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文档简介
专题09角及角平分线的有关计算
(巩固提升练20题+能力培优练8题+拓展突破练8题+中考真题练8题)
知识清单
1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做
这个角的边.或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的.
2.平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角.终边继续
旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角.
3.角的表示:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等.
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等.
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等.
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等.
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧.
4.用一副三角板,可以画出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,180°的角.
5.角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,
n度记作“n°”.
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1”.
把1的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1”.
即1°=60,1=60.
6.角的性质
①角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关.
②角的大小可以度量,可以比较.
③角可以参与运算.
7.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
8.余角和补角
(1)余角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.
(2)补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补
角.
(3)性质:等角的补角相等.等角的余角相等.
(4)余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.
注意:余角(补角)与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿,只要度数之和满足了定义,则它
们就具备相应的关系.
一、单选题
1.(24-25七年级上·全国·期末)有下列关于角的说法:
①两条射线组成的图形叫作角;
②角的边越长,角越大;
③在角一边的延长线上取一点D;
1
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
其中正确的有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.(24-25七年级上·河北邢台·期中)如图所示,还可以表示为()
∠1
A.B.C.D.
3.(24∠-�25七年级上·全国·∠期�末��)若,则∠��的�补角的度数为(∠�)�.�
A.B.∠�=52°C.∠�D.
4.(184-189°七年级·吉林长春2·0期8°末)如图,是北偏12东8°方向的一条射线38,°将射线绕点逆时针旋转
得到射线,则的方位角是()��30°���80°
����
A.北偏西B.北偏西C.东偏北D.东偏北
5.(2024七年3级0°上·全国·专题练习50)°若,30°,50°,则()
''″
A.∠�=B3.2°18∠�=32°1530∠�=32.25°
C.∠�>∠�>∠�D.∠�>∠�>∠�
6.(19∠-2�0>七∠年�级>上∠·�安徽马鞍山·期末)如图,一副∠三�角>板∠(�直>角∠�顶点重合)摆放在桌面上,若,
则等于()∠���=160°
∠���
A.B.C.D.
7.(202204°七年级上·全国·专30题°练习)如图,将三个4同0°样的正方形的一个顶5点0°重合放置,则的度数是()
∠1
2
A.B.C.D.
8.(202345七°年级上·全国·专题30练°习)如图,是25的°平分线,是2的0°平分线,若,
,则的度数为()��∠�����∠���∠���=2�∠���=
40°∠���
A.B.C.D.
9.(22-�23+七20年°级上·河南新�乡+·期40末°)如图,已知�−20°,�+80°,且,则
11
的度数为()∠���=3∠���∠���=2∠���∠���=20°∠���
A.B.C.D.
10.(2100204°七年级上·云南·1专10题°练习)将一张长方1形20纸°片按如图所示13的5°方式折叠,、为折痕,点
、折叠后的对应点分别为、,若,则����的度数为()��𝐴
''''
����∠���=10°∠�𝐴
A.B.C.D.
40°45°50°55°
二、填空题
11.(24-25七年级上·河北石家庄·期中)比较大小:.(填、或)
'″
12.(2024七年级上·全国·专题练习)社会热点情境·野20生°1动53物0保护天气20转.2暖5°,每年的>二<、三=月,一大批国
家二级保护动物白天鹅从三门峡天鹅湖国家城市湿地公园北迁,天鹅迁徙时常排成人字形,这个人字形的
一边与其飞行方向夹角是,从空气动力学角度看,这个角度对于白天鹅队伍飞行最佳,所受阻力最
'″
54°448
3
小,则的补角是.
'″
13.(20524°七44年8级上·全国·专题练习)如图,已知点是直线上一点,,平分,
,请写出下列正确结论的序号.���∠���=50°��∠���∠���=
9①0°;②;③;④.
∠���=130°∠���=25°∠���=155°∠���=45°
14.(2019·广西贵港·三模)小明把一副含,的直角三角板如图摆放,其中,,
,则等于.45°30°∠�=∠�=90°∠�=45°
∠�=30°∠�+∠�
三、解答题
15.(2024七年级上·全国·专题练习)计算:
(1);
''″
(2)83°46+52°391.6
'″
16.96(°−201284°2七6年59级上·全国·专题练习)如图,已知轮船在灯塔的北偏西的方向上,轮船在灯塔的
南偏东的方向上.��20°��
80°
(1)求从灯塔看两轮船的视角(即)的度数;
(2)轮船在�的平分线上,则轮∠船���在灯塔的什么方向上?
17.(2�024∠七��年�级上·全国·专题练习)�如图,�、、三点在一条直线上,,平分,
,求的度数.���∠���=2∠�����∠���
∠���=77°∠���
4
18.(2024七年级上·全国·专题练习)线段与角的计算.
(1)如图①,已知线段,点C为线段上的一点,,点D,E分别是和的中点,
求的长;��=12cm����=4cm����
(2)�如�图②,已知被分成,平分,平分,且,
求的度数.∠���∠���:∠���:∠���=2:3:4𝑂∠���𝑂∠���∠�𝑂=90°
19∠.�(��2024七年级上·全国·专题练习)如图,点O在直线上,与互余,射线平分.
��∠���∠�𝐴��∠�𝐴
(1)如图①,若,求的度数;
(2)如图②,若∠���=20°,求∠�𝐴的度数;
(3)请你猜想∠�和��=55之°间的∠数��量�关系,并说明理由.
20.(24-25∠七��年�级上∠�·河𝐴北石家庄·期中)【实践活动】
如图1,将一副三角板的直角顶点重合摆放.
(1)若,则=;(填、、);
(2)①∠若���=50°,∠则���∠;��若�∠���,>则<=;
②与∠���之=间20的°数量∠关�系��是=.∠���=150°∠���=
【折∠�展�探�究∠】���
(3)如图2,若,且,探索与之间的数量关系,并说明理
由.∠���≠∠���∠���+∠���=180°∠���∠���
5
21.(2024七年级上·全国·专题练习)已知,从顶点O引一条射线,若,则
是()∠���=50°��∠���=20°∠���
A.B.C.D.或
22.(202240七°年级上·全国·专3题0°练习)如图,若70°,OC是30的°平分70线°,则①;
1
②;③;④∠���=2∠���.正确∠�的�是�()∠���=3∠���
1
∠���=2∠���∠���=2∠���∠���=3∠���
A.①②B.③④C.②③D.①④
23.(24-25七年级上·河北保定·期中)如图,是的平分线,是内部一条射线,过点O作
射线,在平面内沿箭头方向转动,使得��∠���,若��∠���,则的度
数为(��)∠���:∠���=3:2∠���=120°∠���=30°∠���
A.B.C.或D.无法计算
24.(2145-2°5七年级上·全国1·0期5末°)已知一个角的余15角°比1这0个5°角的补角的小,则这个角的余角的度数
1
是,补角的度数是.320°
25.(2024七年级上·云南·专题练习)如图,已知点是直线上一点,,平分,
,请写出下列正确结论的序号.���∠���=50°��∠���∠���=
90°
6
①;②;③;④.
26.∠�(�2�4-=251七30年°级上·∠吉�林��长=春2·阶5°段练习∠�)�如�图=,15点5°O在直∠线���=上4,5°平分,平分.给出
下面四个结论:①与互余:②与互补;��③��∠�����∠���;
④∠���∠.�上��述结论中,∠正��确�结论∠�的�序�号有∠�.��+∠���=∠���+180°
∠���−∠���=2∠���
27.(2024七年级上·全国·专题练习)如图①,把直角三角形的直角顶点O放在直线上,射线
平分.�𝑂����
∠�𝑂
(1)若,求的度数;
(2)若∠���=28°,则∠�𝑂的度数为______;(用含m的代数式表示)
(3)由∠(�1�)�和=(�2°)可得∠�,𝑂和之间的数量关系是______;
(4)若将直角三角形绕∠点��O�旋转∠�到�如�图②所示的位置,其他条件不变,请问:和之间的数
量关系是否发生变化��?�请说明理由.∠�𝑂∠���
28.(24-25七年级上·陕西西安·阶段练习)探究与实践
将一副三角板按如图方式拼接在一起,已知,,按如图1所示摆放,将、边
重合在直线上,、边在直线的两∠�侧�:�=90°∠���=60°����
��������
7
【问题发现】
(1)保持三角板不动,将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置,则
①��_�_________;���
②∠���+∠���=__________.
【问∠�题�探�究−】∠���=
(2)若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转,三角板按每分钟的速度也绕点O逆
时针方向旋转,���旋转到射线6°上时都停止运动,设旋转t分钟,计算���4°(用含t的代数式表
示).��𝑂∠���−∠���
【问题解决】
(3)保持三角板不动,将三角板绕点O逆时针方向旋转,若射线平分,射线
平分,求���的大小.����°(�≤360)��∠���
𝐴∠���∠�𝐴
29.(23-24七年级上·重庆·期末)如图,将一副三角尺叠放在一起,使直角顶点重合于点O,若,
为的角平分线,则的度数是()∠���=3∠���
��∠���∠���
A.B.C.D.
30.(2435-2°4七年级上·湖北6荆0°门·单元测试)如图,65射°线都在6的7.5内°部,和都是直角,
下列说法:①;②�;�,③��若∠���,∠则���∠���;④若
平分,∠���平=分∠���,则∠���+∠���.=其1中80结°论正确的∠有��(�=5)∠���∠���=30°
𝑂∠���𝑂∠���∠�𝑂=45°
A.1个B.2个C.3个D.4个
31.(22-23七年级下·安徽淮南·开学考试)一副三角板、,如图1放置,、,
将三角板绕点B逆时针旋转一定角度,如图2所示��,�且���,则∠�下=列3结0°论中∠�正�确�的=是45°
()���0°<∠���<90°
①的角度恒为;②的角度不恒为;③在旋转过程中,若平分
∠�,��+平∠�分��,则105°∠�.��+∠���105°𝑂
∠���𝑂∠���∠�𝑂=52.5°8
A.①B.②③C.③D.①③
32.(24-25七年级上·全国·期末)已知,射线平分,则的度数
1
为∠���=60°,∠���=3∠�����∠���∠���
33.(24-25七年级上·吉林长春·阶段练习)如图,,是其内部一条射线,以为一边作直
角,点与点在边同侧,给出下列四个结∠论�:��①=90°只�与�互余;②与��互补;
③∠��平�分�,则�平�分�;④的平分线与∠���的平分∠线��的�夹角是直角∠�.�其�中∠正�确��的是
(填�序�号)∠.�����∠���∠���∠���
34.(2024七年级上·甘肃兰州·专题练习)如图,是的平分线,是内部一条射线,过点O
作射线,在平面内沿箭头方向转动,使得��∠���,若��∠��,�则
的度数为��.∠���:∠���=3:2∠���=120°∠���=30°∠���
35.(24-25七年级上·全国·期末)【阅读理解】
射线是内部的一条射线,若,则我们称射线是射线的伴随线.例如,如图1,
1
��∠�,��∠���=,2∠则���,称��射线是��射线的伴随线;同时,
1
由∠�于��=60°∠���,=称∠�射�线�=∠是��射�线=20的°伴随∠线�.��=2∠�������
1
∠���=2∠�������
9
(1)【知识运用】如图2,,射线是射线的伴随线,则________,若的度
数是,射线是射线∠的��伴�随=线12,0射°线是𝑂的平��分线,则∠的�度𝑂数=是________°.(∠用�含��的代
数式表�示)𝑂����∠���∠����
(2)如图3若,射线与射线重合,并绕点以每秒的速度逆时针转动,射线与射线
重合,并绕点∠��以�每=秒180°的速度�顺�时针转动��,当射线与�射线重3合°时,运动停止.����
是否存在某�个时刻(5°秒)使得的度数是�?�若存在,��求出的值;若不存在,请说明理由.
①当的值为多少时,�射线,∠,���中恰好有2一0条°射线是其余两条�射线中任意一条射线的伴随线?
②36.(�24-25七年级上·辽宁�沈�阳·�期�中)�如�图1,大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之
美,洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好,他们搜集了标准广播操图片
进行讨论,如图2,为方便研究,定义两手手心位置分别为、两点,两脚脚跟位置分别为、两点,定
义、、、平面内为定点,将手脚运动看作绕点进行�旋转�.��
������
(1)如图2,、、三点共线,点、重合,,则;
(2)如图3,�、�、�三点共线,且��∠���=,∠��平�分∠��,�求=°的大小;
(3)第三节腿�部运�动中�,如图4,洋洋∠发��现�,:∠虽�然��、=3、:2三点��共线,∠却�不��在水平∠方��向�上,且,
他经过计算发现,的值为定值�,请�写�出这个定值为;∠���:∠���=3:2
2
(4)第四节体侧运动∠中�,�如�−图35∠,�乐��乐发现,两腿左右等距张开,使竖直方向的射线平分,且
,开始运动前、、三点在同一水平线上,、绕点顺时针旋转,�旋�转速度∠�为�每�秒∠�,��=
3旋0转°速度为每秒�,�当�旋转到与重合时运动��停止�(�是�竖直方向的一条��射线)50°��
①运动停止时,25°��;����
②请帮助乐乐写出∠�运��动=过程中与的数量关系为.
∠���∠���
37.(2024·甘肃·中考真题)若,则的补角为()
A.B.∠�=55°∠C�.
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