2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)初高衔接点01 乘法公式（学生版）

衔接点01乘法公式

初中阶段高中阶段

1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义1、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式的

和应用形式及完全平方公式的凑配

2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展2、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化

开与化简简

3、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用

衔接指引

初中阶段考查形式：选填题，信息题阅读并运用。

高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算中灵活应用。

1、初中知识再现

（1）平方差公式：(ab)(ab)a2b2；注意公式的正逆应用.

（2）完全平方公式：(ab)2a22abb2

（3）高频应用方式：

①x2y2(xy)22xy

②x2y2(xy)22xy

③(xy)2(xy)24xy

④(xy)2(xy)24xy

⑤(xy)2(xy)22(x2y2)

⑥(xy)2(xy)24xy

2、高中相关知识

（1）立方和公式：x3y3(xy)(x2xyy2)

（2）立方差公式：x3y3(xy)(x2xyy2)

（3）两数和立方公式：(xy)3x33x2y3xy2y3

过程：(xy)3(xy)(xy)2(xy)(x22xyy2)x33x2y3xy2y3

（4）两数差立方公式：(xy)3x33x2y3xy2y3

过程：(xy)3(xy)(xy)2(xy)(x22xyy2)x33x2y3xy2y3

（5）三数和平方公式：(xyz)2x2y2z22(xyyzxz)

过程：(xyz)2((xy)z)2(xy)22(xy)zz2x2y2z22(xyyzxz)

对点集训一：平方差公式的应用

典型例题

例题1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知abcM(ac)2b2，则M．

例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）若x29x3x3xn81，则n等于．

例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算：(a2b1)(a2b1)．

例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）运用平方差公式计算：

(1)9s11t11t9s；

22

(2)3pq3pq．

55

精练

12412

1．（24-25七年级下·全国·课后作业）xy（）yx．

416

2．（2025七年级下·全国·专题练习）若202424202324202620222021m，则m的值是．

3．（2025七年级下·全国·专题练习）利用平方差公式计算：

(1)abab；

(2)2a3b2a3b．

4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：(3a2b5)(3a2b5)．

对点集训二：平方差公式与几何图形

典型例题

例题1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁

剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（）

A．①②B．①③C．①②③D．①②④

例题2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图

2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，

S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若mn6，mn1，则S1S2．

例题3．（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，正方形ABCD的边长为a1，正方形AEFG的边长为a，图中

阴影部分的面积可以用正方形ABCD的面积与正方形AEFG的面积的差来计算；也可以用长方形BEFH的面

积与长方形CDGH的面积的和来计算．

2

(1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成a1，a2，2a1之间的等量关系；

(2)根据（1）中得到的等量关系，解决下面的问题：

①计算：20252202422023220222；

22

②若x100x1012025，求x的值．

例题4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为

b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．

（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：

图1中S阴影________，图2中S阴影________；

（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母a，b的式子表示）；

【应用】请应用这个公式完成下列各题：

（3）①已知m2n2，m2n8，则m24n2的值为：________；

②计算x3x3x29；

【拓展】计算

（4）212212412812641的结果为________．

精练

1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小

正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（）

A．(a2b)2a24abb2B．(ab)(a2b)a2ab2b2

C．(a2b)(a2b)a24b2D．(ab)(ab)a2b2

2．（24-25七年级下·全国·期末）如图①，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，将图①中阴

影部分剪裁后拼成一个长方形，如图②所示．

(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；

(3)试利用此公式计算：212212412811．

3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后

将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．

(1)上述操作能验证的等式是．（请选择“A”“B”“C”）

2

A．a22abb2abB．a2b2ababC．a2abaab

(2)已知x24y212，x2y4，则x2y的值为．

(3)计算：100299298297242322212．

4．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形ab，

把余下的部分剪拼成一个矩形．

(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是；（请选择正确的一个）

2

A．a22abb2ab

B．a2b2abab

C．a2abaab

2

D．a2b2ab

(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①已知x24y212，x2y4，求x2y的值．

11111

②计算：11111．

2232422019220202

对点集训三：完全平方公式的应用

典型例题

例题1．（24-25八年级上·重庆万州·期末）若Mx2y26x2y2024，则M的最小值是（）

A．2014B．2016C．2018D．2020

例题2．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算（a-bc）2．

例题3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：(x1)(x1)(2x1)22x(2x1)，其中x1．

例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：

2

(1)a1；

2

1

(2)2x；

2

2

(3)2xy．

精练

22

1．（24-25八年级上·河南周口·期末）已知ab7，ab13，则a2b2，ab．

2．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算：

(1)(2m1)2(2m1)(2m1)；

(2)(2xy)2(xy)(xy)5x(xy)．

3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知x2y24,xy2，求下列代数式的值：

(1)(xy)2；

(2)(xy)2．

4．（2025七年级下·全国·专题练习）利用完全平方公式计算：

(1)(2x3)2；

(2)(4x5y)2；

1

(3)(ma)2

2

对点集训四：通过完全平方公式变形求值

典型例题

例题1．（24-25八年级上·辽宁·期末）长方形的长和宽分别为a，b，若ab1，a2b227，则该长方

形的面积为（）

A．10B．11C．12D．13

1

例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读理解：如果a1，我们可以先将等式两边同时平方得到

a

21111

1，再根据完全平方公式计算得：2，即2，所以2．请运用

a1a2a21a221a23

aaaaa

21

上面的方法解决下面问题：如果x22x10，则x的值为．

x2

例题3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知、是方程x22x10的两个实数根，则22

的值为．

22

例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知xy4，xy16，求下列各式的值：

(1)x2y2；

(2)x4y4．

精练

1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）若方程x22x50的两个实数根为、，则22的值为．

2．（24-25九年级上·山东日照·期末）已知m，n是一元二次方程x23x50的两个实数根，则(mn)23mn

的值是．

3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知实数a,b满足ab2,a2b27．

（1）代数式ab的值为；

（2）代数式ab的值为．

4．（24-25七年级下·全国·周测）两个不相等的实数m,n满足m2n240，mn4．

（1）mn的值为；

（2）mn的值为．

对点集训五：完全平方式中的字母系数

典型例题

例题1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如果9x2kx16能写成一个完全平方的形式，则k（）

A．24B．12C．12D．24

例题2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若一个多项式的平方的结果为a212am2，则m（）

A．3B．6C．3D．6

例题3．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）已知关于y的二次三项式y2my169是一个完全平方式，

则m的值是．

例题4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x26x9；

16x28x1；9x212x4；

2

（2）观察以上三个多项式的系数，有62419，84161，122494，于是小明猜测：若多

项式ax2bxca0是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：

①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系：；

②解决问题：若多项式m8x22m4xm是一个完全平方式，求m的值．

精练

1．（2025七年级下·全国·专题练习）若x22m1x4是一个完全平方式，则m的值是（）

353535

A．B．C．或D．或

222222

2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若36x2mxy49y2是一个完全平方式，则m的值为（）

A．42B．42C．84D．84

3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）若x2k2x9是一个完全平方式，则k的值．

4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）探究题：

【问题情景】

（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：

x26x9___________；25x210x1__________；4x212x9___________；

【探究发现】

2

（2）观察上述三个多项式的系数，有6419，1024251，122449，于是小明发现：若多

项式ax2bxca0,c0是完全平方式，那么系数a、b、c之间存在的关系式为__________；

【问题解决】

（3）若多项式k1x22k6xk6是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出k的值．

对点集训六：完全平方公式在几何图形中的应用

典型例题

例题1．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）阅读与思考

仔细阅读下列材料并完成相应任务．

利用因式分解解决代数式的最值问题

我们把形如a22abb2的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式

分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题．

2

例如：x22x3x22x12x12．

22

∵x10，∴x122，∴x22x32，

∴当x1时，x22x3取得最小值，最小值为2．

任务：

2

(1)代数式x57的最小值为．

(2)求代数式x22x6的最大值，并写出相应的x的值．

(3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下

怎样围面积才最大，最大面积为多少？

例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形

2

的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到aba22abb2．

【活动猜想】

（1）写出由图2所表示的数学等式：；

【类比探究】

1

（2）①根据上面的等式，如果将ab看成ab，则(n1)2（结果化简）；

n

12

②若2，求1的值．

n211n1

nn

【拓展运用】

（3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2b24c22ab4bc4ac0，a24b2c24ab4bc2ac0，

且ab2k1，求k的值．

例题3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式

22222

aba22abb2进行变形，如：a2b2ab2abab2ab，abab4ab．

(1)根据以上变形填空：

2

①已知a2b210，ab16，则ab______；

2

②已知ab16，ab3，则ab______；

(2)若2x3y11，xy4，求2x3y的值；

(3)如图，正方形ABCD、BEFG的边长分别为x、y，若x2y229，AE3，求图中阴影部分的面积之和．

例题4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：

ab

a2d2bc．

cd

12

(1)；

34

mnmn

(2)；若是完全平方式，则k；

km2nkm2n

m4n4

(3)若有理数m、n满足m3n5，且13．

4m22n24mn

①求mn的值；

②如图，四边形ABCD是长方形，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，连接EG、FH交于点P，

且EG、FH将长方形ABCD分割成四个小长方形，若AB9n，BF3n，CF3m，DGm，在①的条件

下，求图中阴影部分的面积．

精练

1．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚

线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②

的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．

（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：

2

①ab5，ab6，求ab和a2b2的值；

11

②已知x3，求x2的值．

xx2

2．（23-24八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：a22abb2(ab)2，观察下列式子：

x24x2x24x42(x2)22，

(x2)20,x24x2(x2)222，原式有最小值是2；

2

x22x3x22x12x12，

(x1)20,x22x3(x1)222，原式有最大值是2；

并完成下列问题：

(1)代数式x24x1有最（填大或小）值，这个值=．

(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设

计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务．

①用含x的式子表示花圃的面积；

②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

3．（22-23八年级下·四川成都·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我

们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是

长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形．

(1)用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式x22xy因式分解的结果为______．

(2)请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的

示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

2

4．（22-23七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：aba22abb2适当的变形，可以解决很多的

数学问题．

例如：若ab3，ab1，求a2b2的值．

2

解：因为ab3，所以ab9，即：a22abb29，

又因ab1，所以a2b27

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若xy8，x2y240，则xy的值为______；

2

(2)拓展：若4xx3，则4xx2______．

(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB20，BC12，点E、F是BC、CD上的点，且BEDFx，

分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，

求图中阴影部分的面积和．

对点集训七：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用

典型例题

例题1．（24-25高一上·江西南昌·开学考试）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和

完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3y3xyx2xyy2；

立方差公式：x3y3xyx2xyy2.

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：a38；

3xx22x42

(2)先化简，再求值：232，其中x3.

x2xx8x4

(3)利用材料因式分解：x33x24

例题2．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解题：

拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有

时需要多次实验才能成功，例如把x33x24分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数

为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1

和3，原式就变成x313x23，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：

原式x313x23x1x2x13x1x1

2

x1x2x13x3x1x2

公式：a3b3aba2abb2，a3b3aba2abb2

根据上述论法和解法，

(1)因式分解：x3x22；

(2)因式分解：x37x6；

(3)因式分解：x4x21．

例题3．（23-24高一·全国·假期作业）已知函数yax2bxc(a0)满足条件：

(1)对称轴为x1；(2)y的最大值为15；(3)ax2bxc0的两根立方和为17.

求yax2bxc的表达式．

精练

1．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方

公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3y3xyx2xyy2；

立方差公式：x3y3(xy)x2xyy2；

3xx22x4

根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中x3．

x22xx38

2．（24-25高一上·全国·假期作业）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立

方和公式与立方差公式如下：

立方和公式：aba2abb2a3b3

立方差公式：aba2abb2a3b3

如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.

根据以上材料，请完成下列问题：

(1)因式分解：a9b9

(2)因式分解：a6b6

(3)已知：ab3,ab1，求a6b6的值

3．（24-25高一上·全国·假期作业）利用多项式乘法法则计算：

(1)aba2abb2=______；aba2abb2=______.

在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则

成为因式分解中的立方和与立方差公式．

已知ab2,ab1，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：

(2)a2b2______；（直接写出答案）

(3)a3b3______；（直接写出答案）

(4)a6b6______；（写出解题过程）

第01讲乘法公式(分层精练）

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如果x2m2x9是一个完全平方式，那么m的值为（）

A．8B．8C．4或8D．1或5

2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若xy，则下列各式不能成立的是（）

A．(xy)2(yx)2B．(xy)3(yx)3

C．(xy)2(xy)2D．(xy)(yx)(xy)(xy)

3．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的

关系，可以验证下列哪个公式（）．

2

A．2ababa2b2B．aba22abb2

222

C．aba22abb2D．abab4ab

4．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图

①，我们可以得到两数和的完全平方公式：(ab)2a22abb2．根据图②你能得到的数学公式是（）

A．(a2b)(a2b)a24b2B．(ab)2a22abb2

C．(ab)2a22abb2D．a2b2(ab)(ab)

5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（）

22

A．xyx22xyy2B．m2nm24n2

2

2221221

C．3xy3x6xyyD．xxx

5525

6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的

面积关系，可以验证的数学公式是（）

2

A．ababa2b2B．aba22abb2

222

C．aba22abb2D．abab4ab

7．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列式子：

①3a43a49a24；

②2a2b2a2b4a2b2；

③3xy3xy9x2y2；

④xy3zxy3zx2y29z2．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

8．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算(abc)(abc)，必须先对式子进行变

形．下列变形正确的是（）

A．[(ac)b][(ac)b]B．[(ab)c][(ab)c]

C．[(bc)a][(bc)a]D．[a(bc)][a(bc)]

9．（24-25八年级下·北京·开学考试）如果x210xm是一个完全平方式，那么m为（）

A．25B．25C．100D．100

二、多选题

10．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（）

3

A．2x38x6B．(x2y)(2xy)2x23xy2y2

C．(xy)2x2y2D．(2x1)(2x1)4x21

11．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数，满足1，6，则（）

11

A．6B．2236C．42D．33198

12．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）下列计算正确的是（）

2

A．a5·a4a4a5B．3ab2ab18a3b4

C．(xy)2x2y2D．2xx2x12x32x22x

三、填空题

13．（24-25八年级上·广东广州·期末）以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图

案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为．

14．（2025·陕西西安·一模）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦

图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为5，现将这四个

直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为．

15．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）化简(2x3y)2(2x3y)2的值是．

16．（2025七年级下·全国·专题练习）根据整式与整式相乘，可以得到等式：

2

xyzx2y2z22xy2xz2yz．试利用这个等式解决以下问题：如图，VABC中，C90，分

别以AC、BC、AB为边向外侧作正方形．如果AC、BC、AB的长分别是a、b、c，且abc12，

abacbc37，那么这三个正方形的面积和是．

四、解答题

2

17．（24-25八年级上·山西临汾·期末）先化简，再求值：a2ba2ba2b2b，其中a2，b1．

2

18．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）计算：a1a3a3．

1x2

（2）解方程：1．

x33x

19．（24-25八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为x的

大正方形切去一个边长为y的小正方形，剩余部分的面积为x2y2，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方

2

式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为xy，乙的面积为yxy，丙的面

2

积为yxy，所以x2y2xy2yxyxyxy2y

x2y2xyxy，

【尝试应用】

（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：99212_____；

（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为x的

实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、

丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为x3y3_____；

【拓广探索】

x3y3

（3）若xy2，xy1，且x0，y0．求的值．

x3y3

20．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列等式：

2

123411231152；

2

2345122321112；

2

3456132331192；

2

4567142341292；

…

(1)根据上述等式，写出8910111_______=_______；

(2)试猜想n(n1)(n2)(n3)1是哪一个数的平方，并说明理由．

B能力提升

1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）“我们把多项式a22abb2及a22abb2叫做完全平方式．”如果一

个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去

这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可

以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值

等．

例如：分解因式：x22x3．

22

解：原式x2x14x14x12x12x2x1．

例如：求代数式2x24x6的最小值．

2

解：2x24x62x22x32x18，

2

因为：2x10，所以：当x1时，2x24x6有最小值，最小值是8．

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：m22m3______；

(2)当a，b为何值时，多项式a2b22a4b8有最小值，并求出这个最小值；

(3)已知a，b，c是VABC的三条边，且满足a2b28a6bc21810c32，试判断VABC的形状．

2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）我们知道形如x2abxab的二次三项式可以分解因式为

22

xaxb，所以x6x7x71x71x7x1x7x1

但小明在学习中发现，对于x26x7还可以使用以下方法分解因式．

22

x26x7x26x979x316x342

x34x34x7x1

教科书中这样写道：“形如a22abb2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常

做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这

种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分

解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．

例如：求代数式2x24x6的最小值．

2

解：2x24x62x22x32x22x1312x18．

22

因为x10，所以2x188

所以当x1时，2x24x6有最小值，最小值是8．

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：①x210x9；②x28xy7y2

(2)当x为何值时，多项式2x28x3有最大值？并求出这个最大值．

(3)利用配方法，尝试求出等式a22b22ab2b10中a,b的值．

3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考

阅读以下材料并完成相应任务．

换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的

条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子．可

以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到

解题的路径．

例：若x满足(3x)(1x)4，求(3x)2(1x)2的值．

解：令a3x，b1x，则ab2，ab4，

(ab)222，a22abb24，

a2b242412，

(3x)2(1x)2a2b212．

任务：

(1)若x满足(10x)(x5)4，求(10x)2(x5)2的值．

(2)如图，在长方形ABCD中，AB11cm，BC6cm,，E、F分别为边BC，DC上的点，且CECF，分

别过点E、F作边AD，AB的垂线段EG，FH交于点O，再以AG和DF为边向外作正方形AGPQ和正方

形DFMN．若长方形AHOG的面积为10cm2，求图中阴影部分的面积．

4．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）我们把多项式