2025年新九年级数学暑假衔接讲练 (人教版)专题06 一元二次方程的应用 (8大类型精准练) (学生版)

PAGE1专题06一元二次方程的应用（8大类型精准练+过关检测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：8大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：列一元二次方程解应用题审→设→列→解→验→答.即：(1)审：审清题目的各量之间的关系：(2)设：恰当地设出未知数，可直接设也可间接设：(3)列：根据问题中的等量关系，列出方程；(4)解：求出未知数的值：(5)验：检验方程的解的正确性及是否符合实际情况；(6)答：写出应用题的答案知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法1.传播问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环

．传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．2.增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)3.面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.4.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.题型5：利润（销售）问题利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数【课前热身】1．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是A． B． C． D．2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是A．第一轮后共有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可以列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1000人患流感3．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是A． B． C． D．4．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？5．两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少，求这两个正方形的边长．6．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？【题型1】传播问题1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（

）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人2．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（

）根小分支A． B． C． D．3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值．【题型2】握手、循环比赛问题5．（21-22九年级上·广东惠州·阶段练习）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（

）A． B． C． D．6．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（

）A．7 B．10 C．12 D．207．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？8．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题：(1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展．数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？(2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军．小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？【题型3】增长率问题9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）11月28日起江苏省正式上线购买手机最高补贴的优惠活动，某品牌手机店为响应政府优惠政策，进行了两次降价，由3999元降为3399元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程得（

）A． B．C． D．10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程．11．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率．12．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册．(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率．(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？【题型4】面积问题13．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（

）A． B．C． D．14．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米．(1)的长为米（用含x的代数式表示）(2)当菜园的面积为时，求的长(3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由．15．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为．(1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？(2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由．16．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在矩形空地上，修建两条平行于边、一条平行于边的小路，条路等宽，其余部分铺草坪．已知的长为，的长为，铺草坪的单价是元，铺草坪的总价为元，求每条小路的宽度.【题型5】销售问题17．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（）A． B．C． D．18．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个的价格销售，每月能售出600个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨1元，其月销售量就会减少10个．规定该台灯的销售单价不得低于40元且不得超过60元．为了实现这种台灯的月销售利润为10000元，则销售单价应定为多少元？19．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元．20．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）重庆2023年马拉松于3月19日在南滨路开赛，为了重庆马拉松的顺利进行，组委会委托甲乙两个厂家共同生产纪念恤．根据调研统计，甲厂每小时生产恤80件，乙厂每小时生产恤100件．(1)若甲、乙两厂一天一共工作20个小时，且共生产1820件恤，则乙厂生产恤多少小时？(2)在（1）的条件下，为了满足组委会的需求，甲厂生产时间每减少1小时，该厂每小时的产量将增加10件，乙厂生产时间不变，产量也不变，这样一天两厂的总产量仍为1820件，求甲厂减少的生产时间．【题型6】数字问题21．（24-25九年级上·福建莆田·期中）第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（

）A． B． C． D．22．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是．23．（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．）24．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．【题型7】几何动点问题25．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（

）秒后，的面积等于．A． B． C．或 D．或26．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么秒后，线段将分成面积的两部分．27．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由．28．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t．求：(1)当t为多少时，的面积等于？(2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？【题型8行程问题】29．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（

）A． B． C． D．30．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（

）A． B．C． D．31．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？(3)汽车滑行20米时用了多长时间？32．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．一、单选题1．（22-23九年级上·广西河池·期末）我县2019年的平均房价为每平方米7000元，受疫情等因素的影响，2021年平均房价下降到每平方米6400元，设我县房价的年平均下降率为x．根据题意可得方程为（

）A． B．C． D．2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（

）A．9 B．10 C．19 D．203．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（

）A． B．C． D．4．（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（

）A． B．C． D．5．（24-25九年级上·河北保定·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（

）A．26 B．30 C．32 D．366．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（

）A． B． C． D．二、填空题7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则．8．（24-25九年级上·湖南永州·期末）据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程．9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为米．10．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为．11．（24-25九年级上·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为元．12．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了秒．三、解答题13．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．(1)每轮传染中平均一人传染了几人？(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？14．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件．(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．