24.2直角三角形的性质课件华东师大版九年级数学上册

24.2直角三角形的性质第24章

解直角三角形【2025-2026学年华东师大版】数学

九年级上册

授课教师：********班级：********时间：********24.2直角三角形的性质学习目标掌握直角三角形的基本概念，理解并能熟练运用直角三角形两锐角互余的性质（重点）。理解并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要性质，能运用该性质解决相关几何问题（重点）。掌握直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半的性质，明确其逆命题的正确性及应用场景（重点）。经历直角三角形性质的探究过程，通过观察、猜想、验证和推理，培养逻辑思维能力和几何证明能力（难点）。体会直角三角形性质在实际生活和几何推理中的广泛应用，增强对几何知识的应用意识。重点难点教学重点直角三角形两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半。教学难点直角三角形斜边上的中线性质的推导及灵活应用。综合运用直角三角形的各项性质解决复杂的几何问题。直角三角形的定义有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。其中，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。通常用符号“Rt△”表示直角三角形，例如直角三角形ABC可表示为Rt△ABC，其中∠C为直角，AB为斜边，AC、BC为直角边。直角三角形的性质性质1：直角三角形的两锐角互余内容：在直角三角形中，两个锐角的和等于90°。推导：因为三角形的内角和为180°，在Rt△ABC中，∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°。几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。应用示例：在Rt△ABC中，∠A=35°，求∠B的度数。解答：因为Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∠A=35°，所以∠B=90°-35°=55°。性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半内容：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。推导：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。求证：CD=1/2AB。证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE。因为CD是斜边AB上的中线，所以AD=DB。又因为DE=CD，∠ADC=∠BDE（对顶角相等），所以△ADC≌△BDE（SAS）。则AC=BE，∠ACD=∠E。所以AC∥BE（内错角相等，两直线平行）。因为∠ACB=90°，所以∠CBE=90°。又因为AC=BE，BC=CB，所以△ACB≌△EBC（SAS）。则AB=CE。因为CD=1/2CE，所以CD=1/2AB。几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，则CD=AD=DB=1/2AB。应用示例：在Rt△ABC中，斜边AB=10cm，求斜边上的中线CD的长度。解答：因为在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，所以CD=1/2AB。又因为AB=10cm，所以CD=1/2×10=5cm。性质3：直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。推导：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。求证：BC=1/2AB。证明：取AB的中点D，连接CD。因为在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，所以CD=1/2AB=AD=DB。所以∠A=∠ACD=30°，则∠BDC=∠A+∠ACD=60°。又因为CD=DB，所以△BDC是等边三角形。所以BC=DB=1/2AB。几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=1/2AB。逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。（该逆命题成立，可作为判定定理使用）应用示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8cm，求BC的长度。解答：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，所以BC=1/2AB。又因为AB=8cm，所以BC=1/2×8=4cm。典例讲解例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，求∠A、∠B的度数。分析：根据直角三角形两锐角互余的性质，可知∠A+∠B=90°，再结合∠A-∠B=30°，可联立方程组求解。解答：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。又因为∠A-∠B=30°，联立可得方程组：\(\begin{cases}∠A+∠B=90°\\∠A-∠B=30°\end{cases}\)两式相加可得：2∠A=120°，则∠A=60°。将∠A=60°

代入∠A+∠B=90°，可得∠B=30°。答：∠A的度数为60°，∠B的度数为30°。例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A=60°，BC=6cm，求CD的长度。分析：先根据直角三角形的性质求出斜边AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长度。解答：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，所以∠B=30°。根据直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=1/2AB。由勾股定理可得：AB²=AC²+BC²。设AC=x，则AB=2x。又因为BC=6cm，所以(2x)²=x²+6²，即4x²=x²+36，3x²=36，x²=12，x=2√3（cm）。则AB=2x=4√3cm。因为CD是斜边AB上的中线，所以CD=1/2AB=1/2×4√3=2√3cm。答：CD的长度为2√3cm。例3如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，且AD=BD，求∠B的度数。分析：根据AD=BD，可得∠B=∠BAD。因为AD平分∠CAB，所以∠CAB=2∠BAD=2∠B。再结合直角三角形两锐角互余的性质求解。解答：因为AD=BD，所以∠B=∠BAD。因为AD平分∠CAB，所以∠CAB=2∠BAD=2∠B。在△ABC中，∠C=90°，所以∠CAB+∠B=90°，即2∠B+∠B=90°，3∠B=90°，∠B=30°。答：∠B的度数为30°。直角三角形性质的综合应用综合应用示例如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF。求证：AE²+BF²=EF²。分析：连接CD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD，再结合等腰三角形的性质和角的关系证明△ADE≌△CDF，进而得到相关线段的关系，最后利用勾股定理证明。证明：连接CD。因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，所以CD=AD=BD，∠A=∠ACD，∠B=∠BCD。因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°，则∠ACD+∠BCD=90°。因为DE⊥DF，所以∠EDF=90°，则∠CDE+∠CDF=90°。又因为∠ADE+∠CDE=∠ACD+∠CDE=90°（∠A=∠ACD），所以∠ADE=∠CDF。在△ADE和△CDF中，∠A=∠ACD，AD=CD，∠ADE=∠CDF，所以△ADE≌△CDF（ASA），则AE=CF。同理可证△CDE≌△BDF，所以CE=BF。在Rt△CEF中，CE²+CF²=EF²，所以AE²+BF²=EF²。课堂练习在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则AC的长为（

）分析：根据直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理求出AC。解答：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，所以∠A=30°，则BC=1/2AB=1/2×10=5。由勾股定理可得AC²+BC²=AB²，即AC²+5²=10²，AC²=100-25=75，AC=5√3，答案选5√3。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若CD=5，AC=6，则BC的长为（

）分析：先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC。解答：因为在Rt△ABC中，CD是AB边上的中线，CD=5，所以AB=2CD=10。由勾股定理可得AC²+BC²=AB²，即6²+BC²=10²，BC²=100-36=64，BC=8，答案选8。已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D在BC上，AD=DC，求BD的长。分析：先求出BC的长度，再根据等边三角形的判定和性质求出DC的长度，进而得到BD的长。解答：在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，所以BC=2AC=12cm（直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半），∠C=60°。因为AD=DC，所以△ADC是等边三角形，则DC=AC=6cm。所以BD=BC-DC=12-6=6cm。答：BD的长为6cm。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，求线段DE的长。分析：根据折叠的性质得到相关角和线段的关系，再结合直角三角形的性质和角度关系求出DE的长。解答：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，所以AB=2BC=2，AC=√3。由折叠可知，DE=AD，∠A=∠E=30°，∠ADB=∠EDB。因为AD⊥ED，所以∠ADE=90°，则∠ADB=∠EDB=(360°-90°)/2=135°，所以∠BDC=180°-135°=45°。因为∠C=90°，所以∠DBC=45°，则CD=BC=1。所以AD=AC-CD=√3-1，即DE=√3-1。答：线段DE的长为√3-1。课堂总结直角三角形具有三个重要性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°

角所对的直角边等于斜边的一半。这些性质在几何证明和计算中应用广泛，要熟练掌握其几何语言和推导过程。在解决直角三角形相关问题时，要善于结合图形，综合运用各项性质和勾股定理等知识，通过分析、推理得出结论。注意性质的逆命题的应用，如直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，可帮助我们快速解决相关问题。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解新课导入归纳已经学过的直角三角形的性质.回顾(1)直角三角形的两个锐角互余.(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理).直角三角形还具备哪些特殊性质呢，接下来我们一起探索.探索画出Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.ABCD发现CD恰好是AB的一半.验证ABCD已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB.证明ABCDE延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE.∵CD是斜边AB上的中线，∴

AD=BD又∵DE=CD，∴四边形ACBE是平行四边形，ABCDE又∵∠ACB=90°，∴四边形ACBE是矩形，∴CE=AB，∴CD=CE=AB由此，我们得到直角三角形的又一条性质：(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=ABABC证明作斜边AB上的中线CD，∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD是等边三角形.ABCD则CD=AB=AD=BD.(性质3)∴BC=BD=AB.由此可知：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.1.已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和cm.求斜边上中线的长.随堂演练解:设斜边长为x，则x2=12+()2

x2=4

解得x=2由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，斜边上中线的长为1cm.2.小明沿倾斜角为30°的山坡，从山脚步行到山顶的革命烈士纪念碑，共走了120m.求山顶的高度.解:由题意可画出如图的直角三角形.

其中AB=120m，∠B=30°.

由30°角所对直角边等于斜边的

一半可知AC=60m.

即山顶的高度为60m.ABCB返回1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若AB＝4，则CD的长为(

)A．1B．2C．3D．4B返回2．如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离(

)A．变小

B．不变C．变大

D．无法判断70°返回3．如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点．(1)若∠A＝20°，则∠BCD＝________；(2)若∠BDC＝60°，AB＝6，则BC＝________；(3)若CD＝3，BC＝2，则AC＝________．34．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C．返回C5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为(

)A．1B．1.5C．2D．2.5返回D返回6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(

)A．3.5B．4.2C．5.8D．7返回7.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出AC＝3km，利用测量仪器测得∠A＝30°，∠C＝90°，则学校与公园之间的直线距离AB＝________km.返回38．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB于点D，BD＝1，则AD＝________．9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4，求BC的长．返回解：∵AD⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8，∠ADB＝60°，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12.10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE