊥α，而b⊥β，则α//β，A错误；B、α//β，a,b分别是平面α,β内互相垂直的异面直线，满足a⊂α,b⊂β,a⊥b，B错误；C、由a//b,a⊥β，得b⊥β，又b⊂α，则α⊥β，C正确；D、由α∩β=a,b⊥a,b⊂β，得二面角α−a−β的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D错误.故答案为：C

【分析】本题考查面面垂直的充分条件判定，需依据线面垂直性质、面面垂直判定定理，结合充分条件定义（若条件P成立能推出结论Q成立，则P是Q的充分条件），对每个选项逐一分析：分析各选项中直线与平面的位置关系，判断能否推出α⊥β.5．【答案】B【解析】【解答】解：记三双不同的手套为：白1，白2；红1，红2；黑1，黑2，（1为左，2为右）从中随机取出2只共有：白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况，事件A包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1，6个基本事件，事件B包含：白2红2，白2黑2，红2黑2，3个基本事件，事件C包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事件，PA=615=25A、PAB、事件A,B互斥，则PA∪BC、PABD、A⊆C，PA∪C故答案为：B【分析】先通过列举法确定所有基本事件，再分别找出事件A、B、C包含的基本事件数，计算对应概率，最后根据事件关系（互斥、独立、包含）判断选项.6．【答案】D【解析】【解答】解：因为e1,e因为a=所以a·而a=e1所以cosθ=故答案为：D.【分析】先计算a⋅b（向量数量积），再分别计算|a|、7．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，由a−1=3cosC，得a=1+3由正弦定理asinA=整理得sinCcosC=cosC，因此cosC=0或所以sinA=1故答案为：D.

【分析】首先由已知条件a−1=3cos⁡C得到a关于cos⁡C的表达式，再结合正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后利用三角形内角和A=π−B−C，将sin⁡A转化为sin⁡(C+B)（8．【答案】C【解析】【解答】解：由正四面体玩具可以在棱长为6的正方体内任意转动，得该正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，如图，设四面体B1−ACD1的边长为a正方体ABCD−A1B设正方体的外接球的半径为R，则2R=3×2而棱长为6的正方体的内切球的半径为3，即64a=3，解得取AC中点O，连接D1O,B1O，则D于是AC⊥平面B1OD1，而D1O=B所以正四面体体积的最大值为V=1故答案为：C.【分析】首先确定正四面体棱长最大时，其外接球与正方体内切球的关系，然后结合外接球半径与正四面体棱长、正方体内切球半径与正方体棱长的关系，求出正四面体棱长，最后利用正四面体体积公式（以某一面为底，对应高为棱）计算体积.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、AB=4是底面直径，故AO=BO=2（半径），PB=22是母线，在Rt△POB中，由勾股定理：

PO=B、圆锥侧面积公式：S=πrl（r是底面半径，l是母线长）已知r=2，l=PB=22，代入得：S=π×2×2C、连接CO并延长，交底面圆于点F，连接AF,PF，则AF=BC=22因为OB=OC=2，OB2+O故△OBC,△OAF均为等腰直角三角形，则∠FAB=∠CBA=45°，故AF//BC，所以∠PAF或其补角即为直线PA与BC所成角，又AP=PF=22，故△APF为等边三角形，故∠PAF=D、由C知，OB⊥OC，又OP⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，所以OP⊥OC，因为OB∩OP=O，OB,OP⊂平面APB，所以OC⊥平面APB，连接OE，则∠OEC即为直线CE与平面PAB所成角，其中CE=C则sin∠OEC=当E为线段PB中点时，因为OP=OB=2，所以OE⊥PB，此时OE取得最小值，故sin∠OEC=直线CE与平面PAB所成角的正弦值最大，D正确.故答案为：BCD.【分析】A：利用“圆锥高、母线、底面半径的直角三角形关系”（勾股定理）计算PO.B：直接套用“圆锥侧面积公式”（πrl）计算.C：通过“圆的对称性构造平行线”，将线线角转化为三角形内角，结合“等边三角形性质”求角度.D：依据“线面角定义”，分析OE的最小值（中点时垂直），推导正弦值最大值.

10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、C、D、设z1则z1=a−bi,z而z1+z而z1z1z2而z1z1则z1B、当z1=2i,z而z1故答案为：ACD.

【分析】A、验证共轭复数的和与和的共轭是否相等；

B、通过举例计算z1−z2211．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、因为BA在BC上的投影向量为ccos所以c2a=3B、因为asinA=csinC且又C=60°−A，所以sin所以32cosA=2C、由题意得，BA=−5BAD、S△ABC故答案为：AB.【分析】A、根据投影向量的定义可判断A；

B、利用正弦定理及两角差的正弦公式求tanA可判断B；

C、根据AC=BC−12．【答案】0.88【解析】【解答】解：由题意知P(B)=0.4，P(AB)=P(A)P(B)=0.32，所以PA+B故答案为：0.88【分析】由对立事件概率和为1求出P(B)，再根据两相互独立事件的概率公式求出P(AB)，即可代入并事件的概率公式进行求解.13．【答案】5+5【解析】【解答】解：设塔高AB=ℎ，由∠ACB=30°,∠ADB=45°，则BC=ℎtan∠ACB在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC=则1022+ℎ2故答案为：5+55【分析】设塔高AB=ℎ，利用直角三角形的边角关系（正切函数）可设BC=3ℎ，BD=ℎ，再在14．【答案】5【解析】【解答】解：连接FI，BD，AC，设BD∩AC=O，连接VO，依题意，VC⊥平面EFGHI，因为EI⊂平面EFGHI，所以VC⊥EI，因为VE=1，∠EVI=60°，BD=42在直角△VEI中，VI=VE所以FI=1下面证明：G，H分别在AB,AD的中点上，当G，H也是中点时，GH//BD,GH=12BD四边形IFGH是平行四边形，又VA=VC=4,AC=42，则VA2又HI//VA，则VC⊥HI，又AC⊥BD，VO⊥BD，AC∩VO=O,AC,VO⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC，又VC⊂平面VAC，故BD⊥VC，则GH⊥VC，因为IH,GH均在平面IFGH内，且相交，所以VC⊥平面IFGH，故此时平面IFGH和平面EIF即同一平面，满足题意，则G，H分别在AB,AD的中点上.又BD⊥平面VAC，又VA⊂平面VAC，所以BD⊥VA，则GH⊥HI，则四边形IFGH是矩形，依题意，GH=FI=22，IH=FG=2，EI=EF=△EFI中IF边上的高为ℎ=3则S△EFI四边形IFGH的面积是22故五边形EFGHI的面积是52故答案为：52【分析】首先连接辅助线（FI、BD、AC、VO），根据线面垂直（VC⊥平面EFGHI）推出相关线段垂直关系，然后利用直角三角形边角关系确定中点位置（I、F为VD、VB中点），再证明G、H为AB、AD中点，最后分别计算△EFI和矩形IFGH的面积，求和得到五边形面积.15．【答案】（1）解：由题意知：10×0.01+10a+10×0.035+10×0.02+10×0.004+10×0.001=1，即a=0.030.（2）解：由题意知：x=前两个矩形面积之和为10×0.01+0.03前三个矩形面积之和为0.4+10×0.035=0.75，所以y∈25,35由中位数的定义可得0.4+y−25×0.035=0.5，解得y=1957，

即平均数【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求得a的值.（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得x的值；分析可知y∈25,35，结合中位数的定义可得出关于y的等式，即可解得y的值.

（1）由题意知：10×0.01+10a+10×0.035+10×0.02+10×0.004+10×0.001=1，所以a=0.030.（2）由题意知：x=前两个矩形面积之和为10×0.01+0.03前三个矩形面积之和为0.4+10×0.035=0.75，所以y∈25,35由中位数的定义可得0.4+y−25×0.035=0.5，解得y=19516．【答案】（1）解：由题意知：S△ABC=1又因为a2=b所以(b+c)2=49，即（2）解：已知AD是∠BAC平分线，∠BAC=π3，所以∠BAD=∠BAC=π6，即12所以1所以AD=12【解析】【分析】（1）先通过面积公式结合已知角A求出bc，再用余弦定理建立b+c与bc的关系，进而求出b+c.（2）利用角平分线将三角形面积分割为两部分，结合面积公式列方程求解AD.（1）由题意知：S△ABC=1又因为a2=b所以(b+c)2=49，即（2）因为S△ABC即12所以1所以AD=1217．【答案】（1）解：设A=“一次抽奖中奖”（1）记这2个红球的编号为1,2,4个白球的编号为3,4,5,6，

所以样本空间Ω=m,nm,n∈1,2,3,4,5,6,且m≠n，共有30个样本点，

又因为（2）（ⅰ）解：当m∈2,3,4时，PA=nAnΩ=mm−1+6−m5−m30=m2−6m+1515，所以m=3时，P(A)min=25；

当m=5【解析】【分析】（1）用古典概型，先确定总样本点和中奖样本点，再计算概率.

（2）（i）推导中奖概率关于m的表达式，结合二次函数性质及m取值范围求最小概率时的m.

（ii）利用对立事件（“至少一位中奖”的对立是“两位都不中奖”），结合独立事件概率公式计算.（1）设A=“一次抽奖中奖”（1）记这2个红球的编号为1,2,4个白球的编号为3,4,5,6，所以样本空间Ω=m,n又因为A=所以nA所以pA（2）（ⅰ）当m∈2,3,4时，P所以m=3时，P(A)当m=5时，P综上所述，所以m=3时，一次抽奖中奖的概率最小．（ⅱ）记B=“两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖”，Ai=“第i位顾客中奖”由题意知，PA所以PB18．【答案】（1）证明：如图，设BD与AC交于O点，连接A1在菱形ABCD中，BD⊥AC，O为BD中点，易知△A1AB≌△所以△A1BD又因为AC∩A1O=O，AC⊂平面A1AC所以BD⊥平面A1因为BD⊂平面ABCD，所以平面A1ACC（2）证明：连接B1D1因为BD⊄平面A1B1所以BD//平面A1因为平面BDC1∩平面A因为l⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD，所以（3）解：由题意知，则BD=2，设A1C1∩B1D1=因为DD1//OO1，所以BD⊥DD1，所以△DD1B过P作PH⊥BD1交BC1于所以∠DPH就是二面角D−BD等腰△BCC1中，BC所以C1D1所以PH=12D1C在△BC1D即DH2+B解得DH=5所以在△DPH中，cos∠DNH=(2)二面角D−BD1−【解析】【分析】（1）：通过“菱形性质+等腰三角形性质”推导线线垂直，再用“线面垂直→面面垂直”证明.（2）：利用“线面平行判定与性质”，将空间线线平行转化为线面平行.

（3）：构造二面角平面角，结合“解三角形（勾股定理、余弦定理）”计算角度正弦值.

（1）如图，设BD与AC交于O点，连接A1在菱形ABCD中，BD⊥AC，O为BD中点，易知△A1AB≌△所以△A1BD又因为AC∩A1O=O，AC⊂平面A1AC所以BD⊥平面A1因为BD⊂平面ABCD，所以平面A1ACC（2）连接B1D1因为BD⊄平面A1B1所以BD//平面