【数学】山西省2024-2025学年高二下学期期中联合考试试题（解析版）

山西省2024-2025学年高二下学期期中联合考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一､二册，选择性必修第三册第六､七章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.3 B.27 C.81 D.18【答案】C【解析】因为，所以.故选：C2.设等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为等比数列，所以也为等比数列，则有，设，则，所以，故.故选：D.3.已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知的周长为.因为所以，故的周长为.故选：A4.若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（）A.12 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即.故选：B.5.已知函数，则的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知函数定义域为，因为，所以，令，得，所以，即，所以的单调递增区间为，故选：A.6.设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为双曲线的实轴长为，所以，因为双曲线的离心率为，所以，则，所以，双曲线的方程为，因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，则，所以，，因此，椭圆的方程为.故选：D.7.函数的极小值点为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】.令，得；令，得.可知在，上单调递增，在上单调递减，所以极小值点为1.故选：B.8.包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（）A.180 B.246 C.168 D.192【答案】D【解析】当甲乙相邻且与丙不相邻时，先将其余三人全排列，有种排法，再将甲乙组合与丙插空，有种排法，则有种排法；当甲与乙相邻且乙与丙相邻，则有种排法，综上可得一共有种排法.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.过点向曲线作切线，切线方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】设切点，因为，则，则切线方程为，又，所以，又切线过点，所以，整理得到，即，所以或，当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，故选：BD.10.定义：表示点到曲线上任意一点距离的最小值.已知是圆上的动点，圆，则的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】易知两圆的位置关系为内含，记为坐标原点，圆的半径为1，结合图像易知，则.符合条件的有ABC，故选：ABC11.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为，所以被2024除所得的余数为，所以.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______，______.【答案】1；【解析】令，得.令，得，所以，故.故答案为：1，13.已知随机事件满足，则______.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：14.近年来，国内中，短途旅游人数增长显著，2024年全年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力.甲、乙、丙三位同学打算去上海、成都、西安、南京四个地方旅游，每位同学只去一个地方，则上海有人去的情况有______种.【答案】37【解析】上海有人去可以分为1个人去，2个人去，3个人去三类情况.当只有1个人去上海时，有种不同的情况；当有2个人去上海时，有9种不同的情况；当有3个人去上海时，有1种情况.故有人去上海共有种不同的情况.故答案为：37四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，.（1）求直线与所成角余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面所成角的余弦值.解：（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，所以，所以直线与所成角的余弦值为；（2）设平面的法向量为，因为，所以令，得.设直线与平面所成的角为，因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为；（3）设平面的法向量为，因为，所以令，得，设平面与平面所成的角为，，故平面与平面所成角的余弦值为.16.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.（1）求的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和.解：（1）由题意知，解得或，当时，，，故，；当时，，，故，，所以或；（2）因为，所以.因为，所以，两式相减得，故.17.数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户,统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图.（1）估计中国大模型用户年龄的第60百分位数.（2）为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼.①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列.解：（1）AI大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在内.设AI大模型用户年龄的第60百分位数为，则，解得，所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40.（2）由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在内和内的分别有3人和4人.①记至少有1名年龄在内用户获得幸运大礼为事件，则，所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为.②的所有可能取值为0，1，2，3.，，，，所以分布列为012318.已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为．（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围．解：（1）由题意知，、两点关于轴对称，设点在轴右侧，则，即点，将点的坐标代入抛物线方程可得，解得，故抛物线的方程为.（2）不妨设点、分别在第一、二象限，直线的方程为，设点、，联立得，，由韦达定理可得，，由得，则直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，同理可知，直线的斜率为，直线的方程为，联立直线、的方程得，解得，则，故点，因为点在圆上，所以，且，显然成立，过点作轴的垂线，垂足为点，，，，令，因为，则，，所以，令，则函数在区间上单调递增，在上单调递减，故当时，取最小值，且最小值为，当时，取最大值，且最大值为.因此，的取范围是.19.已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.（1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.（2）已知函数.①若是上凹函数，求实数的取值范围；②若在内有两个不同的零点，证明：.解：（1）因为，定义域为，所以，.因为是上的凸函数，所以在上恒成立，即当时，恒成立.函数图象的对称轴为直线，当，即时，只需时，即可，所以，当，即时，只需时，即可，所以，综上可得.（2）①因为，，所以，.因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则.当时，，则，单调递