新课预习-2.5.1 直线与圆的位置关系（教师版）-新高二暑假衔接

2.5.1直线与圆的位置关系【划重点】1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．【知识梳理】知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0【例题详解】一、直线与圆的位置关系的判断例1(1)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可.【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径圆心到直线2x+y+1＝0的距离由，可得圆与直线的位置关系为相交.故选：C(2)直线与圆相切，则（

）A．3 B． C．或1 D．3或【答案】D【分析】利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为又直线与圆相切，则，解之得或，故选：D．(3)已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.【详解】由，得，∵直线与圆相离，∴解得．∴实数m的取值范围是，故选:D．跟踪训练1(1)直线与圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交C．相离 D．由的取值确定【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断.【详解】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.故选：A．(2)已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（

）A．（-3，1） B．（-，-） C．（，） D．（-，）【答案】D【分析】利用圆心到直线的距离列不等式，从而求得的取值范围.【详解】圆的圆心为，半径为，直线，由于圆与直线相交，所以，解得.故选：D二、圆的弦长问题例2(1)若圆与y轴交于A，B两点，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】直接联立方程求A、B坐标即可.【详解】联立得，故A、B坐标为，即.故选：D(2)若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果.【详解】

当最短时，直线，所以.又，所以，所以的方程为，即.故选：D(3)若直线截圆所得弦长，则的值为.【答案】或【分析】根据直线截圆的弦长公式计算.【详解】圆心到直线的距离为，由得，解得或，故答案为：或跟踪训练2(1)直线被圆所截得的弦长为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，圆心到直线的距离，则弦长.故选：C.(2)经过点的直线l与圆交与P，Q两点，如果，则直线l的方程为．【答案】或【分析】求出圆心到直线的距离，再按直线斜率存在与否分类求解作答.【详解】圆的圆心，半径，因为圆截直线所得弦长为，则圆到直线的距离，因为直线过点，则当直线斜率不存在时，直线，显然圆心到直线距离为1，因此直线：符合题意；当直线斜率存在时，设其方程为，即，于是，解得，方程为，所以直线l的方程为或.故答案为：或

三、求圆的切线方程例3(1)已知圆，则过圆上一点的切线方程为（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】利用切线与半径垂直求出切线的斜率，再根据点斜式可求出切线方程.【详解】因为圆的圆心为，所以，所以切线的斜率，所以所求切线的方程为，即，故选：A(2)已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.例4已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.（1）求圆的方程；（2）求过点与圆相切的直线方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）先得到过点且与直线：垂直的直线方程，与联立求得圆心即可；（2）若过点的直线斜率不存在，即直线是判断，若过点的直线斜率存在，设直线方程为，再根据直线与圆相切求解.【详解】（1）过点与直线：垂直的直线的斜率为，所以直线的方程为，即.由，解得.所以.故圆的方程为：.（2）①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，即，若直线与圆相切，则有，解得.此时直线的方程为，即.综上，切线的方程为或.跟踪训练3已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，可求得、、的值，可得出圆心的坐标，求出所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】设圆的一般方程为，由题意可得，解得，所以，圆的方程为，圆心为，直线的斜率为，因此，圆在点处的切线方程为，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．跟踪训练4已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于，两点，若，求直线的方程．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）分直线斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案；（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，结合（1）可知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，根据圆心到直线的距离列出方程，从而可得答案.【详解】解：（1）根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆：相切，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得．此时，直线的方程为．所以满足条件的直线的方程是或；（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，结合（1）知直线的斜率一定存在．设直线的方程为，即，则，解得或．所以满足条件的直线方程是或．【课堂巩固】1．直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.【详解】由，所以直线恒过定点，因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交.故选：B2．若直线与圆相切，则（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求.【详解】因为圆心坐标为，半径为，所以该圆心到直线的距离，结合解得.故选：A.3．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断所给的圆是否与直线始终相交的依据是直线所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上.【详解】，

，∴直线恒过点P（—4，1），对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为：

，即P点不在该圆内；对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为，故点P在该圆内；对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为，故点P不在该圆内；对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为，点P该在圆上，可能相切也可能相交；故选：B.4．圆：在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率即可.【详解】圆：，圆心，，所以切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，即.故选：A【点睛】本题主要考查圆的切线的求法，要注意几何法的应用，属于基础题.5．若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线过圆心代入求解即可.【详解】由题意得，圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以直线过圆心，即，解得.故选：D6．与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为即可求得圆的方程.【详解】由圆心在直线上，可设圆心坐标为，又因为与y轴相切，所以半径，易知圆心到直线的距离为，根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为，所以，解得；当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为；当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为.故选：C7．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.【详解】圆的方程可化为，其圆心坐标为，半径为，当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.故选：C.8．设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由题意利用勾股定理即可求解．【详解】由圆的方程可得，故，为原点，在圆上，与圆相切，则.

故选:A．9．设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程.【答案】或.【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．【详解】由题意设所求的圆的方程为：.圆心到直线的距离为，圆被直线：截得的弦的中点为，，解得或，即所求的圆的方程为：或.故答案为：或.10．已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为.【答案】【分析】通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得的取值范围.【详解】如图：当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大.圆的圆心为，半径为，，当圆和线段AB相切时，，即，，得，当圆过B点时，，得.故答案为：.11．已知圆过点，，且圆心在上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线与圆交于、两点，求线段的长度．【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先求出线段的中垂线方程，即可求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程；（2）求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理、勾股定理计算可得.【详解】（1）因为圆过点，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，又圆心在上，所以，解得，所以圆心，又，所以圆的标准方程为.（2）圆心到直线的距离，所以.

12．已知圆(1)求过点且与圆相切的直线方程；(2)已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案；（2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案..【详解】（1）当直线斜率存在时，设直线，即，圆心到直线的距离为，解得，此时直线方程为，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，综上，所求直线方程为或.（2）记圆心到直线的距离为，则，又弦长为，圆的半径为2，则，解得，所以.【课时作业】1．直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断【答案】B【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故选：B.2．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】D【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.【详解】直线，即，由解得，因此，直线恒过定点，又圆，即，显然点A在圆C外，所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.故选：D3．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（

）A．或2 B．或4 C． D．【答案】A【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：的圆心，半径，因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，即，整理得，解得或，故选：A.4．“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出.【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1，设圆心到直线的距离为则，解得：或.由此可知，“”是“或”的充分不必要条件，故选：A.5．过点作圆的切线，则的方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．【详解】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，则，则切线的斜率k＝1，则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故选：C．6．已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】根据圆的方程和直线方程可得圆心坐标，以及直线所过定点，然后结合图形可得.【详解】将圆C化为标准方程得，所以圆心为，直线的方程为，所以直线过定点，过点C作，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然，当时，，所以圆心C到直线l的最大距离为.故选：D

7．点在圆：上运动，点，当直线的斜率最大时，直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设直线的方程为，利用圆心到直线的距离小于等于1，从而得到不等式，即可得到的最大值.【详解】设直线的方程为，即，，即，则圆心，半径，则由题意得圆心到直线的距离小于等于1，，解得，则的最大值为，此时直线的方程为，化简得，故选：C.8．已知直线与圆相交于两点，且，则实数（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a.【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，∵圆的方程为∴

圆心，圆的半径为3，，又，∴，即点到直线的距离为，所以，所以解得或.故选：D．9．（多选）已知直线：与圆：相交于，两点，则（

）A．圆心到直线的距离为1 B．圆心到直线的距离为2C． D．【答案】BD【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误，B正确；利用几何法求出弦长可知C错误，D正确．【详解】因为圆心到直线的距离，所以A错误，B正确．因为，所以C错误，D正确．故选：BD10．已知直线与圆：交于、两点，则的面积为.【答案】2【分析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.【详解】由圆C方程：可得：；即圆心C的坐标为（0，-1），半径r=2；联立方程得交点，如下图：可知轴，∴是以为直角的直角三角形，，故答案为：2.11．设直线与圆相交所得弦长为，则；【答案】【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，则圆心到直线，即的距离，由圆的弦长公式，即，得，所以，解得，经检验，满足题意，所以.故答案为：.12．过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是.【答案】【分析】先求出圆心的坐标，再求出所求直线的斜率，进而得出所求直线的方程.【详解】将圆的方程整理成标准方程得，则圆心的坐标为，，所以由圆的几何性质得，当所求直线与直线垂直时，弦最短，此时所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为：13．已知圆的圆心坐标为.若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为.【答案】【分析】根据相切关系可得垂直，利用垂直关系可得，即可根据点点距离求解半径，进而可得圆的方程.【详解】直线过点，可得直线，其斜率.由相切可得，可得，所以，则圆的标准方程为.故答案为：14．圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．(1)求圆