2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第17讲 指数函数及其性质（教师版）

第17讲指数函数及其性质内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：6大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数知识点2常用结论（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.（3）当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论．（4）当0a1时，x,y0；当a1时x,y0．当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．（5）指数函数与的图象关于y轴对称．函数①；②；③；④的图象如图1-3-1所示，则0＜b＜a＜1＜d＜c；即x(0，+∞)时，（底大幂大）；x(－∞，0)时，．（6）特殊函数：函数的图象如图1-3-2所示．知识点3指数式大小比较方法（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．（3）分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．（4）比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．教材习题01求函数在区间上的最大值和最小值．解题方法解：令，则原函数转化为，当，即时，函数取得最小值为；当，即时，函数取得最大值为.【答案】最大值为9；最小值为.教材习题02（1）从图中你能抽象出指数函数的哪些性质？（2）有的同学认为“理解了此图就掌握了指数函数的性质”，谈谈你对该观点的看法．

解题方法（1）根据指数函数的图象知，指数函数的定义域为R；值域为；图象都过点；当时，函数在R上单调递减，当时，函数在R上单调递增；当时，若，则，若，则；当时，若，则，若，则；底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称；几个指数函数图象在y轴右侧，具有底数越大，图象越高的特点.（2）因为指数函数的图象直观地反映了指数函数的性质，所以理解了指数函数的图象就掌握了指数函数的性质..【答案】见解析教材习题03已知，比较，，的大小．解题方法解：因为，所以，又因为，所以指数函数在R上递减，所以.【答案】考点一指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数定义即可判断.【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断：对于A：为幂函数，故A错误；对于B：中不能作为底数，故B错误；对于C：中系数不为1，故C错误；对于D：是指数函数，故D正确；故选：D2．已知函数是奇函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：根据，得到方程，求出；方法二：根据得到方程，求出，经检验，满足，故.【详解】方法一：，令，解得，故定义域为，则，因为是奇函数，所以，即，故，因此；方法二：，故，即，故，解得，故，令，解得，故定义域为，所以，故为奇函数.故选：A.3．若指数函数的图象经过点，则的值为.【答案】3【分析】将点代入函数解析式计算即可求解.【详解】因为指数函数的图象经过点，所以，解得.故答案为：34．若函数是指数函数，则．【答案】4【分析】由指数函数定义可得答案.【详解】因为指数函数，则，由，可得或，综上，.故答案为：45．（1）已知函数是指数函数，且，则．（2）指数函数的图象过点，则，．【答案】125【详解】（1）设（且），且，所以，则，故，所以．（2）设（且），则，则，故，所以.6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则．【答案】【分析】结合指数幂的运算，根据奇函数的性质求解即可.【详解】依题意，是定义在上的奇函数，所以，所以.故答案为：考点二指数型函数图象恒过定点问题1．函数（，且）的图象恒过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用，令，得，将代入函数中计算即可求得函数的图象恒过点.【详解】根据题意，函数中，令，得，将代入函数可得，即函数的图象恒过点.故选：A2．已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】根据给定条件，求出指数型函数求出所过定点，再利用基本不等式求出最小值.【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，，所以，当且仅当时取等号.故选：D3．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得.【详解】因为幂函数在区间上单调递减，则解得，所以，，则，即函数的图象过定点.故选：A.4．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是．【答案】【分析】根据指数函数的图象过定点求解.【详解】当，即时，恒成立，所以函数恒过点．故答案为：5．函数（，且）的图象过定点．【答案】【分析】根据，可得指数型函数定点.【详解】令得，此时，故函数（，且）的图象过定点．故答案为：.考点三指数函数图象的应用1．函数图象上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数的为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定定义，逐项分析判断即可.【详解】对于A，由，得函数不是向心函数，A不是；对于B，点在函数图象上，且成立，函数是向心函数，B是；对于C，由，得函数不是向心函数，C不是；对于D，由，得函数不是向心函数，D不是.故选：B2．函数与的图象关于（

）A．轴对称 B．轴对称C．直线对称 D．原点中心对称【答案】D【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得.【详解】令函数，，对于A，，，，A错误；对于B，，，，B错误；对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误；对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确.故选：D（多选题）3．已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示．令，若，则；若，则；若，则．（多选题）4．已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立（多选题）5．下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论.【详解】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确；对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确；对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误；对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确．故选：ABD6．定义运算：设函数，则下列真命题的序号是．①的值域为；②的值域为；③不等式的解集是；④不等式的解集是．【答案】①③【详解】由函数，得即作出函数的图象如图．根据函数图象知的值域为．由函数图象可知，当，即时，不等式成立，当即时也成立，所以不等式的解集是．考点四指数函数的定义域和值域1．函数的最大值和最小值之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，利用定义判断其为奇函数，再由奇函数的对称性可得.【详解】由题意，令，可知函数的定义域为，且，故函数为奇函数，根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为，即，故．故选：B．2．函数的定义域为，值域是．【答案】【详解】由题意知，解得，所以定义域为．因为，所以，所以．3．函数的定义域是．【答案】【分析】解不等式，可得出原函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则，变形可得，因为指数函数在上单调递增，则，解得，故函数的定义域是.故答案为：.4．已知函数的值域为，且，则.【答案】【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解.【详解】由指数函数的性质可知，若，则，为常数，不合题意；若，则，不合题意；若，则，因为函数的值域为，则，又，则，解得，所以.故答案为：.5．求下列函数的定义域与值域(1)；(2)．【答案】(1)定义域为，值域为.(2)定义域为，值域为【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可.（2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可.【详解】（1）由，得，函数的定义域为．，．的值域为．（2）函数的定义域为．．故的值域为．6．已知是偶函数．(1)求的解析式；(2)求的值域；(3)若对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由，求解即可；（2）结合基本不等式即可求解；（3）通过参变分离得到对恒成立．令，分离常数，求最值即可.【详解】（1）．因为是偶函数，所以，即，整理得，因为不恒成立，所以，即，所以的解析式为．（2），当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为．（3）由对恒成立，得对恒成立．设函数，则．因为，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为．考点五指数函数的单调性及最值问题1．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的大小关系，即可列式求解.【详解】因为时，单调递减，又在上单调递减，所以时，单调递减，则只需满足解得.故选：B.2．已知是单调递增函数，则函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由在R上为增函数，可得，再求出函数的正负即可判断.【详解】因为函数在R上为增函数，且是单调递增函数，所以，又因为函数定义域为，且时，，排除A；当时，；当时，；所以C，D选项错误；故选：B（多选题）3．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．函数的图象关于轴对称D．函数在上单调递增【答案】ABD【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可.【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确；对B：，由，则，故，则，故B正确；对C：，故关于对称，故C错误；对D：，由且为增函数，则为减函数，则在上单调递增，故D正确.故选：ABD.4．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求函数的值域；(3)若，且函数满足对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由奇函数定义公式计算即可求解；（2）先将函数简化成，再根据函数的单调性即可求解；（3）根据和的关系结合对称性定义公式得到，接着将题设不等式变形为，在结合的单调性即可分析求解.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以对有，即，整理得，则由的任意性得，所以.此时，的定义域为R，且，所以，.（2），在上单调递减，在上单调递减且，函数在上的值域为.（3）由向左移1个单位，向上移1个单位得到，所以关于对称，所以令，则，即：，由得，在上单调递减，在上单调递减，对任意恒成立，即对任意恒成立，令得：对任意恒成立，令，其对称轴为，，所以所以实数的取值范围是.5．已知，，．(1)若，，且函数为奇函数，求的值．(2)若，且存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，由为奇函数可得，解方程求即可，（2）由条件化简可得存在，使得成立，故，其中，结合指数函数的单调性求函数的最小值，由此可得结论.【详解】（1）设，因为，，，所以，因为函数为奇函数，所以，即，所以，又，所以（2）因为，所以，所以不等式，可化为，所以，所以，由已知存在，使得成立，所以，其中，因为函数在上单调递减，所以函数在的最小值为，所以，所以的取值范围为．6．已知，其中为奇函数，为偶函数．(1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）；(2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，在上单调递增(2)(3)【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解；（2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围；（3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围．【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数，则，即②，联立①②，得，，因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增.（2）由（1）得单调递增，因为，所以，整理得对于任意的成立，则，令，则，当且仅当时，即时取等号，所以.（3）由（1）知，，，则，令，则，则原题目转化为存在，使得成立，当，成立，当时，，综上，.考点六比较大小1．设实数，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，分类讨论进行求解即可.【详解】设，其中为参数依题意有零点易知为单调递增函数.大致图象如下所示：

当时，

有,即即.当时，

有,即即.综上可知，.故选：D.2．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定.【详解】∵，∴，∴，又∵，∴，∴；又，且，∴，∴，∴.故选：C3．下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解.【详解】，又在上单调递减，，，即．故选：B4．已知，若将、、按从小到大的顺序排列，应当是．【答案】【分析】利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】因为，则函数在上为减函数，所以，故，则，因为，故，故，综上所述，.故答案为：.5．（1）已知，比较，的大小；（2）比较与的大小．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先确定函数的单调性，由，利用函数的单调性，即可得到，的大小关系；（2）先利用函数的单调性，得到与1的大小关系，再利用函数的单调性，得到与1的大小关系，即可得解.【详解】（1），函数在上是减函数，又，；（2），函数在上是减函数．又，；又，函数在上是增函数．又，．综上可知，．知识导图记忆知识目标复核1．指数函数的概念2．指数函数的图象与性质3．比较大小4.恒过定点一、单选题1．若奇函数对任意都有，且当时，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数值【分析】先根据判断函数是周期函数，再结合函数的奇偶性求函数值.【详解】由于函数对任意都有，所以，所以是周期为4的函数，所以.由于是奇函数，所以.故选：A2．已知是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、由指数函数的单调性解不等式【分析】结合充分条件和必要条件的概念，以及指数函数的单调性，判断与之间的充分性和必要性.【详解】当时，函数在单调递增，，故充分性成立.当时，函数在单调递增，，但不能推出，故必要性不成立.是的充分不必要条件.故选:.3．函数的定义域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】求指数函数在区间内的值域【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域.【详解】因为，所以．即，则，所以函数的值域为．故选：B4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再结合，时函数值的情况判断即可.【详解】由，定义域为，而，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误；当时，，，则，故BC错误，当时，，，则，D符合题意.故选：D.5．已知函数的最小值为，则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值、利用函数单调性求最值或值域【分析】根据条件，利用基本不等式求得，进而得，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以．易知的定义域为，当时，，则；当时，，则，所以的值域为．故选：A．6．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据分段函数的单调性求参数【分析】根据在上单调递增列不等式组求解的取值范围，然后利用充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】因为在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，由能推出，但是由得不出，所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件.故选：B7．已知且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、由指数函数的单调性解不等式【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性解不等式，可得出实数的取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】当时，由可得，此时，当时，由可得，此时，所以，满足不等式的实数的取值范围是，因为是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8．设是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（

）A．若为偶函数，则为偶函数B．若为奇函数，则为奇函数C．若为单调函数且为周期函数，则为周期函数D．若为单调函数且为单调函数，则为单调函数【答案】C【难度】0.4【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、判断指数函数的单调性、函数基本性质的综合应用【分析】ABD可举出反例，C可利用函数的周期性进行推导.【详解】A选项，不妨设，当时，，且，，故为偶函数，但不是偶函数，A错误；B选项，令，当时，，，，所以恒等于，单调递增且为奇函数，当不是单调函数，也不是奇函数，B错误；C选项，为一个周期为的函数，则，又为单调函数，所以，则为一个周期为的周期函数，C正确；D选项，若的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分是否单调，例如，单调递增，且单调递增，但不是单调函数，D错误故选：C9．已知函数，若对任意的，满足，则恒有（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.4【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、复合函数的单调性、奇偶函数对称性的应用【分析】奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断的区间单调性，讨论、、一正一负，结合不等式恒成立确定不等关系.【详解】由，且的定义域为R，所以是偶函数，当，令，则在上单调递增，又在上单调递增，故在上单调递增，由偶函数的对称性，在上单调递减，当，由，则，当，由，则，当一正一负，不妨令，则，显然与矛盾，综上，.故选：D二、多选题10．定义“真指数”：（为自然对数的底数），则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【难度】0.4【知识点】比较指数幂的大小、函数新定义、由基本不等式比较大小【分析】利用题中定义可判断AB选项；利用特殊值法可判断C选项；利用题中定义结合基本不等式可判断D选项.【详解】设，根据题意作出函数的图象如下图所示：则函数不存在减区间，且对任意的、，当时，，，且，对于A选项，当，时，则，所以，合乎题意，若，时，则，所以，合乎题意，若，，则，所以，若，，同理可知，综上所述，，A对；对于B选项，①若，，则，合乎题意，②若，，则，若，则，此时，若，则，此时，故当，时，，合乎题意，③若，，则，，合乎题意，④若，，则，，，则，合乎题意.综上所述，，B对；对于C选项，不妨取，，则，，此时，C错；对于D选项，若，，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，合乎题意，若，，则，，合乎题意，若，，则，则，当且仅当时等号成立，若，，同理可知，综上所述，，D对.故选：ABD.三、填空题11．已知函数.若的最小值为，则的一个取值为；的最大值为．【答案】2（答案不唯一，即可）4【难度】0.65【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值、对勾函数求最值【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值.【详解】由题意知，原函数中为最小值，①当时，令，则，函数变为，求导得，令，则，i）当，即时，最小值在处，此时，因为的最小值为，所以有，可得；ii）当，即时，在上单调递增，最小值.②当时，，最小值在处，此时，因为的最小值为，所以有，可得；综上所述，.故答案为：2（答案不唯一，即可）；412．已知函数，若，则实数．【答案】1【难度】0.85【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、指数函数的判定与求值【分析】利用分段函数解方程即可．【详解】若，则，无解；若，则，解得，故答案为：1．13．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，【答案】【难度】0.85【知识点】由奇偶性求函数解析式【分析】首先设，再根据奇函数的性质，即可求解.【详解】设，，因为函数是奇函数，.故答案为：四、解答题14．已知函数是定义域为的奇函数，.(1)求的值，并判断的单调性（不需要证明）；(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)，；减函数(2)【难度】0.65【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】（1）利用奇函数得，进而解得，即可得函数的单调性；（2）利用奇函数得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式即可求解.【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，得，又，即，得，则，经检验符合题意.又，所以是减函数.（2）由在时恒成立，因为是单调递减的奇函数.所以，即在时恒成立，所以，又，当且仅当时等号成立所以.15．已知函数．(1)若为偶函数；①求实数的值；②若函数在区间上的最小值为，求实数的值；(2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)①；②；(2)．【难度】0.65【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出.（2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可.【详解】（1）①函数的定义域为R，由为偶函数，得，则，整理得，即，而不恒为0，所以.②由①得，令，，，由，得，，因此，即，函数在上单调递增，当时，，令，，由函数在区间上的最小值为－11，得函数在上的最小值为－11，①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意；②当时，，则，所以．（2）由为奇函数，得，则，此时，而，即函数是奇函数，不等式，函数在R上递增，则在R上递增，当时，，不等式，由不等式在上有解，得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增，当时，，，函数在上单调递增，当时，，则，所以实数的取值范围是.16．已知函数（为常数，），且为偶函数，(1)求a的值；(2)若方程在上有解，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】求指数函数在区间内的值域、由奇偶性求参数、指数幂的运算、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程即可求实数a的值；（2）求出的表达式，结合单调性得出，则的二次函数值域即可求解.【详解】（1）∵是偶函数，∴，即，即恒成立，则，得；（2）因为，且，，因为单调递增，所以，，即，设，因为在上单调递增，所以，故实数k的取值范围是．17．已知奇函数与偶函数满足.(1)求，的解析式；(2)若，求的值；(3)若函数，求在上的最小值.【答案】(1)，.(