甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得，，解得，故选：B．2.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得，，故选：C．3.在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，···，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：成绩在内的频率为，又本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.故选A4.的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选：D．5.已知复数满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以，故选：C．6.已知向量与的夹角为，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得.故选：B．7.化简的结果为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】原式，故选：B．8.已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上，则在以为圆心半径为1的圆上，所以表示到点的距离，数形结合得，故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.以下关于统计学中数字特征的说法，正确的是（）A.若一组数据的平均数为，给这组数据中的每个数都加上一个常数，新数据的平均数为B.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，若数据的方差为，则的方差为C.众数是一组数据中出现次数最多的数.对于数据，众数是D.数据中位数是；对于数据中位数是【答案】ABC【解析】对于A选项，已知数据的平均数为，根据平均数的计算公式.给这组数据中的每个数都加上一个常数，则新数据为，，其平均数为：，所以A选项正确.对于B选项，若数据的方差为，根据方差公式.对于数据（为非零常数），其平均数为，则方差为：，所以B选项正确.对于C选项，在数据，，，，，，中，数字出现的次数最多，所以众数是，C选项正确.对于D选项，对于数据，，，，，，，从小到大排序为，，，，，，，数据个数为，是奇数，中间的数是，所以中位数是，而不是.对于数据，，，，，，从小到大排序后，数据个数为，是偶数，中间两个数是和，则中位数为.所以D选项错误.故答案为：ABC.10.如图，是正六边形的中心，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】CD【解析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由，所以B不正确；对于C中，设正六边形的边长为，可得，，所以，所以C正确；对于D中，如图所示，连接，可得，可得，所以在向量上的投影向量为，所以D正确.故选：CD.11.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.点是函数的图象的一个对称中心C.当时，函数的取值范围是D.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】对A，因为，所以的最小正周期为，故A正确；对B，由，故B错误；对C，当时，可得，可得，所以的取值范围是，故C正确；对D，由题意得函数，因为，所以，又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，所以实数的取值范围是，故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据，则这组数据的第百分位数是______.【答案】【解析】数据小到大排列为：12，25，30，42，50，68共6个数字，，所以这组数据的第百分位数是第五个数50.故答案为：50.13.已知复数满足，则______．【答案】或，【解析】设，则，将代入方程得，，则，若则方程组无解，不合题意，故，解得，所以或，故答案为：或．14.在中，，点满足，点使得，直线与相交于点，则的坐标为______．【答案】【解析】由题知，，，则，由三点共线设，则，所以，，因为点三点共线，所以，则，解得，所以，则，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；（3）若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．解：（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：，在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间占5%，区间占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：．16.如图所示，在中，，，点在线段上，且．求：（1）的长；（2）的大小．解：（1）设，，则.，．（2）设，则向量与的夹角为．，，即．17.复数，当实数取什么值时，（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：（1）因为复数为实数，所以，即或，所以或时，复数为实数.（2）因为为虚数，则，解得且且，所以且且时，复数为纯虚数.（3）因为为纯虚数，则，解得，所以时，复数为纯虚数.18.在中，角的对边分别是，且.（1）求角；（2）若的角平分线交于点，求.解：（1）由正弦定理可得，即有，即，又，故，即，又，故；（2），即，即，即，即，由余弦