2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第11讲 函数的概念及其表示（教师版）

第11讲函数的概念及其表示

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第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都

有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A

知识点2函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子

集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依

据．

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．

知识点3分段函数与复合函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函

数．

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．

(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

(3)各段函数的定义域不可以相交.

复合函数：若yf(u)(uC,yB)，ug(x)(xA,uC'C)，则yf(g(x))(xA,yB)，叫

函数yf(u)与ug(x)的复合函数。

解题方法

教材习题

01（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合

判断下列对应关系是否为集合A到

A到集合B的函数．

集合B的函数．

（2）对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系

(1)AR,Bxx0，

f:xyx2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2

f:xyx；与其对应，故是集合A到集合B的函数．

(2)AZ,BZ，f:xyx2；（3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中

(3)AZ,BZ，f:xyx；有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数．

（4）对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系

(4)Ax1x1,B0，

f:xy0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它

f:xy0.

对应，故是集合A到集合B的函数．

【答案】(1)不是集合A到集合B的函数

(2)是集合A到集合B的函数

(3)不是集合A到集合B的函数

(4)是集合A到集合B的函数．

解题方法

1

（1）解：由函数fx，

x21

11

可得f1，

教材习题02(1)212

1

fx111

2，

已知x1f021fx2.

01215

f1,f0f2

(1)求和；（2）解法1：因为x20，可得

求函数fx的值域．1

(2)x211恒成立，可得01，

x21

所以fx(0,1]，

即函数fx的值域为(0,1].

解法2：假设t是所求值域中的元素，

则关于x的方程应该有解，即

1

x21应该有解，

t

11t

从而10，即0，解得

tt

0t1，所以函数fx的值域为

(0,1]．

11

【答案】(1)f1，f01，fx.

25

(2)(0,1]

解题方法

（1）因为fx定义域为

(,0)(0,)，而gx的定义域

为R，

所以两函数的定义域不同，故不能表

示同一函数；

教材习题03

（2）对于C，易知函数fxx和

下列哪一组中的函数fx与gx是同一个函数？

gxx2的定义域为R，

(1)fxx0，gx1；

而fxx的值域为R，

(2)fxx，gxx2；

gxx2x的值域为0,，

x

1,x0,,x0,

(3)fxgxx两函数值域不同，故不能表示同一函

1,x0,

1,x0.数；

（3）易知函数fx和gx的定义

域为R，值域为{1,1}，

x

,x01,x0

且g(x)x，所以

1,x0

1,x0

是同一函数.

【答案】(1)不是

(2)不是

(3)是

考点一函数的定义

1、下列表示函数图象的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】在函数的基本概念中，自变量x和因变量y需要一一对应，且对于每个x值，仅有一个y值对应，

所以选项ABD均不符合.

故选：C.

2、如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（）

A．y不是n的函数

B．y是n的函数，定义域是{1,2,3,4,}

C．y是n的函数，值域是{1,2,3,4,,9}

D．y是n的函数，但该函数值域不确定

【答案】B

【详解】对于给定的任意一个n的值，显然有唯一的y值与之对应，所以y是n的函数，故A错误；n的取

值为正整数，所以定义域是1,2,3,4,，故B正确；根据定义可知值域为0,1,2,3,4,,9，故C错误，D

错误．

（多选题）3．下列说法正确的是（）

A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应

B．函数的定义域和值域一定是无限集合

C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素

D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同

【答案】AC

【详解】A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对

应；B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数fx1,x1

的定义域为1，值域为1；C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素

与之对应；D错误，当x的值不同时，y的值可能相同，如函数y=x2，当x1或x1时，y1．

考点二判断两函数是否相等

1、下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

x21

A．y=x-1和y=B．y=x0和y=1

x1

2x

22(x)

C．f(x)=x和g(x)=(x+1)D．f(x)=和g(x)=2

x(x)

【答案】D

x21

【详解】对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是(,1)(1,)，A不是；

x1

对于B，yx0定义域是(,0)(0,)，函数y=1定义域是R，B不是；

对于C，fxx2和gx(x1)2对应法则不同，C不是；

(x)2x

对于D，f(x)=和g(x)=2定义域都是(0,)，并且对应法则相同，D是.

x(x)

故选：D

2、判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：

x2

（1）yx，y；（2）y=x2，y=x2，x[0,)；

x

（3）yx，st；（4）f(x)1，g(x)1.

【答案】答案见解析.

x2

【详解】（1）函数yx的定义域为R，y的定义域为{x|x0}，

x

所以两者不是同一个函数.

（2）函数y=x2的定义域为R，y=x2，x[0,)的定义域为[0,)，定义域不同，所以两者不是同一个

函数.

（3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.

（4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.

3．下列函数中哪个与函数yx是相同的函数？

（1）y(x)2；

（2）y3x3；

（3）yx2；

x2

（4）y.

x

【答案】（1）不是相同函数；（2）是相同函数；（3）不是相同函数；（4）不是相同函数.

【详解】（1）中，函数y(x)2的定义域为(0,)，函数yx的定义域为R，定义域不同，所以不是相同

的函数；

（2）中，函数y3x3x与yx的定义域与对应法则都相同，所以是相同的函数；

（3）中，函数yx2x与yx的对应法则不同，所以是不是相同的函数；

x2x,x0

（4）中，函数y与yx的定义域与对应法则都不相同，所以是不是相同的函数.

xx,x0

4．判断下列各组函数是否为同一个函数：

x2

（1）f(x),g(x)x；

x

x41

（2）f(x)，g(x)x21；

x21

（3）f(x)x2,g(x)x．

【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是

【详解】（1）因为f(x)的定义域为{x|x0},而g(x)的定义域为R,所以f(x)与g(x)不是同一个函数；

（2）因为f(x)与g(x)的定义域均为R,所以定义域相同,

22

x41x1x1

又f(x)x21g(x),所以f(x)与g(x)是同一个函数；

x21x21

（3）因为f(x)与g(x)的定义域均为R,所以定义域相同,

又f(x)x2|x|xg(x),所以f(x)与g(x)不是同一个函数

考点三定义域

1

1、函数f(x)的定义域为（）

3x1

11

A．{x|x}B．{x|x3}C．{x|x}D．{x|x3}

33

【答案】C

1

【详解】由3x10，得x，

3

11

所以函数f(x)的定义域为{x|x}.

3x13

故选：C.

2、若集合A{x∣yx},Bx∣x21，则AB（）

A．{1,1}B．{1}C．{1}D．[0,)

【答案】C

【详解】因为集合Axyx0,，集合Bx∣x211,1，

所以AB{1}.

故选：C

11

3、已知函数f(x)，则函数yf(x)f(13x)的定义域为（）

x2

A．2x11B．2,11C．2,15D．(2,11)

【答案】D

11

【详解】由f(x)有意义，可得x20，解得x2.

x2

要使函数yf(x)f(13x)有意义，

x2

则，解得2x11.

13x2

对函数yf(x),xA，定义域为自变量x的取值范围A，

其中集合A为非空数集，

所以函数yf(x)f(13x)的定义域为(2,11).

故A错误，D正确.

故选：D.

f(2x)

4．已知函数yf(2x1)的定义域为[1,2]，函数y的定义域是．

x2

【答案】3,2U2,1

【详解】因为函数yf(2x1)的定义域为[1,2]，

所以1x2，所以32x15，

f(2x)32x53x1

对于函数y，有，

x2x20x2

f(2x)

即函数y的定义域为3,22,1.

x2

故答案为：3,22,1

fx10

5．已知yfx的定义域为0,5，函数yx2的定义域为．

x1

【答案】1,22,4

【详解】要使函数有意义，须有：

0x151x4

x10x1，所以1x2或2x4.

x20x2

所以所求函数的定义域为：1,22,4.

故答案为：1,22,4

6、（1）已知函数fx的定义域为0,1，求fx2的定义域；

（2）已知函数f2x1的定义域为0,1，求fx的定义域.

【答案】（1）{x∣1x0，或0x1}；（2）{x∣1x3}

【详解】（1）fx的定义域为0,1，

2

要使fx有意义，须使0x21，即1x0或0x1，

函数fx2的定义域为{x∣1x0，或0x1}.

（2）Qf2x1的定义域为0,1，即其中的函数自变量x的取值范围是0x1，

令t2x1，1t3，ft的定义域为1t3，

函数fx的定义域为{x∣1x3}.

考点四值域

2

x11

1、取整函数x不超过x的最大整数，如1.22,2.42，已知函数fx，则函数

x212

yfx的值域是（）

A．2,1,0,1B．2,1,0

C．0,1,2D．1,2,3

【答案】C

2

x11

【详解】因为fx，

x212

33

当x0时，f0,f01；

22

2

x1132x32

fx

当x0时，221，

x122x12x

x

111

又x2x2，当且仅当x，即x1时取等号，

xxx

35

所以fx,fx1或2；

22

32x32

fx

当x0时，21，

2x12x

x

111

又x2x2，当且仅当x，即x1时取等号，

xxx

13

所以fx,fx0或1，

22

综上，得yfx的值域为0,1,2

故选：C.

（多选题）2．下列函数中值域为0,的是（）

A．yxB．yx22x1

1

C．yD．yx1

x

【答案】AB

【详解】对于A，函数yx的定义域为0,，值域也为0,，A正确；

2

对于B，函数yx22x1x10，值域为0,，B正确；

1

对于C，函数y的定义域为,00,，值域为,00,，C错误；

x

对于D，函数yx1的定义域为R，值域为1,，D错误．

故选：AB．

3、函数yx22x3(0x3)的值域．

【答案】0,4

【详解】函数yx22x3的对称轴为x1，开口向下，

且x0时，y3；x1时，y4；x3时，y0，

则函数yx22x3(0x3)的最小值为0，最大值为4，

所以yx22x3(0x3)的值域为0,4.

故答案为：0,4.

x1

4．函数y的最大值为．

x28

1

【答案】/0.25

4

【详解】原函数可以化简为yx2x8y10在xR时有解，

当y0时，x1，

当y不等于0时，Δ14y8y10，

11

解得y且y不等于0，

84

1

故所求最大值为.

4

1

故答案为：.

4

x24x3

5．函数y的值域是.

x21

【答案】{y∣y1且y1}

x24x3

【详解】函数y中，x210，则x1且x1，

x21

(x1)(x3)x344

于是y1，由0，得y1；由x1，得y1，

(x1)(x1)x1x1x1

所以原函数的值域为{y∣y1且y1}.

故答案为：{y∣y1且y1}

6．函数y1x1x的值域为．

【答案】2,2

1x0

【详解】由题意可得，解得1x1，即函数定义域为[1,1]，

1x0

则y21x1x21x2221x2，

当x0时，x2取最小值0，故y2221x2取到最大值4，

则函数y1x1x的最大值为2；

当x1时，x2取最大值1，故y2221x2取到最小值2，

则函数y1x1x的最小值为2；

故答案为：2,2.

7、求下列函数的值域：

(1)y2x1,x{1,3,5,7}；

2x1

(2)y．

x3

【答案】(1){3,7,11,15}

(2)(,2)(2,)

【详解】（1）因为x{1,3,5,7}，代入求得y3,7,11,15，所以函数的值域为{3,7,11,15}.

2x12(x3)777

（2）由函数y2，因为0，可得y2，

x3x3x3x3

所以函数的值域为(,2)(2,)．

考点五对应法则

1x2

1、已知函数f1xx0，则fx（）

x2

11

A．21x0B．21x1

x1x1

44

C．21x0D．21x1

x1x1

【答案】B

【详解】令t1x，则x1t，因为x0，则t1，

2

11t1

ft221,t1，

1tt1

1

所以fx21x1．

x1

故选：B．

（多选题）2．已知函数fx的定义域为R，且yfxxfy，则fx的解析式可以为（）

A．fx0B．fxxC．fx2xD．fxx2

【答案】ABC

【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为R.

对A：yfxy00，xfyx00，所以yfxxfy成立，故A符合题意；

对B：yfxyx，xfyxy，所以yfxxfy成立，故B符合题意；

对C：yfxy2x2xy，xfyx2y2xy，所以yfxxfy成立，故C符合题意；

对D：yfxyx2x2y，xfyxy2xy2，所以yfxxfy不是恒成立，故D不合题意.

故选：ABC

（多选题）3．已知函数fx的图象如图所示，则下列解析式正确的是（）

3333

A．fxx10x2B．fx1x1x1

2222

3

x,x0,1,

23x,x0,4,

C．fxD．f2x

363x,x(4,8]

3x,x(1,2]

2

【答案】BC

3

x,x[0,1],

332

【详解】当0x1时，yx；当1x2时，y3x，所以f(x)即

223

3x,x(1,2],

2

1

3x,x0,,

33332

f(x)|x1|(0x2)，A错误，C正确；则f(x1)|x|(1x1)，f(2x)B

22221

33x,x,1,

2

正确，D错误．

4、设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1]时，f(x)x(x1)．则当x(1,2]时，

f(x)．

【答案】2x26x4

【详解】当x(1,2]时，x1(0,1]，此时f(x1)(x1)[(x1)1](x1)(x2)．又f(x1)2f(x)，所

以f(x)f[(x1)1]2f(x1)，故f(x)2(x1)(x2)2x26x4．

5、求下列函数的解析式：

(1)已知函数fx1x24x，求函数fx的解析式；

(2)已知fx是二次函数，且满足f01，fx1fx2x，求fx.

【答案】(1)fxx22x3xR

(2)fxx2x1

【详解】（1）已知fx1x24x，xR，

2

令x1t，tR，则xt1，代入上式得ftt14t1t22t3，

即fxx22x3xR.

（2）设fxax2bxca0，

由f01，得c1，

由fx1fx2x，

2

得ax1bx11ax2bx12x，

整理得2axab2x，

2a2a1

所以，所以，

ab0b1

所以fxx2x1.

6．求下列函数的解析式．

(1)已知f(x)x22x，求f(2x1)；

(2)已知f(x1)x2x，求f(x)；

1

(3)已知f(x)2f3x2，求f(x)．

x

【答案】(1)f2x14x28x3

(2)f(x)x24x3(x1)

2

(3)f(x)x2

x

【详解】（1）用代入法，因为f(x)x22x，

所以f(2x1)(2x1)22(2x1)4x28x3；

（2）解法一（配凑法）：

因为f(x1)(x1)24(x1)3，且x11，

所以函数的解析式为f(x)x24x3(x1)；

解法二（换元法）：

令tx1，则t1，且xt1，

所以f(t)(t1)22(t1)t24t3t1，

故函数的解析式为f(x)x24x3(x1)；

1

（3）利用方程组法：f(x)2f3x2，

x

①

113

用代换式中的x，得f2f(x)2，

xxx

①②

12

由联立消去f，得f(x)x2，

xx

①②

2

故函数的解析式为f(x)x2．

x

考点六分段函数与复合函数

x21x0

1、已知函数fx，则ff0（）

2xx0

A．2B．0C．1D．3

【答案】A

2

【详解】ff0f01f1212.

故选：A.

x1(x1),

2、已知fx则函数Fxffxfx的值域为（）

x1(x1),

33

A．(1,)B．[1,)C．,D．,

22

【答案】B

x1,x1

【详解】由题意知，f(x)，

x1,x1

当x1时，fxx1是单调递减的一次函数，f10，取值范围是M0,，

当x0时，fxx1是单调递增的一次函数，取值范围是N0,,

所以fx的值域为MNM0,.

令tf(x)，设yFx，则yFxftt，t[0,)，

1,0t1

得y，

2t1,t1

当0t1时，y1；当t1时，y的取值范围是1,，

所以y的取值范围是1,，即F(x)的值域为[1,).

故选：B

1

,x11

3、已知函数fx4，则f（）

1024

2f2x,x1

A．128B．256C．512D．1024

【答案】B

112110101

【详解】由题意，f2f2f2f2

10245122561024

1

210f11024256.

4

故选：B.

2x1,x0

4、已知fx2，则f1.

x1,x0

【答案】2

2x1,x0

【详解】因为fx2，

x1,x0

2

所以f1112,

故答案为：2

2x1,x0

5．已知函数fx1，若f2x13，则x的值为．

,x0

x

31

【答案】或

23

1

【详解】当2x10，即x时，

2

由f2x13得22x113，

3

所以x；

2

1

当2x10，即x时，

2

11

由3，解得x.

2x13

31

故答案为：或.

23

x2x025

．已知函数，若，则．

6fx2fffmfm

xx04

9

【答案】

4

25

【详解】设fmk，fkn，fn，

4

255

当n0时，fnn2，nfk，k无解，不符合题意；

42

2517

当n0时，fnn2，nfk；

44

21717

当k0时，fkk，kfm，m无解，不符合题意；

42

179

当k0时，fkk2，kfm．

44

9

故答案为：

4

2x1,x1

7、已知函数fx2

x3,x1

1

(1)求ff

2

(2)若fx6，求实数x的值

【答案】(1)1

(2)3

11

【详解】（1）因为1，所以f112，

22

1

所以fff2431，

2

1

ff1；

2

5

（2）当x1时，fx2x16，解得x1（舍）；

2

当x1时，fxx236，解得x3，又因x1，所以x3.

综上：实数x3.

考点七函数图象与图表求函数值

1、已知函数yfx的对应关系如下表，函数ygx的图象是如下图的曲线ABC，其中

A1,3,B2,1,C3,2，则f[g2]（）

x123

fx230

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【详解】由ygx的图象与yfx的对应法则表可知g21,f12，所以fg2f12．

1

2、若函数fx的部分图象如图所示，则f5（）

ax2bxc

2111

A．B．C．D．

31263

【答案】D

【详解】根据函数图象可知x2和x4不在函数fx的定义域内，

1

因此x2和x4是方程2的两根，可得fx，

axbxc0ax2x4

又易知f31，可得a1，

11

即fx，所以f5.

x2x43

故选：D

3、我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这

件事吻合得最好？（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【详解】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D

吻合最好.

故选：D

axb

4、（多选）函数f(x)的图象如图所示，则（）

(xc)2

A．a0B．b0C．c0D．abc0

【答案】AB

【详解】函数的定义域为{x∣xc}，

由图可知c0，则c0，

b

由图可知f(0)0，所以b0，

c2

b

由f(x)0，得axb0,x，

a

bb

由图可知0，得0，所以a0，

aa

综上，a0,b0,c0．

故选：AB.

（多选题）5．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都

是2km.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程ykm与时间xmin的关系，下列结论正确的

是（）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B．甲从家到公园的时间是30min

1

C．当0x30时，y与x的关系式为yx

15

D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢

【答案】BCD

【详解】由已知得，甲在公园休息的时间是10min，

所以甲同学从家出发到乙同学家走了50min，A错；

由图像知，甲从家到公园的时间是30min，B正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长，

而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确；

当0x30时，设ykxk0，

1

则230k，解得k，C正确.

15

故选：BCD

（多选题）6．对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量y（单位：百分

比）与测试时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（）

A．测试结束时，该手机剩余电量为85%

B．该手机在5h时电量为0

C．该手机在0h3h内电量下降的速度比3h5h内下降的速度更快

D．该手机在5h6h进行了充电操作

【答案】ACD

【详解】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是85%，A选项正确；

B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为30%，B选项错误；

100%50%

C选项，由图像，0h3h内电量下降的速度平均为16.7%/h，

3

50%30%

3h5h内下降的速度平均为10%/h，前者更快，C选项正确；

2

D选项，由于5h6h期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确.

故选：ACD

7、已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x123

f(x)231

g(x)321

（1）则当g(f(x))2时，x．

（2）则f(g(2))．

【答案】13

【详解】根据函数f(x)和g(x)表格中的数据，可得：

由g22和g(f(x))2，可得fx2，所以x1；

又由g22，所以f(g(2))f23.

故答案为：1；3.

知识导图记忆

知识目标复核

1．函数的定义

2．函数三要素

3．相等函数

4.分段函数与复合函数

1．已知函数f(x)的定义域为R，2f(x2)f(1x)x2，则f(1)f(2)（）

221

A．1B．C．D．

333

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】求函数值

【分析】借助赋值法，分别令x0及x1，可得求得答案.

【详解】令x0，得2f(2)f(1)0①

令x1，得2f(1)f(2)1②

由②①