2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第四节　列联表与独立性检验

第四节列联表与独立性检验课标要求1.掌握分类变量的含义.2.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.3.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.1.分类变量与列联表（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量；（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，X表示相互对立的两个事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互对立的两个事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝0，1）的频数，n是样本量，其样本频数列联表（称为2×2列联表）如表所示：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d2.等高堆积条形图（1）等高堆积条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征；（2）如果通过直接计算或等高堆积条形图发现aa＋b和cc3.独立性检验（1）概念：利用随机变量χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验；（2）χ2的计算公式：χ2＝n（ad（3）独立性检验的基本思想：独立性检验的基本思想类似于反证法，要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即H0：两个分类变量相互独立成立.在该假设下所构造的随机变量χ2应该很小.如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则断言H0不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据推断H0不成立；（4）基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立（其中xα为α的临界值）；（5）应用独立性检验解决实际问题的主要环节①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；③根据检验规则得出推断结论；④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.（6）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.（√）（2）等高堆积条形图可初步分析两分类变量是否有关系，而独立性检验中χ2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小.（√）（3）χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.（√）（4）在2×2列联表中，若｜ad－bc｜越小，则说明两个分类变量之间关系越强.（×）（5）独立性检验的方法就是用的反证法.（×）2.观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量关系最强的是（）解析：B通过等高堆积条形图可知，选项B中y1，y2的差异最大，故两个分类变量关系最强.故选B.3.第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行.为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，下表为“性别与会俄语”的2×2列联表，则a－b＋d＝28.性别是否会俄语合计会俄语不会俄语男ab20女6d合计1850解析：由2×2列联表得a＋6＝18，所以a＝12，因为a＋b＝20，所以b＝8，因为6＋d＝50－20＝30，所以d＝24，所以a－b＋d＝12－8＋24＝28.4.已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到χ2≈4.328，χ2的部分临界值表如下：α0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879则最大有95%的把握说变量X，Y有关系（填百分数）.解析：因为χ2≈4.328＞3.841＝x0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X，Y有关系.所以最大有95%的把握说变量X，Y有关系.分类变量与列联表（基础自学过关）1.〔多选〕根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是（）A.吸烟患肺病的频率约为0.2B.吸烟不患肺病的频率约为0.8C.不吸烟患肺病的频率小于0.05D.吸烟与患肺病无关系解析：ABC从等高堆积条形图中可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率.所以吸烟与患肺病有关，D错误；由题图得，A、B、C都正确.2.假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表如下：XY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联关系可能性最大的一组为（）A.a＝9，b＝3，c＝2，d＝1B.a＝9，b＝2，c＝3，d＝1C.a＝2，b＝3，c＝1，d＝9D.a＝3，b＝1，c＝2，d＝9解析：D根据χ2的计算公式及a＋b＋c＋d＝15可得，当n相等时，｜ad－bc｜越小，说明X与Y之间的关系越弱；｜ad－bc｜越大，说明X与Y之间的关系越强，经过逐一验证，可知选D.3.（2024·江西模拟）在某次独立性检验中，得到如下列联表：AA总计B2008001000B180a180＋a总计380800＋a1180＋a最后发现，两个分类变量没有关联，则a的值可能是（）A.200 B.720C.100 D.180解析：B∵两个分类变量没有关联，∴2001000≈180180+a，解得a≈练后悟通两个分类变量之间关联关系的定性分析方法（1）频率分析法：比较列联表中aa＋b与cc＋d的大小，粗略地判断分类变量X和Y之间有无关系.（2）图形分析法：常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征，将列联表中的两行数据用高度相同的两个条形表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高堆积条形图.两个深色条的高相差越明显，说明两个分类变量之间关系越强.分类变量关联性的判断（师生共研过关）某科研机构为了研究中年人秃发与患心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表：患心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得到χ2≈15.968，因为χ2＞10.828，则断定中年人秃发与患心脏病有关系.那么这种判断出错的可能性为（）A.0.001 B.0.05C.0.025 D.0.01解析：A因为χ2＞10.828＝x0.001，因此判断出错的可能性为0.001，故选A.解题技法如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算得χ2＝6.023，则市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是（）A.90% B.95%C.99% D.99.5%解析：B结合选项，由临界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为95%.独立性检验的应用（师生共研过关）（2024·保定二模）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.（1）根据图中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与成绩的中位数（中位数精确到0.01）；（2）规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”.强化训练是否优秀合计优秀非优秀强化训练前强化训练后合计将上面的表格补充完整，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(α0.050.0100.0050.001xα3.8416.6357.87910.828解：（1）强化训练后的平均成绩约为55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4（分）.由于前三组概率之和为0.04＋0.16＋0.2＝0.4，设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1，解得x＝3.125，所以中位数约为83.13.（2）零假设为H0：跳水运动员是否优秀与强化训练无关.补充完整的表格为强化训练是否优秀合计优秀非优秀强化训练前4060100强化训练后6040100合计100100200则χ2＝200×（40×40－60×60）2100×100×100×100＝8＞7.879＝x0解题技法独立性检验的具体步骤（1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；（2）根据样本数据整理出2×2列联表，利用公式计算χ2的值；（3）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值xα；（4）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2≤xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.（2025·八省联考）为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400（1）求s，t；（2）记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，给出P的估计值；（3）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？附：χ2＝n（α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：（1）由列联表知s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150.（2）由列联表知，未服用药物A的动物有s＝180只，未服用药物A且患疾病B的动物有80只，所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为80180＝4所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为P＝49（3）零假设为H0：药物A对预防疾病B无效，由列联表得到χ2＝400×（100×70－150×80）2180×220×250根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.01，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能认为药物A对预防疾病B有效.1.（2025·安徽一模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.174.根据α＝0.005的独立性检验，结论为（）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.变量x与y独立B.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005C.变量x与y不独立D.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005解析：A因为χ2＝7.174＜7.879＝x0.005，所以依据α＝0.005的独立性检验，我们认为变量x与y独立，故选A.2.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：是否喜欢体育锻炼性别合计男女喜欢ab73不喜欢c25合计74则a－b－c＝（）A.7 B.8C.9 D.10解析：C根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21.∴a－b－c＝52－21－22＝9.3.对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下的列联表，则χ2约为（）班级数学成绩合计优秀不优秀甲班113445乙班83745合计197190A.0.600 B.0.828C.2.712 D.6.014解析：Aχ2＝90×（11×37－34×4.为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行药物实验，分别得到如下等高堆积条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A，B对该疾病均没有预防效果解析：B从等高堆积条形图可以看出，服用药物A后未患病的比例比服用药物B后未患病的比例大得多，预防效果更好.5.〔多选〕某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下所示的列联表，经计算χ2≈4.762，则可以推断出（）性别满意不满意男3020女4010A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3B.调查结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C.认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，此推断犯错误的概率不超过0.05D.认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，此推断犯错误的概率不超过0.01解析：AC对于A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3030+20＝35，故A正确；对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4040+10＝45＞35，故B错误；因为χ2≈4.762＞3.841＝x0.05，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，此推断犯错误的概率不超过0.05，故C6.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生情况，调查数据如下表：性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断是否主修统计专业与性别有无关系，根据表中的数据，计算得到χ2≈4.844（保留三位小数），所以判定能（填“能”或“不能”）在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否主修统计专业与性别有关.解析：由题意可知，χ2＝50×（13×20－7×10）223×27×20×30≈4.8447.〔多选〕晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，某高中M的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中N的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息.有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中高中M有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（）A.高中M的前50名学生中有60%的学生学习效率高B.高中N的前50名学生中有40%的学生学习效率高C.有99.9%的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关D.认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关的犯错概率超过0.05解析：AC高中M的前50名学生中有30人学习效率高，即3050×100%＝60%，所以A正确.高中N的前50名学生中有10人学习效率高，即1050×100%＝20%，所以B错误.这100名学生中学习效率高的学生有100×0.4＝40（人），学校学习效率高低合计学习效率高学习效率不高高中M302050高中N104050合计4060100χ2＝100×（30×40－10×20）240×60×50×50＝503≈16.667＞10.828＝x0.001，有99.9%8.〔多选〕针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的45，女生中喜欢航天的人数占女生人数的35，若依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数可能为（A.25 B.45C.60 D.75解析：BCD设男生的人数为5n（n∈N*），根据题意列出2×2列联表如下所示：是否喜欢航天性别合计男生女生喜欢航天4n3n7n不喜欢航天n2n3n合计5n5n10n则χ2＝10n×（4n×2n－3n×n）25n×5n×7n×3n＝10n21，∵依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，∴χ2≥3.841，即10n21≥3.841，得n≥8.0661，∴9.某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程，采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有50名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过0.001.解析：由题意，可得如下2×2列联表：考试情况培训方式合计集中培训分散培训一次考试通过503080一次考试未通过52025合计5550105则χ2＝105×（50×20－5×30）255×50×80×25≈13.793＞10.（情境创新）为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天AQI值（从气象部门获取）构成60组成对数据（xi，yi）（i＝1，2，…，60），其中xi为当天参加户外健身运动的人数，yi为当天的AQI值，并制作了如下散点图：环保小组发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析.用直线x＝100与y＝100将散点图分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（如图），统计得到各区域的点数分别为5，10，10，35，并初