2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第五节　一元二次不等式及其解法

第五节一元二次不等式及其解法课标要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.提醒对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形.2.三个“二次”的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）有两个相等的实数根x1＝x2＝－b没有实数根ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集{x｜x＜x1，或x＞x2}xRax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集{x｜x1＜x＜x2}⌀⌀1.分式不等式的解法（1）f（x）g（x）＞0（＜0）⇔f（x）·g（2）f（x）g（x）2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法（1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；（2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（）（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（）（3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（）2.（人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为（）A.（－2，5）B.（－∞，－2）∪（5，＋∞）C.（－5，2）D.（－∞，－5）∪（2，＋∞）3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－12＜x＜13}，则a－bA.－10 B.－14C.10 D.144.（苏教必修一P70习题15题改编）不等式x－12x+15.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为.不含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关）解下列不等式：（1）－3x2－2x＋8≥0；（2）x+12x（3）2x2+1－x解题技法解一元二次不等式的4个步骤提醒对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0.不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是.含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关）解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.解题技法解含参数的一元二次不等式的步骤（1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）.三个“二次”间的关系（师生共研过关）〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（）A.a＞0B.bx－c＞0的解集是{x|x＞32C.cx2＋ax－b＞0的解集是{x|x＜－23或x＞1}D.a＋b＜c听课记录解题技法“三个二次”之间的关系及其应用（1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值；（2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n.1.已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（