2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第04讲 充分条件与必要条件（3个知识点+5个考点+过关测）（教师版）

第04讲充分条件与必要条件

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1充分条件与必要条件

1、命题

（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。

判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题。

（2）中学数学中许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条

件，q称为命题的结论。

2、充分条件与必要条件

命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题

推出关系pqpq

是的充分条件不是的充分条件

条件关系pqpq

q⇒是p的必要条件q不是p的必要条件

知识点2充要条件

(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果pq，⇒那么p与q⇒互为充要条件⇔．

(2)若pq，但q⇔p，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若p⇒q，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

知识点3从集合角度看充分、必要条件

若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的

充分⊆不必要条件

若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的

必要⊆不充分条件

若A=B，则p，q互为充要条件

若AB或AB，但ABA且ABB

则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解题方法

（1）一方面若“a是有理数”，则必

定有“a是实数”；

另一方面若“a是实数”，则不一定有

“a是有理数”，因为“a可能是无理

数”，

所以“a是有理数”是“a是实数”的充

分条件但不是必要条件；

（2）若x240，则x2，

教材习题01

所以“x240”是“x2”的必要

用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分

条件但不是充分条件；

条件”或“充要条件”填空：

（3）因为x240当且仅当x2，

（1）“a是有理数”是“a是实数”的；

而x2当且仅当x2，

（2）“x240”是“x2”的；

2

2所以“”是“x2”的充要

（3）“x40”是“x2”的；x40

条件；

（4）“ABB”是“A”的．

（4）一方面设A0,B0,1，

则AB00,10,1B，但

A0，

这说明了“ABB”不是“A”

的充分条件，

另一方面若A，则

ABBB，

这说明了“ABB”是“A”的

必要条件，

结合以上两方面可知“ABB”是

“A”的必要条件但不是充分条

件.

【答案】充分条件但不是必要条件必要条件但不是充分条件充要条件必要

条件但不是充分条件

解题方法

（1）当xN时，一定有xQ成立，

1

但反之不一定成立，如xQ，

2

1

但N，故填充分条件；

2

教材习题02

（）当时，2，

用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空：2x223220

反之当2时，或

（1）“xN”是“xQ”的；x3x20x1

2x2，故填充分条件；

（2）“x2”是“x3x20”的；

（）当时，不一定成立，

（3）“x2”是“x3”的；3x2x3

x如x52，但53，反之x3

（4）“0”是“xy0”的．

y时，x2一定成立，故填必要条件；

x

（4）当0时，说明x，y同号，

y

即xy0成立，反之当xy0时，

x

0一定成立，故填充要条件.

y

【答案】充分条件充分条件必要条件充要条件

解题方法

教材习题03

（1）当aN时，则aZ，∴“aN”

判断下列说法是否正确：

是“aZ”的充分条件，∴正确；

（1）“aN”是“aZ”的充分条件；()

（2）当a5,b0时，满足ab0，

（2）“ab0”是“a2b20”的充要条件；()

但a2b20不成立，

（3）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分

∴“ab0”不是“a2b20”的充要

条件；()

条件，∴错误；

（4）“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相

（3）当两个三角形全等时，则两个

等”是“两个三角形全等”的充要条件．()

三角形相似，

∴“两个三角形全等”是“两个三角形

相似”的充分条件，∴正确；

（4）当两个三角形中有两边及其中

一边的对角分别相等，两个三角形不

一定全等，

∴“两个三角形中有两边及其中一边

的对角分别相等”不是“两个三角形

全等”的充要条件，∴错误．

【答案】正确错误正确错误

考点一判断命题的真假

1．下列命题为假命题的是（）

A．正方形既是矩形又是菱形B．若x3或x7，则x3x70

C．一个奇数是两个整数的平方差D．当x4时，2x10

【答案】D

【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，x3或x7能得到

x3x70；C是真命题，因为当nZ时，任意奇数2n1n2(n1)2，所以一个奇数是两个整数的

平方差；D是假命题，x4不满足2x10．

2．下列语句是命题的有（）

A．求证：y=x2的对称轴是y轴B．你是高一学生吗？

C．若a45，则tan1D．三角形的内角和是180

【答案】CD

【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题．

（多选题）3．下列语句中，真命题有（）

A．若xy1，则x，y互为倒数

B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形

C．平行四边形是梯形

D．若a2b2，则|a||b|

【答案】AD

【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C

中平行四边形不是梯形，故C错误．

考点二充分条件的判定及性质

1．已知集合A{x|x3}，集合B{x|xa}，若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围是

【答案】(,3]

【详解】因为“xA”是“xB”的充分条件，

所以AB，

所以a3，

故答案为：(,3].

2．已知集合P＝x2＜x＜4，Qx3m2x5m＋2，mR．若P的充分条件为Q，则实数m的取值

范围为．

2

【答案】m|m2或0m

5

【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集，

当3m25m2时，即m2时，Q，满足题意；

3m222

当3m25m2，即m2时，由题意得，解得0m，

5m245

2

综上，m的取值范围是m|m2或0m．

5

3．已知集合Ax|a2x2a1，Bx|0x7.

(1)若a1，求AB；

(2)若xA是xB的充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)ABx|1x7

(2){a|a3或2a3}.

【详解】（1）当a1时，Ax|1x3，Bx|0x7，

∴ABx|1x7.

（2）∵xA是xB的充分条件，∴AB.

当A时，a22a1，即a3，满足AB；

当A时，a3，

a20

由AB可得2a17，解得2a3.

a3

综上，实数a的取值范围为{a|a3或2a3}.

考点三必要条件的判定及性质

（多选题）1．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（）

A．若x1，则x21

B．若x2y2，则xy

C．若mn为无理数，则m，n为无理数

D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形

【答案】AB

【详解】若x1，则x21，即x21是x1的必要条件，故A正确；由“x2y2”可以推出“xy”，故B

正确；取m1，n2，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定

是菱形，故D错误.

2．若“xa”是“x6”的必要条件，则实数a的取值范围是.

【答案】{a|a6}

【详解】由题意，“若x6，则xa”为真命题，

故实数a的取值范围是{a|a6}.

故答案为：{a|a6}

3．设集合Ax|x23x20，Bx|x22a1xa250.

(1)若AB2，求实数a的值；

(2)若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)1或3

(2)(,3]

【详解】（1）由x23x20x1x20，所以x1或x2，故集合A1,2.

因为AB2，所以2B，将x2代入B中的方程，

得a24a30，解得a1或a3，

当a1时，Bx|x2402,2，满足条件；

当a3时，Bx|x24x402，满足条件，

综上，实数a的值为1或3.

（2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以BA.

22

对于集合B，4a14a58a3.

当0，即a3时，B，此时BA；

当0，即a3时，B2，此时BA；

当0，即a3时，要想有BA，须有BA1,2，

2a13

此时：，该方程组无解

2.

a52

综上，实数a的取值范围是(,3].

考点四充要条件的证明

1．已知a，bR，则“ab1”是“a1b10”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】由ab1推不出a1b10，例如a5，b1；由a1b10可得a1，b1或a1，b1，

1

当a1，b1时不能推出ab1，例如a，b1，所以“ab1”是“a1b10”的既不充分也不

2

必要条件.

ð

2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

【答案】C

【详解】1.判断充分性

ð

已知BUC，所以BC.

又因为AC，即A中的元素都在C中.而B中的元素都不在C中，

所以A和B没有公共元素，即AB.

ð

由此可知，当“存在集合C使得AC，BUC”时，能推出“AB”，

ð

所以“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充分条件.

2.判断必要性

已知AB，即A和B没有公共元素.此时取集合CA，

ð

那么对于全集U，UC就是由所有不属于A但属于U的元素组成的集合.如图，

ð

因为A和B没有公共元素，所以B中的元素都不属于A，即BUC，

同时AA（即AC）.所以当“AB”时，

ð

能推出“存在集合C使得AC，BUC”，

ð

所以“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的必要条件.

ð

则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充分必要条件.

故选：C.

2

3．“一元二次方程ax2bxc0有实数根”是“b4ac0a0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

a0

2

【详解】若一元二次方程axbxc0有实数根，则2；

b4ac0

当a0时，ax2bxc0为一元二次方程，且b24ac0时，ax2bxc0有两个实数根.

故选：C.

考点五探究命题为真的充要条件

1．已知集合A1,a,B1,2，则“a2”是“AB1,2”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由a2，可得A1,2，又B1,2，所以AB1,2，

由AB1,2,A1,a，得a2，

因此“a2”是“AB1,2”的充要条件．

故选：A

2．等式3a5b3a5b成立的充要条件是（）

A．ab0B．ab≤0

C．ab0D．ab0

【答案】B

【详解】因为3a5b3a5b，

两边平方得：9a230ab25b29a230ab25b2，

所以abab，即ab≤0，

所以等式3a5b3a5b成立的充要条件是ab≤0.

故选：B

3．已知集合M1，集合Nx0x2，则“xN”是“xMN”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为MNx0x2N，

所以xNxMN，

故“xN”是“xMN”的充要条件.

故选：C．

4．设集合M∣ttm2n2,m,nZ．

(1)证明：“t1M,t2M”是“t1t2M”的充分不必要条件；

(2)写出“偶数2k(kZ)属于M”的一个充要条件并证明．

【答案】(1)证明见解析

(2)k为偶数；证明见解析

∣222222

【详解】证明：（1）设集合Mttmn,m,nZ中的元素t1m1n1,t2m2n2，所以

222222222222

t1t2m1n1m2n2m1m2m1n2n1m2n1n2

2222222222

m1m2n1n2m1n2n1m2m1m2n1n2m1n2n1m2．因为m,nZ，所以

m1m2n1n2,m1n2n1m2Z，所以t1M,t2M，则t1t2M成立，故“t1M,t2M”是“t1t2M”的充分

条件．

2222

若t1t2318，则t1t2M，可取t12,t24，设2mn(mn)(mn)．因为m,nZ，所以mn

与mn有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以mn与mn均为偶数，所以(mn)(mn)应为4的倍数，

而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以2M，故“t1M，t2M”是“t1t2M”的不必要条件．

综上所述，“t1M,t2M”是“t1t2M”的充分不必要条件．

（2）“偶数2k(kZ)属于M”的一个充要条件是k为偶数．

充分性：因为k为偶数，所以设k2a(aZ)，所以2k4a，而(a1)2(a1)24a，所以2k(a1)2(a1)2

满足集合M∣ttm2n2,m,nZ，所以偶数2k(kZ)属于M．

必要性：因为偶数2k(kZ)属于M，所以2km2n2(mn)(mn)．因为m,nZ，所以mn与mn有

相同的奇偶性．因为2k(kZ)为偶数，所以mn与mn均为偶数，所以(mn)(mn)应为4的倍数，2k

必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．

知识导图记忆

知识目标复核

1．充分条件与必要条件

2．充要条件

3．从集合角度看充分、必要条件

1．“x1”是“x21”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可.

【详解】当x1时，x21，且当x1时，x21，即当x21时，x1不一定成立，

所以“x1”是“x21”的充分不必要条件，

故选：A

2．“ab”是“a2b2”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】既不充分也不必要条件

【分析】举反例a1,b2和a2,b1可得出.

【详解】若a1,b2，则满足ab，但不满足a2b2，故ab无法得到a2b2；

若a2,b1，则满足a2b2，但不满足ab，故a2b2无法得到ab，

故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件.

故选：D

3．若“x2axb0”是“x1”的充要条件，则ab的值为（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】根据充要条件求参数

1ab0a2

【详解】由题意得2，解得，所以ab2．

Δa4b0b1

4．已知Ax1x2，Bx2xa0，若xB是xA的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

（）

A．aa4B．aa4C．aa2D．aa2

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】根据必要不充分条件求参数

aa

【详解】因为Bxx，所以2，即a4．

22

5．若1x1是xa或x3的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A．aa1B．aa1C．aa2D．aa1

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件

【详解】解法1设Ax1x1，Bxxa或x3，由题意可知AB和BA都不成立，所以a1．

解法2若a1，则x1x1xxa或x3，故不成立，排除A，C；若a2，则

x1x1xxa或x3，故不成立，排除D．

6．命题A：x是无理数，命题B：x2是无理数，则命题A是命题B的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.

【详解】x是无理数，x2不一定是无理数，如x2，x22；而x2是无理数，x一定是无理数，

故命题A是命题B的必要不充分条件.

故选：B

7．“x2-9=0”是“x3”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【分析】根据充分必要条件关系判断.

【详解】因为x290x3，

所以x2-9=0不能推出x3，而由x3可以推出x2-9=0，

所以x2-9=0是x3的必要不充分条件.

故选：B.

8．设a，b，c分别是VABC的三条边，且abc，则VABC为锐角三角形的充要条件是（）

A．a2b2c2B．a2b2c2C．a2b2c2D．a2b2c2

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】充要条件的证明

【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意abc，则CBA，故证明如下：必要性，

在VABC中，假设C是锐角，作ADBC，D为垂足，如图1．显然

AB2AD2DB2AC2CD2(CBCD)2AC2CD2CB2CD22CBCD

AC2CB22CBCDAC2CB2，即c2a2b2．充分性，在VABC中，因为a2b2c2，所以C不是直

角．假设C为钝角，如图2，作ADBC，交BC的延长线于点D．则

AB2AD2BD2AC2CD2(BCCD)2

AC2CD2BC2CD22BCCDAC2BC22BCCDAC2BC2，即c2b2a2，与a2b2c2矛

盾．故C为锐角，则A，B都为锐角，即VABC为锐角三角形．

（多选题）9．在下列条件中，能成为“使二次方程ax2bxc0的两根为正数”的必要不充分条件是（）

A．b24ac0B．ac0

bc

C．ab0且ac0D．b24ac0，0，0

aa

【答案】ABC

【难度】0.65

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【详解】若二次方程ax2bxc0的两根为正数，则b24ac0，ab0，ac0，故满足其中一个或两

个不能推出二次方程ax2bxc0的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程ax2bxc0的

两根为正数的必要不充分条件.

ð

10．已知集合Ax2a1xa1，Bx0x1．若“xA”是“xRB”的充分不必要条件，则实数

a的取值范围为．

【答案】aa1或1a2

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、补集的概念及运算

【详解】ðBxx0或x1．因为，所以集合不是空集，即，解

RxAAx2a1xa12a1a1

ð

得a2．由题意知集合A是集合RB的真子集，即a10或2a11，解得a1或a1．综上所述，实

数a的取值范围为aa1或1a2．

11．若“xm或xm2”是“1x4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．

【答案】mm4或m3

【难度】0.94

【知识点】根据必要不充分条件求参数

【详解】由必要不充分条件的定义可知xm或xm2¿1x4，1x4xm或xm2，所以

m4或m21，即m4或m3．

12．从符号“”“¿”“”中选择适当的一个填空：

ð痧

（1）xUABxUAUB；

ð痧

（2）xUABxUAUB.

【答案】

【难度】0.65

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、并集的概念及运算、充要条件的证明

【分析】利用并集、交集、补集的定义即可推出.

ð

【详解】（1）若xUAB，则xAUB，则xA且xB，

ðð痧

则xUA且xUB，则xUAUB，

ð痧

故xU(AB)xUAUB；

痧ðð

若xUAUB，则xUA且xUB，则xA且xB，

ð

则xAUB，则xU(AB)，

痧ð

故xUAUBxU(AB)；

痧ð

综上所述，xUAUBxU(AB).

ð

（2）若xUAB，则xAB，则xA或xB，

ðð痧

则xUA或xUB，则xUAUB，

ð痧

故xUABxUAUB；

痧ðð

若xUAUB，则xUA或xUB，则xA或xB，

ð

则xAB，则xUAB，

痧ð

故xUAUBxU(AB)；

痧ð

综上所述，xUAUBxUAB.

故答案为：；

13．已知集合Pxa1x2a1，Qx2x5.

ð

(1)若a4，求RPQ；

(2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)x2x5

(2)aa2

【难度】0.65

【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数

【分析】（）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合ðPQ；

1a4PR

（2）分析可知P是Q的真子集，分P、P两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数a的

不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.

ð

【详解】（1）当a4时，集合Px5x9，可得RPxx5或x9，

ð

因为Qx2x5，所以RPQx2x5.

（2）若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，

当a12a1时，即a0时，此时P，满足P是Q的真子集；

2a1a1

当P时，则满足2a15，解得0a2，

a12

当a0时，P1，此时P是Q的真子集，合乎题意；

当a2时，Px3x5，此时P是Q的真子集，合乎题意.

综上，实数a的取值范围为aa2.

14．已知集合Axa1x32a，Bxx22x80．

(1)若a0，求AB;

(2)若ABB，求实数a的取值范围；

(3)若xB是xA的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1){x|1x3}

1

(2),；

2

(3){a|a1}．

【难度】0.65

【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据交集结果求集合或参数

【分析】1利用交集运算即可；

2利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；

3把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.

【详解】（1）当a0时，Ax1x3，Bxx2