2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第17讲 指数函数及其性质（学生版）

第17讲指数函数及其性质

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法

练考点强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>10<a<1

图象

定义域R

值域(0，＋∞)

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x>0时，y>1；当x<0时，y>1；

性质

当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1

在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数

知识点2常用结论

x1

（1）画指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，.

a

（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.

（3）当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论．

（4）当0a1时，x,y0；当a1时x,y0．

当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．

当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．

1

（5）指数函数yax与y（）x的图象关于y轴对称．

a

函数①yax；②ybx；③ycx；④ydx的图象如图1-3-1所示，则0＜b＜a＜1＜d＜c；即

x(0，+∞)时，bx＜ax＜dx＜cx（底大幂大）；x(－∞，0)时，bx＞ax＞dx＞cx．

11

（6）特殊函数：函数y2x，y3x，y=（）x，y=（）x的图象如图1-3-2所示．

23

知识点3指数式大小比较方法

（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．

（2）中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．

（3）分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．

（4）比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；

AA

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断＞1，或＜1即可．

BB

解题方法

解：令t2x1,4，

教材习题012

2311

求函数xx在区间则原函数转化为yt3t5t，

y43250,224

上的最大值和最小值．3311

当t，即xlog时，函数取得最小值为；

2224

当t4，即x2时，函数取得最大值为9.

11

【答案】最大值为9；最小值为.

4

解题方法

（1）根据指数函数的图象知，指数

函数yax(a0,a1)的定义域为

R；值域为(0,)；图象都过点

(0,1)；

教材习题02

当0a1时，函数yax在R上单

（1）从图中你能抽象出指数函数的哪些性质？

调递减，当a1时，函数yax在R

（2）有的同学认为“理解了此图就掌握了指数函数的

上单调递增；

性质”，谈谈你对该观点的看法．

当0a1时，若x0，则y1，若

x0，则0y1；当a1时，若

x0，则0y1，若x0，则y1；

底数互为倒数的两个指数函数图象

关于y轴对称；

几个指数函数图象在y轴右侧，具有

底数越大，图象越高的特点.

（2）因为指数函数的图象直观地反

映了指数函数的性质，所以理解了指

数函数的图象就掌握了指数函数的

性质..

【答案】见解析

教材习题03解题方法

已知0xy1，比较xx，xx，xy的大小．解：因为0xy1，

所以1yx0xy1，

又因为0x1，

所以指数函数ftxt在R上递减，

所以xyxxxx.

【答案】xyxxxx

考点一指数函数的概念

1．下列各函数中，是指数函数的是（）

A．yx3B．y(4)xC．y5x1D．y52x

1a

2．已知函数fxa是奇函数，则a的值为（）

ex1

11

A．1B．2C．D．

e2

3．若指数函数yaxa0,a1的图象经过点2,9，则a的值为.

4．若函数ya25a5ax是指数函数，则a．

35

5．（1）已知函数f(x)是指数函数，且f，则f(3)．

225

（2）指数函数yf(x)的图象过点(π,e)，则f(x)，f(π)．

x

6．已知fx是定义在R上的奇函数，当x0,时，fx2，则f0f2．

考点二指数型函数图象恒过定点问题

1．函数y3ax23（a0，且a1）的图象恒过点（）

A．2,6B．2,4C．1,6D．1,4

mm

2．已知曲线yax11（a0且a1）过定点m,n，若pqn且p0，q0，则的最小值为

pq

（）

A．8B．6C．4D．2

3．已知幂函数fxa2a1xa在区间0,上单调递减，则函数gxbxa1b1的图象过定点（）

A．1,0B．(1,-1)C．2,0D．2,1

x1

4．已知函数fxa3（a0且a1）的图象一定过点P，则点P的坐标是．

5．函数yax33（a0，且a1）的图象过定点．

考点三指数函数图象的应用

22

1．函数yf(x)图象上存在点P(x0,f(x0))，使得不等式x0f(x0)1成立，则称函数yf(x)为“向心函

数”，下列四个选项中，是向心函数的为（）

1

A．yx2B．yexC．yx21.1D．yx

x

2．函数y2x与y2x的图象关于（）

A．x轴对称B．y轴对称

C．直线yx对称D．原点中心对称

ab

11

（多选题）3．已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（）

23

A．0baB．ab0C．0abD．ab

（多选题）4．已知实数a，b满足等式2023a2024b，则下列关系可以成立的是（）

A．ab0B．ab0C．0abD．0ba

（多选题）5．下列函数，其图象平移后可得到函数yex的图象的有（）

x

e

A．yex1B．yex2C．ye2xD．y

2

a,ab,

6．定义运算：ab设函数f(x)12x，则下列真命题的序号是．

b,ab.

f(x)的值域为[1,)；

①f(x)的值域为(0,1]；

②不等式f(x1)f(2x)的解集是(,0)；

③不等式f(x1)f(2x)的解集是(0,)．

④考点四指数函数的定义域和值域

e2xxex1

1．函数fx的最大值和最小值之和为（）

e2x1

5

A．1B．2C．D．4

2

2．函数y164x的定义域为，值域是．

3．函数fx93x1的定义域是．

4．已知函数f(x)m3xn的值域为(1,)，且f(0)2，则mn.

5．求下列函数的定义域与值域

1

(1)y2x4；

x

2

(2)y．

3

6．已知fxax1axaxa0且a1是偶函数．

(1)求fx的解析式；

(2)求fx的值域；

(3)若fxm2x2x对x1,恒成立，求m的取值范围．

考点五指数函数的单调性及最值问题

x22ax1,x1,

．已知函数fx在上单调递减，则实数a的取值范围是（）

11xR

2,x1

x

3

A．,2B．1,C．1,2D．2,

2

2．已知ya2xaR是单调递增函数，则函数f(x)|x|(xa)的大致图象为（）

A．B．

C．D．

3x1

（多选题）3．已知函数fx，则下列结论正确的是（）

3x1

A．函数fx的定义域为R

B．函数fx的值域为1,1

C．函数fx的图象关于y轴对称

D．函数fx在,上单调递增

12x

4．已知函数fx（k为常数）是定义在R上的奇函数.

2x1k

(1)求函数fx的解析式；

(2)若x2,2，求函数fx的值域；

(3)若gxfx11，且函数gx满足对任意x1,3，都有gax22g3x2成立，求实数a的

取值范围.

5．已知fxa3xb2x1，a，bR．

(1)若b0，gx3x，且函数yfxgx为奇函数，求a的值．

(2)若b1，且存在x1,1，使得fx1fx成立，求a的取值范围．

6．已知fxgxex，其中fx为奇函数，gx为偶函数．

(1)求fx的解析式并指出fx的单调性（无需证明）；

(2)若对于任意的实数x0，都有fx2mx3fm成立，求实数m的取值范围；

若对于任意的实数，总存在实数，使得2成立，求实数n的

(3)x10,x21,34gx12fx1nx21

取值范围．

考点六比较大小

1．设实数x，y满足4xy2x3y，则（）

A．xy0B．xy0C．x1xy0D．x1xy0

2．已知2025m2024,x2024m2023,y2026m2025，则（）

A．yx0B．0xy

C．y0xD．x0y

3．下列关系中正确的是（）

2121

22

3333

．131．113

A2B2

2222

1221

22

3333

．311．311

C2D2

2222

aaa

4．已知0.8a0.9，若将a、a、aa按从小到大的顺序排列，应当是．

ab

22

5．（1）已知，比较a，b的大小；

55

1

（）比较2与52的大小．

2(0.8)

3

知识导图记忆

知识目标复核

1．指数函数的概念

2．指数函数的图象与性质

3．比较大小

4.恒过定点

一、单选题

1．若奇函数fx对任意xR都有fx2fx，且当x2,0时，fx2xx，则f2025（）

33

A．B．1C．D．2

22

2．已知a,b是实数，则“ab0”是“2025a2025b”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件

3．函数y3x1的定义域为1,2，则函数的值域为（）

A．2,8B．0,8C．1,8D．1,8

2x2x

4．函数fx的图象大致为（）

x

A．B．

C．D．

a

5．已知函数y2x22x的最小值为a，则fx的值域为（）

3x1

A．,40,B．4,

C．,20,D．2,

3ax2,x2

．已知函数，则是在上单调递增的（）

6fxx“1a3”“fxR”

a,x2

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

1

7．已知a0且a1，则“0a”是“aaa”的（）

2

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

8．设fx,gx是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（）

A．若ffx为偶函数，则fx为偶函数

B．若ffx为奇函数，则fx为奇函数

C．若fx为单调函数且fgx为周期函数，则gx为周期函数

D．若fgx为单调函数且gx为单调函数，则fx为单调函数

1xx

9．已知函数fxee，若对任意的x1,x2R，满足fx1fx2fx1x2，则恒有（）

2

A．x1x20B．x1x20

C．x1x20D．x1x20

二、多选题

1,x0

xe

10．定义“真指数”：ex（为自然对数的底数），则（）

e,x0

x1

x1x2x1x2x1x2e

．eee．e

ABx2

e

xx

x212

x1x2x1

C．e≤eD．x1x22

ee≥2e

三、填空题

2xa2x2,x1

．已知函数若的最小值为，则a的一个取值为；a的最大值

11fx2.fxf1

x2xa,x1

为．

x2,x0

．已知函数，若，则实数a．

12fxxfa2

2,x0

2x

13．已知fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fxx3e2，则当x0时，fx