2024-2025学年湖南省永州市祁阳市第四中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省永州市祁阳市第四中学高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2}，B={0,2,4}，C={x|2lgx<A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{1,2,4}2.若角α的终边过点(4,3)，则sinα+π2A.45 B.−45 C.33.若z(1+i)=1−i，则z=A.1−i B.1+i C.−i4.已知向量a=(1,4),b=(2,x)，若b//2A.8 B.4 C.2 D.−85.已知双曲线x2a2−y2A.y=±22x B.y=±6.若a>b>c>A.logab>logbc>logc7.将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到A,B,C三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为(

)A.36种 B.24种 C.18种 D.16种8.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇(如图1)从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为(

)

A.2540π B.449π C.562π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则(

)A.这五名同学成绩的平均数为78 B.这五名同学成绩的中位数为74

C.这五名同学成绩的上四分位数为80 D.这五名同学成绩的方差为3210.已知函数f(x)的图象是由函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位得到，则A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在区间[−π6,π3]上单调递增

C.f(x)的图象关于直线x=π11.已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，且M为AB的中点，则(

)A.|AB|=10 B.PF⊥QF

C.梯形APQB的面积是16 D.M到y轴距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在等差数列an中，若a3+a913.已知函数f(x)=eax+2x，若f(x)存在大于0的极值点，则实数a的取值范围

14.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分已知正项等比数列an的前n项和为Sn,S8=30+15(1)求数列an(2)令bn=an2+16.(本小题15分)在①csinA−3acosBcosA=3bcos2A问题：是否存在▵ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)17.(本小题15分)某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠活动，全场购物每满1000元减300元，即一次购物总金额(未享受优惠前)为x元，若x<1000.付款时无优惠：若1000≤x<2000.付款时优惠300元：若2000≤x<3000，付款时优惠600元……，以此类推，某机构在该商场门口随机采访了100位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所示，并将购物总金额低于3000元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于3000元的顾客称为“非理性购物者”．

理性购物者非理性购物者合计男性401050女性252550合计6535100(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？(2)设甲、乙两名“非理性购物者相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额(单位：元)在[3000,4000)的概率分别为12，23，在[4000,5000)的概率分别为12，13.甲、乙两位顾客付款时的优惠金额之和为随机变量参考公式及数据：K2=n(ad−bcP0.10.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题17分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2AD=2，矩形ABEF所在的平面垂直于平面ABCD，设平面BDE与平面ADF的交线为(1)求证：l⊥平面ABCD(2)若二面角E−CD−A的大小为60°，求线段AF的长度．19.(本小题17分)已知动圆过点F(0,1)，且与直线l:y=−1相切，设动圆圆心(1)求曲线C的方程；(2)过l上一点P作曲线C的两条切线PA,PB，A,B为切点，PA,PB与x轴分别交于M，N两点．记▵AFM，▵PMN，▵BFN的面积分别为S1、(ⅰ)证明：四边形FNPM为平行四边形；(ⅱ)求S22S答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】解对数不等式求出集合C，再求(A∪【详解】A∪由2lgx<1，得所以(A∪故选：B．2.【答案】A

【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可．【详解】因为角α的终边过点(4,3)，所以cosα=4故选：A3.【答案】C

【解析】【分析】根据复数除法的运算性质进行求解即可．【详解】z=1−故选：C4.【答案】A

【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可．【详解】2a+b=(4,8+x)，由b//故选：A．5.【答案】D

【解析】【分析】根据双曲线离心率及a,b,c之间的关系，求出ba【详解】∵e=c∴b所以双曲线渐近线方程为y=±故选：D．6.【答案】B

【解析】【分析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果．【详解】(方法一)对选项A：由a>b>c，从而logab<对选项B：首先logcb>logcc=1，logba>log>(从而logcb>对于选项C：由logab<loga对于选项D：可知logcb>故选B(方法二)取a=5，b=4，c=3代入验证知选项B正确．【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型．7.【答案】A

【解析】【分析】把4个人按2:1:【详解】依题意，A,B,C三个地区中必有一个地区有2人，先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有C4与其他2个人一起分配到A,B,C三个地区，共有C42故选：A8.【答案】C

【解析】【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解．【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米，所以半球的表面积为12×4圆柱的侧面积为2⋅π⋅8×圆台的侧面积为π(8+1)×故该组合体的表面积为128π+208π+225π+π×12=562故选：C9.【答案】CD

【解析】【分析】根据平均数，中位数，百分位数以及方差的计算公式即可逐一求解．【详解】A选项，这五名同学成绩的平均数为68+72+76+80+845=76，B选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B错误；C选项，5×75％=3.75，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即D选项，五名同学成绩的方差为15(68−76)2故选：CD．10.【答案】AD

【解析】【分析】首先求出函数解析式f(x)=sin【详解】因为y=sin2x，向右平移π6对于A：最小正周期为T=2π2对于B：由x∈[−π6,π因为y=sinx在−2所以f(x)在区间[−π6,对于C：因为fπ所以f(x)的图象不关于直线x=π3对称，所以对于D：因为fπ6=sin2×π故选：AD．11.【答案】BD

【解析】【分析】先判断得直线y=x−1经过点F，再联立直线与抛物线方程，得到y1+y2,y1y2，进而得到x1+【详解】对于A，由题意得F(1,0)，则直线y=x−1经过点F，联立y2=4xy=x−1，消去x设A(x1,则x1+x2=对于B，由题意得P−1,所以kPF⋅kQF=对于C，由题意可得|AP|PQ|=y所以梯形APQB的面积是12(|对于D，因为xM=12x1+x2故选：BD．12.【答案】52

【解析】【分析】根据等差数列的通项公式计算即可．【详解】根据题意，设等差数列an的公差为d若a3+a则a3故答案为：52．13.【答案】(−∞,−【解析】【分析】先求解导数，可得aeax+2=0【详解】f′因为f(x)存在大于0的极值点，所以aeax+2=0存在大于0由aeax+2=0得，x=1a所以0<−2a故答案为：(14.【答案】25【解析】【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率．【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，P(A)=2P(AB)=2所以P(B|故答案为：2515.【答案】【详解】(1)正项等比数列{an}的公比设为q，q>0，前n项和为Sn，a10是8a2和6即有2a1q解得q=S8=30+152，可得可得an=((2)bn=an数列{bn}的前n项和为(2+4+…+2n)+=

【解析】【分析】(1)正项等比数列{an}的公比设为q，q>0，由等比数列的通项公式和求和公式，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；(2)bn=an【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能力，属于基础题．16.【答案】【详解】选条件①：由csinA−因为在▵ABC中，A+B+C=π，所以sinC=sin(A+B)≠0又A∈(0,π)，所以A=π因此，选条件①时，问题中的三角形不存在.(选条件②：由(4−3)sinA−解得sinA=32或sinA=−2(舍去).又a=2，所以b+c=2a=4，由余弦定理，得a2=b所以bc=4.由b+c=4bc=4，解得b=c=2.故▵因此，选条件②时，问题中的三角形存在，且c=2．选条件③：由sin(A+π6)=cosA+12，得所以A−π6=π6，所以A=由余弦定理，得a2=4=b2+c2因此，选条件③时，问题中的三角形存在，且c=23

【解析】【分析】若选择条件①，根据正弦定理，边角互化，可得sinCsinA=3cosA(sinAcosB+cosAsinB)【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．17.【答案】【详解】(1)由2×K2所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为理性购物者”与性别有关．(2)由题可得，购物总金额在[3000,4000)内，优惠300×3=900元，购物总金额在[4000,5000)内，优惠300×4=1200元，则随机变量X的所有可能取值为1800，2100，2400，P(X=1800)=1P(X=2100)=1P(X=2400)=1所以X的分布列为X

180021002400P

131216所以E(X)=1800×

【解析】【分析】(1)根据2×2联表数据计算(2)根据题意可得X的所有可能取值为1800，2100，2400，求出对应概率即可写出分布列及期望．18.【答案】【详解】解：(1)因为四边形ABEF为矩形，所以BE//AF，BE⊄平面ADF，AF所以BE//平面ADF又BE⊂平面BDE，平面BDE与平面ADF的交线为l，所以l因为BE⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF所以BE⊥平面ABCD，所以l⊥平面(2)设AB的中点为O，CD的中点为G，EF的中点为M，则OA,OG,OM两两垂直，以O为坐标原点，OA,OG,OM的方向分别为x轴、设AF=t(t>0)，则点F的坐标为(1,0,t)，点E的坐标为作DH⊥AB，交AB于点H，在Rt▵ADH所以点D的坐标为(12,32,0)设平面CDE的法向量为n1=(x,y,z)，则n令z=3，解得x=0,y=2t，所以平面CDE的一个法向量为n1=(0,2t,因为二面角E−CD−A的大小为60°，所以cos60°=解得t=32(负值不合题意，已舍去)，所以线段AF

【解析】【分析】(1)依题意可得BE//平面ADF，即可得到l//BE，再由面面垂直的性质得到BE(2)建立空间直角坐标系，设AF=t(t>【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直