2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第03讲 集合的基本运算（5个知识点+6个考点+过关测）（教师版）

第03讲集合的基本运算

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读

作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB};

Venn图表示:

性质：①A∪A=A②A∪Φ=A③A∪B=B∪A

④AA∪B，BA∪B⑤A∪B=BAB

知识点2交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：

“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；

交集的Venn图表示：

性质：①A∩A=A②A∩Φ=Φ③A∩B=B∩A

④A∩BA，A∩BB⑤A∩B=AAB

知识点3全集与补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常

记作U.

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于

CACA{xxU且xA}

全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集，记作：U即U；

补集的Venn图表示：

性质：①CUU=Φ②CUΦ=U③CU(CUA)=A

④(CUA)∩A=Φ⑤(CUA)∪A=U

⑥CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)⑦CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

知识点4容斥原理

把含有限个元素的集合A叫做有限集，用Card（A）来表示有限集合A中元素的个数。

一般的，对任意两个有限集合A，B有card（AB）card（A）card（B）card（AB）.

知识点5区间及其相关概念

设a，b是两个函数，而且a＜b，我们规定：

（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b];

（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）;

（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)，(a,b];

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。

实数集R可以用闭区间表示为（−∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“−∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无

穷大”。

满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(−∞，b],(−∞，b)。

解题方法

由Axx0或x5，得

教材习题

01ð；

RAx0x5

已知集合Axx0或x5，Bxx2π，则

由Bxx2π，得

ðð

RA与RB的关系是．

ð

RBxx2π

ðð

所以RARB.

ðAðB

【答案】RR.

解题方法

教材习题02已知Mxx1，Nxx1，

已知集合Mxx1，Nxx1，则

则MNxx1或x1，

ð

RMN.

则ð

RMNx1x1.

【答案】x1x1.

解题方法

图形I表示的集合为ABC；

ð

图形Ⅱ表示的集合为ABUC；

教材习题

03ð

图形Ⅲ表示的集合为ACUB；

如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集

图形Ⅳ表示的集合为BCðA；

合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，U

图形表示的集合为

Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．Ⅴ

痧

AUBUC；

图形Ⅵ表示的集合为

痧

CUAUB；

图形Ⅶ表示的集合为

痧

BUAUC；

图形Ⅷ表示的集合为

ð

UABC.

【答案】见解析

考点一交集的概念与运算

1．若集合A{1,2,3,4,5,9}，B{x|x1A}，则AB（）

A．{1,3,4}B．{2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【详解】依题意得，集合B中的元素x满足x11，2，3，4，5，9，则x的可能取值为0，1，2，3，4，

8，即B{0,1,2,3,4,8}，所以AB{1,2,3,4}．

2．已知集合A2,1,2,3,4，B0,1,2,4，则AB的真子集个数是（）

A．3B．4C．7D．8

【答案】C

【详解】因为集合A2,1,2,3,4，B0,1,2,4，则AB1,2,4，则集合AB的元素个数为3，

所以AB的真子集个数是2317，

故选：C.

考点二并集的概念与运算

1．已知集合Ax|1x1,Bx|0x2，则AB（）

A．x|1x2B．x|0x2

C．x|0x1D．x|1x2

【答案】D

【详解】由题意可得ABx|1x2，

故选：D

2．设集合A2,1,0,1,3，B3,1,0,4，则AB的元素个数是（）

A．9B．8C．7D．2

【答案】C

【详解】由题意可得AB3,2,1,0,1,3,4，则AB有7个元素.

故选：C.

3．已知集合A{x|1x1}，B{x|0x2}，则AB（）

A．{x|1x2}B．{x|1x2}C．{x|0x1}D．{x|0x2}

【答案】B

【详解】因为集合A{x|1x1}，B{x|0x2}，所以AB{x|1x2}.

故选：B.

4．设集合Axx25x60，Bxa1x24x80，若ABA，则实数a的取值范围为．

1

【答案】aa或a1

2

a10,1

【详解】A2,3，且B为A的子集．当B时，2，解得a．当B时，若a10，

Δ432a102

即a1，此时a1x24x80的解为x2，即B2，符合题意．若a10，即a1，当

21122

432a10，即a时，此时x4x80，即x40，解得x4，即B4，不符合题

22

1411

意；当4232a10，即a时，由此时集合B2,3，得23，解得a，与a矛

2a152

1

盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为aa或a1．

2

考点三补集的概念与运算

ð

1．设集合S{x|x为平行四边形}，A{x|x为菱形}，B{x|x为矩形}，则SAB（）

A．{x|x为正方形}B．{x|x为菱形或矩形}

C．{x|x为不是正方形的平行四边形}D．{x|x为不是平行四边形的四边形}

【答案】C

ð为不是正方形的平行四边形

【详解】AB{x|x是正方形}，S(AB){x|x}．

ð

2．已知全集U{3,1,3,4}，集合A满足UA{3,4}，则A（）

A．{1,3}B．{3,1}

C．{1,3}D．{1,3}

【答案】A

ð

【详解】∵U{3,1,3,4}，UA{3,4}，∴A{1,3}.

故选：A.

ð

3．已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，则UAB，

ð

（UAB．

【答案】{x|x2或2x4}{x|x2或3x4}．

【详解】{x|x2或3x4}利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图：

ðð

则UA{x|x2或3x4}．又AB{x|2x2}，所以U(AB){x|x2或2x4}，

ð

UAB{x|x2或3x4}．

考点四交并补的混合运算

痧

1．已知全集U1,3,5,7,9,P1,3,5,Q3,5,7，则UPUQ.

【答案】1,7,9

痧

【详解】全集U1,3,5,7,9,P1,3,5,Q3,5,7，则UP7,9,UQ1,9，

痧

所以UPUQ1,7,9.

故答案为：1,7,9

ð

2．已知全集U{x|x4}，集合A{x|2x3}，B{x|3x2}，求AB，(UA)B.

ð

【答案】AB{x|2x2}，(UA)B{x|x2或3x4}

【详解】因为集U{x|x4}，集合A{x|2x3}，B{x|3x2}，

所以AB{x|2x2}

ð≤

UA{x|x2或3x4}

ð

(UA)B{x|x2或3x4}

3．已知集合A{x|3x4}，B{x|4axa3}，

ð

(1)若a1，求AB，ARB;

(2)若集合B是集合A的真子集，求实数a的取值范围．

ð

【答案】(1)AB3,2，ARB,43,．

3

(2),．

4

ð

【详解】（1）若a1，B4,2，RB,42,，

ð

所以AB3,2，ARB,43,．

（2）BA，

①当B时，此时4aa3，即a1；

②当B时，此时4aa3，即a1，

34a3

则，且两个不等式不能同时取等，解得a1，

a344

3

综上，实数a的取值范围为,．

4

4．已知a为实数，集合A1,4a,a26,B∣xx1xa0，全集UAB.

痧

(1)若a0，求UAUB；

(2)若ABB，求实数a的值.

痧

【答案】(1)UAUB0,4,6；

(2)a1,2,2.

【详解】（1）因为a0，所以A1,4,6,B1,0，UAB0,1,4,6，AB1，

痧

所以UAUBUAB0,4,6.

（2）当a1时，A1,3,5,B1，满足ABB，所以a1成立；

2

当a1时，A1,4a,a6,B1,a，可得4aa26且4a1且1a26，

141

得a，且a3，且a7，

2

因为满足ABB，所以BA，

所以a4a或aa26，得a2或a2或a3（舍去），

所以a2或a2；

综上，a1或a2或a2；

考点五容斥原理的应用

1．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该

班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（）

A．16人B．18人C．20人D．24人

【答案】A

【详解】设集合A“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为cardA；

集合B“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为cardB；

则card(A)12,card(B)8,card(AB)4，

则card(AB)card(A)card(B)card(AB)128416.

故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.

故选：A.

2．某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14，10.若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是

20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（）

A．4B．5C．16D．15

【答案】C

【详解】设仅第一天开车人数为a，仅第二天开车人数为b，两天都开车人数为x，

则由图知axbx1410，abx20，

两式相减得x4，ab16.

故选：C.

3．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，

并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电

影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观

看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动

都参加的人数为．

【答案】17

【详解】设集合A观看红色电影的学生，集合B参观烈士陵园的学生，

集合C参观红色教育基地的学生，

设三项活动都参加的人数为x，

则cardABCx，

则由题意可得

cardABCcardAcardBcardCcardABcardBCcardACcardABC，

即100524349241720x，

解得x17．

故答案为：17

考点六利用Venn图求集合

1．设U为全集，M，N，P都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（）

ð痧IUI

A．MNPB．MUNPC．UMUNPD．MNMP

【答案】B

ðð

【详解】阴影在M，P内，而不在N内，即在UN内，故阴影表示的集合是MUNP．

2．如图，已知矩形U表示全集，A､B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

ðð∩ðð

A．UABB．UABC．AUBD．BUA

【答案】D

【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素xA且xB，

ððð

所以阴影部分可表示为BUA或B(AB)或AB(A).

故选：D.

3．设全集为U，则图中的阴影部分可以表示为（）

ð痧

A．U(AB)B．(UA)(UB)

ðð

C．U(AB)D．A(UB)

【答案】A

【详解】依题意，阴影部分不在集合A中，也不在集合B中，因此不在集合AB中，

痧

则阴影部分表示为U(AB)(UA)(UB)，A正确，BCD错误.

故选：A

（多选题）4．下图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A．BACB．ðUBAC

ð

C．BUACD．ABBC

【答案】AD

【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为BAC或者ABBC.

故选：AD.

知识导图记忆

知识目标复核

1．并集

2．交集

3．全集与补集

4．容斥原理

5．区间及其相关概念

1．已知集合Mx∣x0，集合Nx∣x1，则（）

A．0MB．MNM

C．NMD．MNR

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断两个集合的包含关系

【分析】根据集合中的元素确定集合M,N的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案.

【详解】因为集合Mx∣x0，集合Nx∣x1，

所以NM，则MNN,MNM，故A，B，D项错误，C项正确.

故选：C.

2．下列五个写法，其中错．误．写法的个数为（）

①{0}{0,2,3}；②{0}；③{0,1,2}{1,2,0}；④NR；⑤0I

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算

【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断.

【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，①错，应该是00,2,3.

对于②，是任意非空集合的真子集，②对.

对于③，集合是它本身的子集，③对.

对于④，“”是用于元素与集合的关系，④错.

对于⑤，是用于集合与集合的关系的，⑤错.

所以错误的写法有①④⑤，共3个.

故选：C.

3．已知集合A1,2,3,4，Bx2x2,xZ，那么AB（）

A．0,1B．1C．2,1,0,1D．2,1,1

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】求出集合B，利用交集的定义可求得集合AB.

【详解】因为集合A1,2,3,4，Bx2x2,xZ2,1,0,1，

因此，AB1.

故选：B.

4．已知集合Ax2x4，Bx2x5，若aA，且aB，则a的取值范围是（）

A．x2x4B．x4x5

C．x4x5D．x4x5

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据补集运算确定集合或参数

Îð

【详解】若aA，且aB，则aBA，即ax4x5.

5．设全集UR，集合A{x|0x2}，B{x|x1}，则图中阴影部分表示的集合为（）

A．{x|x1}B．{x|x1}

C．{x|0x1}D．{x|1x2}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

∩ðð

【分析】根据Venn图可得阴影部分表示的集合为AUB，利用补集运算求出UB，由交集运算求出

∩ð

AUB．

∩ð

【详解】由Venn图知所求阴影部分的集合为AUB，

ð

B{x|x1}，UB{x|x1}，

又A{x|0x2}，

ð

AUBx1x2．

故选：D．

6．已知集合Ax|2x6，Bx|x2k1,kN，则AB（）

A．1,1B．1,1,3C．1,3,5D．1,1,3,5

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、常用数集或数集关系应用

【分析】先求出集合B，再结合交集的定义求解即可.

【详解】因为Bx|x2k1,kN1,1,3,5,7,，Ax|2x6，

所以AB1,1,3,5.

故选：D．

9

7．对于集合M，N，定义MN{x|xM且xN}，MNMNNM，设Axx,xR，

4

Bx|x0,xR，则AB（）

99

A．,0B．,0

44

99

C．,0,D．,0,

44

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】并集的概念及运算、集合新定义

【分析】根据题设定义求出AB和BA，再求出AB即可．

【详解】对于集合M，N，定义MN{x|xM且xN}，MNMNNM，

9

设Axx,xR，Bx|x0,xR，

4

9

则AB{x|x0}，BAxx，

4

99

所以ABx|x0xx,0,.

44

故选：C．

痧

8．已知集合A{x|1x1}，B{x|0x2}，则RARB（）

A．{x|x1或x2}B．{x|x0或x1}

C．{x|x1或x0}D．{x|x1或x2}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交并补混合运算

痧

【分析】由RARBRAB求解即可.

【详解】因为A{x|1x1}，B{x|0x2}，所以AB{x|0x1}，

痧

所以RARBRAB{x|x0或x1}，

故选：B.

9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，

剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知Axx3n2,nN*，Bxx5n3,nN*，

Cxx7n2,nN*，若xABC，则下列选项中不符合题意的整数x为（）

A．23B．38C．128D．233

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】交集的概念及运算、集合新定义

【详解】解法1因为23372543732，所以23ABC，故A符合；因为38753，

所以38C，故B不符合；因为128342252537182，所以128ABC，故C符合；

233377254637332，所以233ABC，故D符合.

解法2因为xABC，所以xA且xC，则x3k2且x7m2（k，mZ），所以x23k7m，

即x221aaZ，所以x21a221b23bZ.又xB，所以x5c35d23（c，dZ），即

x2321b5d，即x23105eeZ，所以x105e23.当e0时，x23；当e1时，x128；当e2

时，x233.

（多选题）10．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若MNN，则下列判断错误的是（）

痧ðððð

A．UMUNB．MUNC．UMUND．MUN

【答案】ABD

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、判断两个集合的包含关系

ðð

【详解】根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知UMUN．

11．［多选题］已知集合Axx2px10，Mxx0，若AM，则实数p的可能取值为（）

A．3B．2C．0D．2

【答案】CD

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合A再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合A进行分

类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可.

【详解】解法一：若p3，x23x10因为3241150，故方程有两个根，又因为两根之积

为1所以两根同号，且两根之和为3故方程有两个正根，故不满足AM，A错误；

若p2，则Axx22x101，不满足AM，B错误；

若p0，则A，满足AM，C正确；

若p2，则Axx22x101，满足AM，D正确.

解法二：当A时，p240，所以2p2，满足AM；

当A时，此时p,22,，

若方程有两个相同实数根，则p2，

显然当p2时，方程根为x1，此时不满足AM，

当p2时，方程根为x1，此时满足AM，

若方程有两个不同实数根x1，x2，此时x1x20，所以x1，x2同号，且AM，所以x1x2p0且

p240，所以p2．

综上可知，实数p的取值范围是pp2；故CD正确

故选：CD

22ðð

12．已知集合Ax|xax12b0和Bx|xaxb0，满足RAB2，ARB4，则

实数a．

8

【答案】

7

【难度】0.85

【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数

222ab0,

【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得

2B2A4A4Bx2x4BA2

44a12b0,

8

a,

42ab0,7

即解得

4a3b0,12

b.

7

ð

13．已知Ax|x1或x3，Bx|m2xm2，若(RA)B，则m的取值范围是.

【答案】m|3m5

【难度】0.65

【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数

ðð

【分析】求出RA，由(RA)B建立不等式即可得解.

ð

【详解】由Ax|x1或x3，可得RA1,3，

ð

因为(RA)B，Bx|m2xm2，

所以3m2且1m2，

解得3m5，

故答案为：m|3m5

14．已知集合M1,0,1,Nyyx2，则MN．

【答案】{0,1}

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算

【详解】因为Nyyx2yy0，所以MN{0,1}．

15．已知集合Mx|3x4,Nx|x22x30,Px|ax2a1．若P(MP)，求实数a

的取值范围．

5

【答案】a|a

2

【难度】0.65

【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算

【分析】由已知可得PM，分P和P两种情况列不等式分别求解即可.

【详解】因为PMP，所以PM，

当P时，则a2a1，解得a1，符合题意；

5

当P时，则3a2a14，解得1a；

2

5

综上，实数a的取值范围为a|a.

2

16．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为TAMm，若集合A中

只有一个元素，则TA0.

(1)若A2,3,4,5，求TA；

若，，，，求TTT的

(2)A1,2,3,,9Aiai,bi,ciAAiAji,j1,2,3,ijA1A2A3AA1A2A3

最大值，并写出取最大值时的一组A1，A2，