专题1.5（1）有理数（全章知识梳理与题型分类讲解）（浙教版）（原卷版）

专题1.5（1）有理数（全章知识梳理与题型分类讲解）一、【目标要点】深化有理数概念理解：能清晰阐述有理数的定义，精准识别整数、分数、正有理数、负有理数、零在有理数体系中的归属；强化数轴运用能力：熟练绘制数轴，明确数轴三要素（原点、正方向、单位长度）的重要性，能准确在数轴上表示各类有理数；体会数学思想方法：在有理数的学习过程中，深刻体会数形结合思想，借助数轴这一“形”来理解有理数及其相关概念、运算等“数”的内容，使抽象知识形象化.二、【知识储备与题型展示】【知识储备1】正数和负数1.正负数概念：比0大的数是正数;比0小的数是负数；0既不是正数，也不是负数.2.具有相反意义的量：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量；它具有两重含义：一是意义相反，二是都是数量，而且是同类的量.【题型一】正负数的意义【例题1】（2425七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（

）A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数【知识储备2】有理数1.有理数概念：整数和分数统称有理数.2.有理数的分类【题型二】有理数的定义【例题2】（2425七年级上·四川自贡·期中）最大的负整数是；最小的自然数是．【题型三】有理数的分类【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）C．分数包括正分数、负分数和0 D．整数和分数统称为有理数【变式1】（2425六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（

）A．既是正数，也是负数 B．表示没有C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小【变式2】（2425六年级上·山东东营·期末）把下列各数填在相应的大括号里：正整数集合{

}整数集合{

}非负数集合{

}正分数集合{

}．【知识储备3】数轴1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素.【题型四】数轴的三要素【例题4】（2425七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2223七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（

）

A．数轴是以小明所在的位置为原点B．数轴采用向北为正方向C．小刚所在的位置对应的数有可能是D．小颖和小红间的距离为7【变式2】下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点其中正确的是（

）A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④【题型五】用数轴上的点表示有理数【例题5】（2425七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点．【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（

）A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5D．数轴上表示的点一定在原点的左边【题型六】数轴上点的平移（动点问题）【例题6】（2425七年级上·贵州遵义·期中）如图，点A表示的数是．（1）在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____；（2）将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数．【变式1】（2425七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（

）A．7 B．2 C． D．【变式2】（2425七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【知识储备4】相反数1.代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数；2.几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，这两点关于原点对称;3.相反数的数学表达：若两个有理数a和b互为相反数，则一定有a+b=0;反之，若两个有理数相加等于零，即a+b=0，则a和b互为相反数;相反数等于本身的数只有0.4.多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个，化简结果为正；若有奇数个，化简结果为负。可总结为：“+”的个数不影响化简结果，可以直接省略，一个正数前面有偶数个“”，结果为正，有奇数个“”，结果为负。【题型七】求一个数的相反数【变式1】（2425七年级上·山东青岛·阶段练习）若数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为，则这两个点表示的数分别是和．【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上的一个单位长度表示2，请回答问题：（1）若点A与点D表示的数互为相反数，则点D表示的数是多少？（2）若点B与点F表示的数互为相反数，则点D表示的数的相反数是多少？【题型八】利用相反数的代数意义化简多重符号【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列各式的符号：化简结果的符号与原式中的“”的个数有什么关系？A．1 B．2 C．3 D．4【题型九】数轴与相反数综合问题【例题9】（2324七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示．（1）指出数的正负性；（3）若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？【知识储备5】绝对值1.绝对值概念：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸32.绝对值几何意义和代数意义几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小；代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.绝对值性质互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数；当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论；【题型十】求一个数的绝对值【例题10】（2324七年级上·全国·课后作业）完成下列各题（1）利用数轴求下列各数的绝对值：（2）当a是正数或0时，﹔当a是负数时，．【变式1】（2425七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列各式中，正确的是（

）【题型十一】绝对值的几何意义【例题11】（2425七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、，（1）若与互为相反数，则______；【变式1】（2425七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（

）A． B． C．1 D．2【题型十二】绝对值的非负性【例题12】（2425七年级上·河北邯郸·阶段练习）在数，，，，中，最大的数是，绝对值最小的数是．（1）求，的值．A．0 B．1 C．2 D．【知识储备6】有理数的大小比较1.借助数轴比较：在数轴上，右边的数总比左边的数大。2.运用法则比较：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（3）正数的绝对值越大，这个数越大。【题型十三】利用数轴比较有理数的大小【题型十四】利用“两个负数相比较绝对值大的反而小”比较有理数的大小【例题14】（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小：【变式1】（2425六年级上·山东东营·期中）下列比较大小结果正确的是（

）【题型十五】直通中考【例题2】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：（填“”“”或“”）【题型十六】拓展延伸【例题1】