2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第01讲 集合的概念（3个知识点+6个考点+过关测）（教师版）

第01讲集合的概念内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：6大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1集合的概念元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示.集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。知识点2元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做.熟记数学中一些常用的数集及其记法符号名称含义N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合N*或正整数集所有正整数组成的集合Z整数集全体整数组成的集合Q有理数集全体有理数组成的集合R实数集全体实数组成的集合注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。知识点3集合的分类与表示集合的分类：（1）按元素的数量分为有限集、无限集；（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.表示方法：（1）自然语言描述法.（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。（3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法．教材习题01用符号“”或“”填空：0N；N；0.5Z；Z；Q；R.解题方法是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则；是有理数，则；是无理数，则【答案】教材习题02判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．(1)北京各区县的名称；(2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m的同学．解题方法（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；（2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；（3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.【答案】(1)能；有限集；(2)能；无限集；(3)能；有限集.教材习题03求下列方程的解集：（1）；（2）解题方法（1），，解得或，故、、、，方程的解集为.（2），，，解得或，方程的解集为.【答案】（1）；（2）.考点一判断元素能否构成集合1．若，则a的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】因为，所以，或，或，当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，当时，得，此时集合为，当时，得无解，综上，.故选：A2．下列说法正确的是（）A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合C．数组成的集合中有7个元素D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为【答案】B【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；故选：B.3．下列给出的对象中能构成集合的是（

）A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数【答案】D【详解】只有选项有明确的标准，能构成一个集合．故选：.考点二判断是否为同一集合1．有下列说法：其中正确的说法是（

）（1）0与表示同一个集合（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；（3）方程的所有解的集合可表示为；（4）集合是有限集.A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）【答案】C【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误；对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确；对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误；对于（4），集合是无限集.故选：C2．下列四组中表示同一集合的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.故选：B3．集合与集合表示同一个集合吗？【答案】答案见解析【详解】是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．考点三判断元素与集合之间的关系（多选题）1．下列说法错误的是（

）A．集合用列举法表示为B．实数集可以表示为{为所有实数}或C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为D．集合与是同一个集合【答案】BD【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确；对于B，因为花括号本身就具有所有的意义，所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼，另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确；对于D，集合为的取值集合，为数集，集合表示抛物线上点的集合，为点集，所以两个集合不是同一个集合，故D错误．故选：BD2．若，的值为.【答案】2【详解】因为，所以或3或，当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.故答案为：2（多选题）3．已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（

）.A．. B．.C．若，则. D．若，则.【答案】BC【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，对于，因为，所以，因为，所以，故正确，对于，若，则，故错误，故选：.考点四集合中元素互异性的应用1．下列所给对象不能组成集合的是．（1）高一数学课本中所有的难题；（2）某班16岁以下的学生；（3）某中学的大个子；（4）某学校身高超过1.80米的学生．【答案】（1）（3）【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合；某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合；“大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合；某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合；故答案为：（1）（3）（多选题）2．若集合，则实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【详解】集合，则，解得，知BD符合.故选：BD.3．设集合.若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以.故选：C考点五集合的表示方法1．用符号或填空：3.1N，3.1Z，

3.1，3.1Q，3.1R.【答案】【详解】因为不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：；；；；.故答案为：，，，，.2．用列举法表示集合为．【答案】【详解】由，则，即，又，所以，则.故答案为：.3．把下列集合用另一种方法表示出来：(1)；(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；(3)；【答案】(1){且}(2)(3)【详解】（1）可以表示成{且}；（2）根据题意可列举得；（3）易知.考点六集合的分类（判断题）1．判断下列命题是否正确．（1）集合与集合表示同一集合；()（2）集合与集合表示同一集合；()（3）集合与集合不表示同一集合；()（4）集合与集合表示同一集合．()【答案】正确错误错误错误【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确；（2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误；（3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误；（4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误；故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.2．下列命题中正确的有（

）．①很小的实数可以构成集合；②R表示一切实数组成的集合；③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误；对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确；对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误；对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确．故选：C．3．（多选）下列集合是有限集的是（

）A．不超过π的正整数构成的集合B．平方后等于自身的数构成的集合C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合D．所有小于2的整数构成的集合【答案】ABC【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对；对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对；对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对；对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集.故选：ABC.知识导图记忆知识目标复核1．集合的概念。2．集合中元素的三大特征。3．元素与集合的关系。4．集合相等。5．集合的表示方法与分类。1．已知集合，，则的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【难度】0.94【知识点】列举法求集合中元素的个数【分析】根据给定条件，求出集合即可.【详解】集合，则，所以集合C的元素个数为3个.故选：C2．以下对象的全体不能构成集合的个数是（

）（1）高一（1）班的高个子同学；

（2）所有的数学难题；（3）北京市中考分数580以上的同学；

（4）中国古代四大发明；（5）我国的大河流；

（6）大于3的偶数．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【难度】0.94【知识点】判断元素能否构成集合【分析】由集合元素三要素逐个判断即可.【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合．（3）（4）（6）符合集合概念，故选：B3．现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.94【知识点】列举法表示集合【分析】将所得结果列举出来即可.【详解】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为.故选：A.4．已知集合，则的元素个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【难度】0.94【知识点】列举法求集合中元素的个数【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数.【详解】由题意可得：，可知有3个元素.故选：B5．集合，且，则有（

）A． B． C． D．不属于中的任意一个【答案】B【难度】0.85【知识点】判断元素与集合的关系【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，新以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数．6．已知，则实数的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可.【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性；若，不符合集合元素的互异性；若或，不符合集合元素的互异性；综上，.故选：C7．下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.94【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据的意义进行判断.【详解】根据的意义,,故选：C.8．设集合，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合.【详解】，所以，时，，解得或，即．故选：D．9．集合的另一种表示法是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定.【详解】因为，所以．又因为，所以，所以．故选：B.10．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（

）A．B． C． D．【答案】A【难度】0.94【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围.【详解】由且，得，解得．故选：A11．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【难度】0.94【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，