2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第六节　二项分布、超几何分布与正态分布

第六节二项分布、超几何分布与正态分布课标要求1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征；了解正态分布的均值、方差及其含义.1.伯努利试验与二项分布（1）伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验；（2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）.2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.提醒超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.3.正态分布若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2.（1）正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.（2）正态分布的三个常用数据①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.1.对于二项分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.2.对于超几何分布X～H（n，M，N），E（X）＝nMN，D（X）＝nMN·（1－MN3.对于正态分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.（√）（2）若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.（√）（3）超几何分布的总体里只有两类物品.（√）（4）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（×）（5）正态分布是对连续型随机变量而言的.（√）2.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则E（X）＝2，D（X）＝1.解析：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为12，且每次是否正面朝上相互独立，所以X～B（4，12），所以E（X）＝4×12＝2，D（X）＝4×12×3.（人A选三P78例5改编）在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P（X＝2）＝310解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P（X＝2）＝C32C4.（人A选三P87练习2题改编）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），则c＝43解析：随机变量X服从正态分布N（3，1），∵P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），∴2c－1+c+32＝5.（人A选三P80习题2题改编）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是0.2916.解析：设事件A＝“恰好有一次未击中目标”，则P（A）＝C41×0.93×（1－0.9）＝0.291n重伯努利试验与二项分布（定向精析突破）考向1n重伯努利试验（1）下列事件是n重伯努利试验的是（D）A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标（2）在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为13解析：（1）选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验.（2）设事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C40p0（1－p）4＝6581，所以1－p＝23，解题技法n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略（1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；（2）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n，p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n考向2二项分布某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有14的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为13；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为2（1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；（2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望.解：（1）设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则P（A）＝14，P（A）＝3设“学生肥胖”为事件B，则P（B｜A）＝13，P（B｜A）＝2由全概率公式可得P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜A）P（A）＝13×14＋29×3所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为14（2）由题意可知：X～B（3，14），且X的可能取值为0，1，2，3，则有：P（X＝0）＝（1－14）3＝P（X＝1）＝C31×14×（1－14）P（X＝2）＝C32×（14）2×（1－14P（X＝3）＝（14）3＝1所以X的分布列为X0123P272791X的期望E（X）＝3×14＝3解题技法二项分布的期望与方差的求解策略（1）如果ξ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量；（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人.（1）求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差；（2）为了增加节目效果，改变游戏规则.当一抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？解：（1）由题意知抽中金蛋人数X服从二项分布，即X～B（3，13），即X所有可能的取值为0，1，2，3P（X＝0）＝（23）3＝8P（X＝1）＝C31×13×（23）2＝P（X＝2）＝C32×23×（13）2＝P（X＝3）＝（13）3＝1所以X的分布列为X0123P8421中奖人数的方差D（X）＝3×13×23＝（2）若改变选择，记获得奖金数为Y，则Y所有可能的取值为0，400，则P（Y＝400）＝23×1＝2P（Y＝0）＝1－P（Y＝400）＝13所以改变选择时，获得奖金数的数学期望E（Y）＝0×13＋400×23＝若不改变选择，记获得奖金数为Z，则Z可能的取值为50，200，则P（Z＝50）＝23，P（Z＝200）＝1所以不改变选择时，获得奖金数的数学期望E（Z）＝50×23＋200×13＝因为E（Y）＞E（Z），所以抽奖人应改变选择.超几何分布（师生共研过关）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计计算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为13.（1）求n的值；（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.解：（1）由题知，共有n＋6个机房，抽取2个机房有Cn＋62种方法，其中全是小机房有C62种方法，因此全是小机房的概率为解得n＝4.即n的值为4.（2）X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝0）＝C60C43P（X＝1）＝C61C42P（X＝2）＝C62C41P（X＝3）＝C63C40则随机变量X的分布列为X0123P1311则X的数学期望E（X）＝0×130＋1×310＋2×12＋3×1解题技法求超几何分布的分布列的3个步骤（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；（3）用表格的形式列出分布列.某校为了提高教师身心健康，号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；（2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E（X）；（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望E（解：（1）设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，则P（AB）＝C41C21C62＝815，所以P（B｜A）＝P（AB）P（即在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率为89（2）依题意知X服从超几何分布，且P（X＝k）＝C2kC42－kC62（k＝0，1，2），P（X＝0）＝C42C62＝25，P（X＝所以X的分布列为：X012P281E（X）＝0×25＋1×815＋2×115（3）设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，P（X1＝3）＝P（X1＝6）＝12，E（X1）＝3×12＋6×12P（X2＝6）＝P（X2＝9）＝12，E（X2）＝6×12＋9×12有X名女教师参加活动，则男教师有2－X名参加活动，Y＝92X＋152（2－X）＝15－3X，所以E（Y）＝E（15－3X）＝15－3E（X）＝15－3×23即两名教师得分之和的期望为13分.正态分布（师生共研过关）某市为了增强市民的安全意识，由市安监局组织举办了一次安全知识网络竞赛，满分为100分，得分不低于85分的为优秀.竞赛结束后，从参与者中随机抽取100个样本，统计得样本平均数为76，标准差为9.假设该市共有10万人参加了此次网络竞赛，且得分X服从正态分布N（μ，σ2）.若以所得样本的平均数和标准差分别作为μ，σ的近似值，试估计该市参加此次网络竞赛得分优秀者的人数.参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.68.解：记“一名市民参加竞赛活动得分为优秀”为事件A，则P（A）＝P（X＞85）＝P（X＞76＋9）＝P（X＞μ＋σ），所以P（A）＝1－P（μ－故该市参加这次竞赛活动得分优秀者约有10×0.16＝1.6万人.解题技法解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.1.某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等解析：D对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦高，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D.2.若随机变量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝0.2.解析：由题意，P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）3＝0.657，解得p＝0.3，则P（0＜Y＜2）＝0.3，所以P（Y＞4）＝P（Y＜0）＝0.5－P（0＜Y＜2）＝0.2.1.已知随机变量ξ～B（12，p），且E（2ξ－3）＝5，则D（3ξ）＝（）A.83 B.C.12 D.24解析：D因为E（2ξ－3）＝2E（ξ）－3＝2×12p－3＝5，所以p＝13，故D（3ξ）＝32D（ξ）＝9×12×13×（1－13）2.某电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率均是23，则这名选手能参加决赛的概率是（A.80243 B.C.76243 D.解析：D由题意可知五场中获胜的场次X～B（5，23），选手能参加决赛的概率P＝C54×（23）4×（1－23）＋C55×（23）5×（3.某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员人数，则P（X＜2）＝（）A.715 B.C.1415 D.解析：C由题意知X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，故P（X＝0）＝C72C102＝715，P（X＝1）＝C71·C31C102＝715，于是P（X＜2）＝P4.已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）＝3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P（Y＞0）＝p，则P（0＜Y＜2）＝（）A.23 B.C.14 D.解析：D由E（X）＝4p＝3，得p＝34，则P（Y＞0）＝34，则P（0＜Y＜1）＝34－12＝14，则P（0＜Y＜2）＝2P（0＜Y5.〔多选〕（2024·泰安一模）随机变量X～N（μ，σ2）且P（X≤2）＝0.5，随机变量Y～B（3，p），若E（Y）＝E（X），则（）A.μ＝2 B.D（X）＝2σ2C.p＝23 D.D（3Y）＝解析：AC因为X～N（μ，σ2）且P（X≤2）＝0.5，所以μ＝2，故E（X）＝μ＝2，D（X）＝σ2，A正确，B错误.因为Y～B（3，p），所以E（Y）＝3p，因为E（Y）＝E（X），所以3p＝2，解得p＝23，C正确.D（3Y）＝9D（Y）＝9×3×23×（1－23）＝6，D错误.故选A6.数学教师从6道习题中随机抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是45解析：设X表示解答正确的习题的个数，由题意知X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝C42C217.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.则质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是516解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点（2，3），所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C53（12）3（12）2＝C53（8.（2024·赣州模拟）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为23，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，m，其中0＜m＜1（1）若m＝23.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A，由题设P（A）＝56×C21×23×13＋16×C22故该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为49（2）分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为ξ，η”，由题设知：ξ～B（3，23），所以E（ξ）＝3×23＝η的所有可能取值为0，1，2，3，P（η＝0）＝16×13×（1－m）＝P（η＝1）＝56×13×（1－m）＋16×23×（1－m）＋16×1P（η＝2）＝56×23×（1－m）＋56×13×m＋16×2P（η＝3）＝56×23×m＝10m故η的分布列为η0123P17105从而E（η）＝0×1－m18＋1×7－6m18＋2×10由E（η）＞E（ξ),0<m<1，得2m+32>29.〔多选〕袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（）A.X～B（4，23） B.P（X＝2）＝C.E（X）＝83 D.D（X）＝解析：ACD从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球的概率相等，又取到黑球记1分，取到白球记0分，4次取球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～B（4，23），故A正确；P（X＝2）＝C42（23）2（13）2＝827，故B错误；因为X～B（4，23），所以E（X）＝4×23＝83，故C正确；D（X）＝4×210.（新定义）柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X～C（γ，x0），其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f（x）＝1π（1+x2）.已知X～C（1，0），P（｜X｜≤3）＝23，P（1＜X≤3）＝112，则P（解析：因为f（－x）＝1π（1+x2）＝f（x），所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，由P（｜X｜≤3）＝23，可得P（0＜X≤3）＝13，因为P（1＜X≤3）＝112，所以P（0＜X＜1）＝13－112＝14，因此P（－1＜X＜0）＝14，11.（2025·江西名校联盟）已知某客运轮渡最大载客质量为4000kg，且乘客的体重（单位：kg）服从正态分布N（60，100）.（1）记X为任意两名乘客中体重超过70kg的人数，求X的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；（2）设随机变量Xi（i＝1，2，…，n）相互独立，且服从正态分布N（μ，σ2），记ξ＝∑i=1nXi－nμnσ，则当n≥20时，可认为ξ服从标准正态分布N（0，附：若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜η＜μ＋σ）＝0.6826；若ξ服从标准正态分布N（0，1），则P（ξ＜2）＝0.977；0.15872≈0.0252，0.84132≈0.7078，0.1587×0.8413≈0.1335.解：（1）由乘客的体重（单位：kg）服从正态分布N（60，100）可得μ＝60，σ＝10，则可得P（X＞70）＝P（X＞μ＋σ）＝1－P（μ－σ＜X＜即任意一名乘客体重大于70kg的概率为0.1587，则X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝（1－0.1587）2≈0.708，P（X＝1）＝C21（1－0.1587）×0.1587≈0.P（X＝2）＝0.15872≈0.025，所以X的分布列为X012P0.7080.2670.025期望值为E（X）≈0×0.708＋1×0.267＋2×0.025＝0.317.（2）设Xi为第i（