2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版)第06讲 角度计算七大几何模型 (7个知识点+7个题型+过关测) (学生版)

第06讲角度计算七大几何模型内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习第二步：练练题型强知识：7大核心考点精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升【知识点18字模型】【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D.【知识点2飞镖模型】【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C.【证明】如图,延长BD交AC于点E.∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.【知识点3A字模型】【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A.【知识点4老鹰抓小鸡模型】【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【证明】如图，连接AF.∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE.【知识点5双内角平分线模型】【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC=90°+12∠【证明】设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.①由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.②由②得x＋y=180°-∠BDC.③把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A，即∠BDC=90°+12∠A【知识点6双外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°-12∠A【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.①易得2x＋2y=180°＋∠A.②由①得x+y=180°-∠BDC.③把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A，即2∠BDC=180°-∠A，即∠BDC=90°-12∠A【知识点7内外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=12∠A【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y.由外角定理得2y=∠A+2x，①y=∠D+x.②把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x,即∠D=12∠【题型18字模型】【例1】如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：(1)在图1中，证明：∠A+∠D=∠C+∠B；(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；(3)图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数．(4)图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【变式1-1】如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为．【变式1-2】如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；（2）若∠C=38°，求∠P的度数．【变式1-3】【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．

【题型2飞镖模型】【例2】如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD（填“增大”或“减小”）°．【变式2-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，

【变式2-2】如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【变式2-3】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，直接写出②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、⋯【题型3A字模型】【例3】如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2=230°，则∠A等于（

）

A．35° B．50° C．65° D．70°【变式3-1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3−∠2的度数为．【变式3-2】探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=______；(2)如图2，已知△ABC中，∠A=30°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=______；(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是______；(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【题型4老鹰抓小鸡模型】【例4】把三角形纸片A′BC沿(1)如图1，点A′落在四边形BCDE内部点A处时，∠A与∠ADC、∠AEB(2)如图2，点A′落在四边形BCDE外部点A处时，直接写出∠A与∠ADC、∠AEB【变式4-1】如图，三角形纸片ABC中，∠A=100°，∠B=40°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30°，则∠β的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式4-2】如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是（

）A．30° B．32° C．35° D．60°【变式4-3】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）【题型5双内角平分线模型】【例5】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？【变式5-1】如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（）A．110° B．120° C．130° D．150°【变式5-2】如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=（

）A．80° B．75° C．60° D．45°【变式5-3】已知△ABC中，∠A=60°，在图（1）中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O1，则计算可得∠B

（1）在图（2）中，设∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，得到∠BO2（2）在图（3）中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，n−1条等分角线分别对应交于O1、O2⋯On−1，则∠BO【题型6双外角平分线模型】【例6】如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系为．【变式6-1】在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，当∠Q=65°，则∠BPC=°；【变式6-2】如图，EG，FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP，CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，若∠G=69°，那么∠P=．

【变式6-3】如图，AD，BD分别是△ABC的外角∠BAF，∠ABG的角平分线；AE，BE分别是∠DAB，∠ABD的角平分线；AM，BN分别是∠FAD，∠DBG的角平分线．当∠C=（）时，AM∥A．45° B．50° C．60° D．120°【题型7内外角平分线模型】【例7】如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M=度．【变式7-1】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°−∠ABD．其中正确的结论有【变式7-2】如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD−∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（

）A．① B．② C．③ D．④【变式7-3】如图，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点A1，得到∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得到∠A2；……按此规律继续下去，A．3 B．4 C．5 D．61．如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=（

）．A．90° B．60° C．50° D．40°2．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为()A．50° B．55° C．60° D．65°3．如图，已知∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°，则∠D+∠E等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）

A．180° B．210° C．360° D．270°5．在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点①如图1，当点C′落在BC边上时，∠AD②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠AD③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BE④当C′E∥AB时，∠CDE=34°或∠CDE=124°，其中正确结论的个数是（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=60°，那么∠1+∠2的大小为．7．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为．8．如图，四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P，若∠B=16°,∠C=42°，则∠P=°．

9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度．10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°．求∠CAD的度数．

11．（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，直接写出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的度数．（3）如图3，当点B向右移动到AC的另一侧时，直接写出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的度数．（4）如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．12．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．(1)如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；(2)如图2