2026版三维设计一轮高中总复习数学学生用-第五节　直线、平面垂直的判定与性质

第五节直线、平面垂直的判定与性质课标要求1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2.能用基本事实、定理和已获得的结论证明有关空间基本图形垂直关系的简单命题.1.直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直⇒性质定理垂直于同一个平面的两条直线⇒a∥（3）直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是；②范围：[0°，90°].2.平面与平面垂直（1）二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角；③范围：[0°，180°].（2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直a⊂αa⊥性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂β3.空间距离（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.垂直于同一条直线的两个平面平行.3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.5.三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC.6.三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（）（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（）（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（）（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（）2.（人A必修二P162习题1（2）题改编）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.（人A必修二P158例8改编）如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD4.〔多选〕下列说法正确的是（）A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β5.（人A必修二P152例4改编）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是.线面垂直的判定与性质（师生共研过关）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.解题技法1.证明直线和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直线垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；（4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α）.2.判定定理证明线面垂直的步骤如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.平面与平面垂直的判定与性质（师生共研过关）在如图所示的多面体中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，∠CDF＝∠DFE＝90°，EF＝2CD＝2，DF＝1.证明：平面ACF⊥平面BCE.解题技法证明面面垂直的2种方法（1）定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题；（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把证明面面垂直问题转化成证明线面垂直问题.如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点.（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积.平行与垂直的综合问题（师生共研过关）如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，E，F分别为AD，SB的中点.（1）求证：AF∥平面SEC；（2）求证：平面ASB⊥平面SBC.解题技法立体几何中平行、垂直关系的两种转